Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Kita mungkin telah menjumpai fungsi kontinu sebelumnya. Kekontinuan merupakan pertimbangan penting dalam masalah optimisasi karena suatu fungsi kontinu mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada setiap interval tertutup dan terbatas. Fungsi kontinu juga memenuhi Teorema Nilai Antara, yakni bahwa suatu fungsi kontinu \(f\) mengambil semua nilai di antara \(f(a)\) dan \(f(b)\) pada interval \([a,b]\text{.}\) Salah satu akibat penting Teorema Nilai Antara adalah bahwa jika \(f\) merupakan fungsi kontinu pada suatu interval dan \(f(a)\) serta \(f(b)\) berlainan tanda, maka \(f\) pasti mempunyai akar di dalam interval \([a,b]\text{.}\) Dalam bagian ini, kita akan mulai menelaah kekontinuan fungsi antara ruang-ruang metrik. Tujuan akhir kita dalam bagian-bagian mendatang adalah memahami fungsi kontinu dengan cukup baik sehingga kita dapat mendefinisikan kekontinuan hanya dalam kaitannya dengan himpunan terbuka.

Pernyataan ini mengharuskan kita menjelaskan apa artinya suatu fungsi \(f\) mempunyai limit di sebuah titik. Secara intuitif, gagasannya adalah bahwa fungsi \(f\) mempunyai limit \(L\) ketika \(x=a\) jika kita dapat membuat nilai \(f(x)\) sedekat yang kita inginkan dengan \(L\) dengan memilih \(x\) sedekat yang diperlukan dengan (tetapi tidak sama dengan) \(a\text{.}\) Untuk memperluas gagasan limit informal ini menjadi kekontinuan di suatu titik, kita dapat mengatakan bahwa fungsi \(f\) kontinu di titik \(a\) jika kita dapat membuat nilai \(f(x)\) sedekat yang kita inginkan dengan \(f(a)\) dengan memilih \(x\) sedekat yang diperlukan dengan \(a\) (kini \(x\) boleh sama dengan \(a\)).

Untuk mendefinisikan kekontinuan dalam konteks yang lebih umum (di ruang topologi), kita memerlukan definisi kekontinuan yang ketat sebagai landasan. Kita akan mulai dengan membahas fungsi kontinu dari \(\R\) ke \(\R\text{,}\) lalu mengembangkannya menjadi fungsi kontinu di ruang metrik. Gagasan-gagasan ini pada akhirnya akan memungkinkan kita mendefinisikan fungsi kontinu di ruang topologi.

Kita dapat menggambarkannya seperti di sisi kiri Gambar 6.1. Di sini kita ingin membuat nilai \(f(x)\) berada di dalam pita \(\epsilon\) di sekitar \(f(a)\text{,}\) yakni di atas dan di bawah \(f(a)\text{.}\) Dengan kata lain, kita ingin dapat membuat nilai \(f(x)\) berada di antara \(f(a)-\epsilon\) dan \(f(a)+\epsilon\text{.}\)

Sekarang kita harus menjawab pertanyaan tentang cara “membuat” nilai \(f(x)\) berjarak kurang dari \(\epsilon\) terhadap \(f(a)\text{.}\) Karena nilai \(f(x)\) bergantung pada \(x\text{,}\) kita “membuat” nilai \(f(x)\) mempunyai sifat yang diinginkan dengan memilih masukan \(x\) secara tepat. Agar \(f\) kontinu ketika \(x=a\text{,}\) kita harus dapat memilih nilai \(x\) yang cukup dekat dengan \(a\) sehingga \(| f(x) - f(a) | \lt \epsilon\text{.}\) Secara bergambar, kita dapat melihat bagaimana hal ini terjadi pada gambar di sisi kanan Gambar 6.1. Kita harus dapat menemukan interval di sekitar \(x=a\) sedemikian sehingga graf \(f(x)\) berada di dalam pita \(\epsilon\) di sekitar \(f(a)\) untuk nilai-nilai \(x\) di interval tersebut. Dengan kata lain, kita harus dapat menemukan suatu bilangan positif \(\delta\) sedemikian sehingga jika \(x\) berada dalam interval \((a-\delta, a+\delta)\text{,}\) maka graf \(f(x)\) berada dalam pita \(\epsilon\) di sekitar \(y=f(a)\text{.}\) Secara lebih formal, jika diberikan sembarang toleransi positif \(\epsilon\text{,}\) kita harus dapat menemukan bilangan positif \(\delta\) sedemikian sehingga jika \(| x-a | \lt \delta\) (yakni, \(x\) berada dalam interval \((a-\delta, a+\delta)\)), maka \(| f(x) - f(a) | \lt \epsilon\) (atau \(f(x)\) berada dalam pita \(\epsilon\) di sekitar \(y=f(a)\)).

Pernyataan ini memberikan definisi yang ketat tentang arti suatu fungsi \(f: \R \to \R\) kontinu di suatu titik.

Perhatikan bahwa nilai \(\delta\) boleh bergantung pada nilai \(a\) dan \(\epsilon\text{,}\) tetapi tidak pada nilai \(x\text{.}\)