Definisi 7.2.
Misalkan \((X, d_X)\) suatu ruang metrik dan \(a \in X\text{.}\) Suatu subhimpunan \(N\) dari \(X\) merupakan lingkungan bagi \(a\) jika terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(a, \delta) \subseteq N\text{.}\)
Bagian Lingkungan
Kita telah mengenal gagasan interval terbuka dalam \(\R\text{.}\) Selanjutnya, kita memperkenalkan gagasan lingkungan suatu titik dan mencirikan kekontinuan dalam kaitannya dengan lingkungan. Ini merupakan langkah berikutnya dalam mengembangkan gagasan kekontinuan di ruang topologi.
Bola terbuka \(B(a, \delta)\) dalam ruang metrik \((X,d)\) juga disebut \(\delta\)-lingkungan di sekitar \(a\text{.}\) Lingkungan suatu titik dapat dipandang sebagai sebarang himpunan yang mencakup titik tersebut.
Contoh 7.3.
- Dalam \(\R\) dengan metrik Euklides, himpunan \(\R^+\) (bilangan-bilangan riil positif) merupakan lingkungan bagi \(a=1\) karena bola terbuka \(B(1,0.5)\) termuat seluruhnya dalam \(\R^+\text{.}\)
- Dalam \(\R\) dengan metrik Euklides, himpunan \(\Z\) bukan lingkungan bagi \(a=1\) karena setiap bola terbuka yang berpusat di \(a=1\) memuat sejumlah bilangan bukan bulat.
- Dalam \(\R\) dengan metrik diskret, himpunan \(\Z\) merupakan lingkungan bagi \(a=1\) karena bola terbuka \(B(a,1) = \{a\}\text{.}\)
Sebagai contoh lain, bola terbuka \(B(a, \delta)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Kita bahkan dapat mengatakan lebih banyak mengenai bola terbuka.
Kegiatan 7.2.
Misalkan \((X, d)\) suatu ruang metrik, \(a \in X\text{,}\) dan \(\delta \gt 0\text{.}\) Dalam aktivitas ini, kita mengajukan pertanyaan: apakah \(B(a, \delta)\) merupakan lingkungan bagi setiap titik di dalamnya?
(a)
Misalkan \(b \in B(a, \delta)\text{.}\) Apa yang harus kita lakukan untuk menunjukkan bahwa \(B(a, \delta)\) merupakan lingkungan bagi \(b\text{?}\)
(b)
Gunakan Gambar 7.4 untuk membantu menunjukkan bahwa \(B(a, \delta)\) merupakan lingkungan bagi \(b\text{.}\)
(c)
Apakah pernyataan sebaliknya benar? Artinya, jika suatu himpunan merupakan lingkungan bagi setiap titiknya, apakah himpunan tersebut merupakan bola terbuka? Pembuktian tidak diperlukan, tetapi berikan argumen yang meyakinkan.
