Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan Belajar Mandiri: Mengenali Himpunan Tertutup

Panduan ini mendampingi pertanyaan nonlatihan pada bagian pendahuluan himpunan tertutup. Gunakan fakta bahwa suatu subhimpunan bersifat tertutup tepat ketika komplemennya terbuka.
Misalkan \(X=\{a,b,c,d\}\) dan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\) Daftarkan semua himpunan tertutup dalam \((X,\tau)\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Ambil setiap himpunan terbuka \(O\in\tau\text{.}\)
Tahap 2. Hitung komplemennya \(X\setminus O\text{.}\)
Tahap 3. Hilangkan pengulangan dan periksa bahwa daftar memuat \(\emptyset\) serta \(X\text{.}\)
Jawaban.
Himpunan tertutupnya ialah \(\emptyset\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{b,c,d\}\text{,}\) dan \(X\text{.}\)
Solusi.
Komplemen dari \(\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\) berturut-turut adalah \(X,\{b,c,d\},\{a,c,d\},\{c,d\},\emptyset\text{.}\) Karena himpunan tertutup adalah komplemen himpunan terbuka, kelima himpunan tersebut merupakan seluruh daftar himpunan tertutup.
Misalkan \(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) dan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e,f\},X\}\text{.}\) Daftarkan semua himpunan tertutup dalam \((X,\tau)\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Pasangkan setiap anggota \(\tau\) dengan komplemennya dalam \(X\text{.}\)
Tahap 2. Perhatikan secara khusus komplemen \(\{c,d\}\) dan \(\{a,c,d\}\text{.}\)
Tahap 3. Pastikan tidak menukar peran himpunan terbuka dengan himpunan tertutup.
Jawaban.
Himpunan tertutupnya ialah \(\emptyset\text{,}\) \(\{a\}\text{,}\) \(\{b,e,f\}\text{,}\) \(\{a,b,e,f\}\text{,}\) \(\{b,c,d,e,f\}\text{,}\) dan \(X\text{.}\)
Solusi.
Komplemen keenam himpunan terbuka, dalam urutan yang diberikan, adalah \(X\text{,}\) \(\{b,c,d,e,f\}\text{,}\) \(\{a,b,e,f\}\text{,}\) \(\{b,e,f\}\text{,}\) \(\{a\}\text{,}\) dan \(\emptyset\text{.}\) Inilah seluruh himpunan tertutup karena setiap himpunan tertutup harus muncul sebagai komplemen salah satu anggota \(\tau\text{.}\)
Pada \(X=\R\text{,}\) diberikan \(\tau=\{\emptyset,\{0\},\R\}\text{.}\) Daftarkan semua himpunan tertutup.
Petunjuk.
Tahap 1. Ada tepat tiga himpunan terbuka yang perlu diperiksa.
Tahap 2. Komplemen \(\{0\}\) dalam \(\R\) adalah \(\R\setminus\{0\}\text{.}\)
Tahap 3. Sertakan komplemen \(\emptyset\) dan komplemen \(\R\text{.}\)
Jawaban.
Himpunan tertutupnya tepat \(\emptyset\text{,}\) \(\R\setminus\{0\}\text{,}\) dan \(\R\text{.}\)
Solusi.
Komplemen \(\emptyset\) adalah \(\R\text{,}\) komplemen \(\{0\}\) adalah \(\R\setminus\{0\}\text{,}\) dan komplemen \(\R\) adalah \(\emptyset\text{.}\) Tidak ada himpunan tertutup lain karena tidak ada himpunan terbuka lain dalam \(\tau\text{.}\)
Misalkan \(X=\{a,b,c\}\) dan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}\text{.}\) Daftarkan semua himpunan tertutup dan tentukan nama topologi ini.
Petunjuk.
Tahap 1. Bandingkan daftar \(\tau\) dengan himpunan kuasa \(\mathcal P(X)\text{.}\)
Tahap 2. Komplemen setiap subhimpunan dari \(X\) juga merupakan subhimpunan dari \(X\text{.}\)
Tahap 3. Ingat nama topologi yang menjadikan setiap subhimpunan terbuka.
Jawaban.
Semua delapan subhimpunan dari \(X\) tertutup. Topologi tersebut adalah topologi diskret.
Solusi.
Daftar yang diberikan sama dengan \(\mathcal P(X)\text{,}\) sehingga setiap subhimpunan terbuka. Komplemen setiap subhimpunan juga berada dalam \(\mathcal P(X)=\tau\text{;}\) akibatnya setiap subhimpunan juga tertutup. Sifat bahwa semua subhimpunan terbuka mencirikan topologi diskret.
Misalkan \(X=\Z^+\) dan \(\tau=\{\emptyset,X\}\text{,}\) yaitu topologi indiskret atau trivial. Daftarkan semua himpunan tertutup.
Petunjuk.
Tahap 1. Hanya ada dua himpunan terbuka.
Tahap 2. Kedua himpunan itu saling berkomplemen.
Tahap 3. Tidak ada komplemen lain yang dapat menghasilkan himpunan tertutup tambahan.
Jawaban.
Himpunan tertutupnya hanya \(\emptyset\) dan \(X=\Z^+\text{.}\)
Solusi.
Komplemen \(\emptyset\) adalah \(X\text{,}\) sedangkan komplemen \(X\) adalah \(\emptyset\text{.}\) Karena keduanya merupakan satu-satunya himpunan terbuka, keduanya pula merupakan satu-satunya himpunan tertutup.
Dengan menggunakan lima ruang topologi sebelumnya, temukan jika mungkin suatu himpunan yang sekaligus terbuka dan tertutup, tetapi bukan \(\emptyset\) ataupun seluruh ruang.
Petunjuk.
Tahap 1. Sebuah himpunan terbuka juga tertutup tepat ketika komplemennya terbuka.
Tahap 2. Periksa ruang kedua, yang memiliki \(\{a\}\) dan komplemennya sebagai anggota topologi.
Tahap 3. Satu contoh sah sudah cukup; ruang diskret juga menyediakan banyak contoh.
Jawaban.
Dalam ruang kedua, \(\{a\}\) merupakan contoh karena \(\{a\}\in\tau\) dan \(X\setminus\{a\}=\{b,c,d,e,f\}\in\tau\text{.}\)
Solusi.
Keanggotaan \(\{a\}\in\tau\) menunjukkan bahwa \(\{a\}\) terbuka. Karena komplemennya, \(\{b,c,d,e,f\}\text{,}\) juga terbuka, \(\{a\}\) tertutup. Himpunan ini tidak kosong dan tidak sama dengan \(X\text{,}\) sehingga memenuhi semua syarat. Jawaban lain dinilai benar apabila keterbukaan himpunan dan keterbukaan komplemennya diperiksa dalam ruang yang sama.
Dengan menggunakan lima ruang topologi sebelumnya, temukan jika mungkin suatu himpunan yang tertutup tetapi tidak terbuka.
Petunjuk.
Tahap 1. Cari himpunan yang tidak tercantum dalam topologi.
Tahap 2. Periksa apakah komplemennya justru tercantum dalam topologi.
Tahap 3. Pada ruang pertama, perhatikan komplemen \(\{a,b\}\text{.}\)
Jawaban.
Dalam ruang pertama, \(\{c,d\}\) tertutup tetapi tidak terbuka.
Solusi.
Himpunan \(\{c,d\}\) tidak termasuk dalam \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{,}\) jadi tidak terbuka. Namun, komplemennya adalah \(\{a,b\}\in\tau\text{,}\) sehingga \(\{c,d\}\) tertutup. Contoh lain dapat diterima jika kedua pemeriksaan ini diberikan.
Dengan menggunakan lima ruang topologi sebelumnya, temukan jika mungkin suatu himpunan yang terbuka tetapi tidak tertutup.
Petunjuk.
Tahap 1. Pilih anggota topologi yang bukan \(\emptyset\) ataupun \(X\text{.}\)
Tahap 2. Hitung komplemennya.
Tahap 3. Jika komplemen itu tidak terbuka, himpunan semula tidak tertutup.
Jawaban.
Dalam ruang pertama, \(\{a\}\) terbuka tetapi tidak tertutup.
Solusi.
Himpunan \(\{a\}\) tercantum dalam \(\tau\text{,}\) jadi terbuka. Komplemennya adalah \(\{b,c,d\}\text{,}\) yang tidak tercantum dalam \(\tau\text{.}\) Karena komplemennya tidak terbuka, \(\{a\}\) tidak tertutup.
Dengan menggunakan lima ruang topologi sebelumnya, temukan jika mungkin suatu himpunan yang tidak terbuka dan juga tidak tertutup.
Petunjuk.
Tahap 1. Agar tidak terbuka, himpunan tidak boleh berada dalam \(\tau\text{.}\)
Tahap 2. Agar tidak tertutup, komplemennya juga tidak boleh berada dalam \(\tau\text{.}\)
Tahap 3. Uji \(\{a,c\}\) pada ruang pertama.
Jawaban.
Dalam ruang pertama, \(\{a,c\}\) tidak terbuka dan tidak tertutup.
Solusi.
Himpunan \(\{a,c\}\) tidak berada dalam topologi ruang pertama, sehingga tidak terbuka. Komplemennya adalah \(\{b,d\}\text{,}\) yang juga tidak berada dalam topologi. Jadi \(\{a,c\}\) tidak tertutup. Argumen yang lengkap untuk contoh lain harus memeriksa kedua ketidakanggotaan tersebut.
Dalam ruang Euklides, setiap himpunan beranggota tunggal tertutup. Tentukan apakah hal itu tetap berlaku untuk \(X=\{a,b,c\}\) dengan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},X\}\text{,}\) dan jelaskan.
Petunjuk.
Tahap 1. Uji masing-masing dari \(\{a\},\{b\},\{c\}\) melalui komplemennya.
Tahap 2. Komplemen \(\{a\}\) adalah \(\{b,c\}\text{.}\)
Tahap 3. Bandingkan \(\{b,c\}\) dengan daftar anggota \(\tau\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Himpunan \(\{a\}\) tidak tertutup, sedangkan \(\{b\}\) dan \(\{c\}\) tertutup.
Solusi.
Komplemen \(\{a\}\) adalah \(\{b,c\}\text{,}\) yang tidak terbuka; maka \(\{a\}\) tidak tertutup. Sebaliknya, \(X\setminus\{b\}=\{a,c\}\) dan \(X\setminus\{c\}=\{a,b\}\) keduanya berada dalam \(\tau\text{.}\) Jadi dua himpunan beranggota tunggal terakhir tertutup. Satu contoh kegagalan, yaitu \(\{a\}\text{,}\) cukup untuk menyangkal pernyataan umum.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>