Bagian Pendahuluan
Interval tertutup dan terbatas memiliki sifat-sifat penting dalam kalkulus. Ingat, misalnya, bahwa setiap fungsi bernilai real yang kontinu pada interval tertutup \([a, b]\) mencapai nilai maksimum dan minimum pada interval tersebut. Pertanyaan yang hendak kita bahas dalam bagian ini adalah apakah terdapat pencirian yang bersesuaian bagi subhimpunan ruang topologi yang menjamin bahwa fungsi kontinu bernilai real dengan domain berupa ruang topologi mencapai nilai maksimum dan minimum. Sifat yang akan kita kembangkan disebut kekompakan.
Kata “kompak” mungkin mengingatkan kita pada gagasan tentang ukuran kecil, tetapi kita perlu berhati-hati dengan istilah ini. Kita mungkin menganggap interval \((0, 0.5)\) kecil, tetapi \((0, 0.5)\) homeomorfik dengan \(\R\text{,}\) yang tidak kecil. Demikian pula, kita mungkin menganggap interval \([-10000, 10000]\) besar, tetapi interval ini homeomorfik dengan interval “kecil” \([-0.00001, 0.000001]\text{.}\) Akibatnya, konsep kekompakan tidak berkaitan dengan ukuran, melainkan, dalam arti tertentu, dengan struktur. Kita akan mengembangkan gagasan ini dalam bagian ini.
Karena suatu topologi mendefinisikan himpunan-himpunan buka, sifat topologi sering didefinisikan dengan menggunakan himpunan buka. Mari kita telaah sebuah contoh untuk menyingkap beberapa perincian yang kita perlukan guna memperoleh gagasan kekompakan yang berguna. Pertimbangkan interval terbuka \((0, 1)\) dalam \(\R\text{.}\) Misalkan kita menuliskan \((0, 1)\) sebagai gabungan bola-bola terbuka. Sebagai contoh, misalkan \(O_n = \left(\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right)\) untuk \(n \in \Z^+\) dan \(n \geq 3\text{.}\) Perhatikan bahwa \((0, 1) \subseteq \bigcup_{n \geq 3} O_n\text{.}\) Setiap koleksi himpunan buka yang gabungannya memuat \((0, 1)\) disebut selimut buka bagi \((0, 1)\text{.}\) Bekerja dengan himpunan dalam jumlah besar pada umumnya lebih rumit daripada bekerja dengan himpunan dalam jumlah kecil, sehingga wajar untuk menanyakan apakah kita dapat mengurangi banyaknya himpunan dalam selimut buka bagi \((0, 1)\) dan tetap menyelimuti \((0, 1)\text{.}\) Secara khusus, bekerja dengan koleksi himpunan berhingga lebih disukai daripada bekerja dengan himpunan dalam jumlah tak berhingga (jika perlu, dalam keadaan berhingga kita dapat memeriksa semua kemungkinan satu per satu). Perhatikan bahwa \(O_n \subset O_{n+1}\) untuk setiap \(n\text{,}\) sehingga kita dapat menyingkirkan banyak himpunan dari selimut ini. Namun, jika kita menyingkirkan cukup banyak himpunan hingga hanya tersisa sejumlah berhingga, maka akan terdapat nilai maksimum \(n\) sedemikian sehingga \(O_n\) masih berada dalam koleksi kita. Akan tetapi, \(\frac{1}{2n}\) tidak akan berada dalam gabungan koleksi himpunan yang tersisa. Akibatnya, kita tidak dapat menemukan koleksi berhingga dari himpunan-himpunan \(O_n\) yang gabungannya memuat \((0, 1)\text{.}\) Perhatikan bahwa mungkin terdapat koleksi himpunan buka yang menyelimuti \((0,1)\) dan memiliki subkoleksi berhingga yang juga menyelimuti \((0,1)\text{.}\) Sebagai contoh, jika kita menetapkan \(U_n = \left(n-\frac{3}{4}, n+\frac{3}{4}\right)\text{,}\) maka \((0,1) \subseteq \bigcup_{n \in \Z} U_n\text{,}\) dan \((0,1) \subseteq U_{0} \cup U_1\text{.}\) Pokok utamanya adalah bahwa terdapat sekurang-kurangnya satu koleksi himpunan buka yang menyelimuti \((0,1)\) tetapi tidak memiliki subkoleksi berhingga yang menyelimuti \((0,1)\text{.}\)
Sekarang mari kita terapkan gagasan yang sama pada himpunan \([0, 1]\text{.}\) Misalkan kita memperluas selimut buka \(\{O_n\}\) menjadi selimut buka bagi interval tertutup \([0, 1]\) dengan menambahkan dua bola terbuka dalam \(\R\text{:}\) \(O_0 = B(0, 0.5)\) dan \(O_1 = B(1, 0.5)\text{.}\) Sekarang himpunan-himpunan \(O_0\text{,}\) \(O_1\text{,}\) dan \(O_4\) membentuk koleksi berhingga yang menyelimuti \([0, 1]\text{.}\) Jadi, meskipun interval \([0, 1]\) “lebih besar” daripada \((0, 1)\) dalam arti bahwa \((0, 1) \subset [0, 1]\text{,}\) kita dapat menyajikan \([0, 1]\) secara lebih efisien (yakni secara berhingga) menggunakan himpunan buka daripada menyajikan interval \((0, 1)\text{.}\) Inilah gagasan dasar di balik kekompakan.
Definisi 17.1.
Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) disebut kompak jika untuk setiap himpunan \(I\) dan setiap keluarga himpunan buka \(\{O_{\alpha}\}\) dengan \(\alpha \in I\) sedemikian sehingga \(A \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} O_{\alpha}\text{,}\) terdapat subkeluarga berhingga \(\{O_{\alpha_1}, O_{\alpha_2}, \ldots, O_{\alpha_n}\}\) sedemikian sehingga \(A \subseteq \bigcup_{i = 1}^n O_{\alpha_i}\text{.}\)
Jika
\((X,\tau)\) merupakan ruang topologi dan
\(X\) merupakan subhimpunan kompak dari
\(X\text{,}\) maka kita mengatakan bahwa
\(X\) merupakan
ruang topologi kompak. Ada beberapa istilah yang berkaitan dengan
Definisi 17.1.
Definisi 17.2.
Suatu selimut bagi subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah koleksi \(\{S_{\alpha}\}\) subhimpunan-subhimpunan \(X\text{,}\) dengan \(\alpha\) berada dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) sedemikian sehingga \(A \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} S_{\alpha}\text{.}\) Selain itu, jika setiap himpunan \(S_{\alpha}\) merupakan himpunan buka, maka koleksi \(\{S_{\alpha}\}\) merupakan selimut buka bagi \(A\text{.}\)
Definisi 17.3.
Suatu subselimut dari selimut \(\{S_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\) bagi subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah koleksi \(\{S_{\beta}\}\) untuk \(\beta \in J\text{,}\) dengan \(J\) suatu subhimpunan dari \(I\) sedemikian sehingga \(A \subseteq \bigcup_{\beta \in J} S_{\beta}\text{.}\) Selain itu, jika \(J\) merupakan himpunan berhingga, subselimut \(\{S_{\beta}\}_{\beta \in J}\) merupakan subselimut berhingga dari \(\{S_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\text{.}\)
Jadi, himpunan-himpunan \(O_0\text{,}\) \(O_1\text{,}\) dan \(O_4\) dalam contoh sebelumnya membentuk subselimut berhingga dari perluasan selimut buka \(\{O_n\}_{n \geq 3}\) yang dibahas sebelumnya.
Dengan menggunakan istilah yang baru saja kita tetapkan, kita dapat menyatakan kembali definisi kekompakan sebagai berikut: subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) bersifat kompak jika setiap selimut buka bagi \(A\) memiliki subselimut berhingga bagi \(A\text{.}\)
Aktivitas Persiapan 17.1.
Tentukan apakah subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) bersifat kompak. Buktikan bahwa \(A\) kompak dengan memulai dari selimut tak berhingga sebarang dan menunjukkan bahwa terdapat subselimut berhingga, atau temukan suatu selimut tak berhingga tertentu dan buktikan bahwa tidak ada subselimut berhingga.
(a)
\(A = \{-2, 3, e, \pi, 456875\}\) dalam \(X = \R\) dengan topologi Euklides. Generalisasikan contoh ini.
(b)
\(A = (0, 1]\) dalam \(X = \R\) dengan topologi Euklides.
(c)
\(A = \left\{\frac{1}{n} \mid n \in \Z^+\right\}\) dalam \(X = \R\) dengan topologi Euklides.
(d)
\(A = \Z^+\) dalam \(X = \R\) dengan topologi Euklides.
(e)
\(A = \Z^+\) dalam \(X = \R\) dengan topologi komplemen berhingga.
(f)
\(A = \R\) dalam \(X = \R\) dengan topologi Euklides.
Ada dua sudut pandang yang dapat kita gunakan untuk menelaah kekompakan. Jika
\((X,\tau_X)\) merupakan ruang topologi dan
\(A\) merupakan subhimpunan dari
\(X\text{,}\) maka
Definisi 17.1 menjelaskan apa artinya
\(A\) bersifat kompak sebagai subhimpunan dari
\(X\text{.}\) Dari sudut pandang ini, kita menggunakan himpunan buka dalam
\(X\) untuk membentuk selimut buka bagi
\(A\text{.}\) Kita juga dapat memandang
\(A\) sebagai subruang dari
\(X\) dengan menggunakan topologi subruang
\(\tau_A\text{.}\) Dari sudut pandang ini, kita dapat menelaah kekompakan
\(A\) menggunakan himpunan terbuka relatif untuk membentuk selimut buka.
Latihan 14 memberi tahu kita bahwa kedua sudut pandang ini ekuivalen, sehingga kita akan menggunakan sudut pandang yang sesuai dengan situasi yang sedang dihadapi.
