Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan lanjutan

Sembilan panduan berikut mendampingi tiga tugas terakhir tentang ruang Hilbert dan enam butir benar-salah penutup pada latihan Bab 11, yakni panduan bernomor 27–35 dalam urutan seluruh bab. Kerjakan dahulu latihan sumber. Buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap hanya setelah Anda mencoba menyusun argumen sendiri. Pernyataan di bawah memparafrasakan sasaran latihan, sedangkan solusinya merupakan uraian asli yang ditulis untuk edisi ini dan tersedia sebagai komponen terpisah di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
Misalkan \(H\) terdiri atas semua barisan real \(x=(x_n)\) yang memenuhi \(\sum_{k=1}^{\infty}x_k^2\lt\infty\text{.}\) Untuk \(x,y\in H\text{,}\) buktikan bahwa \(x-y\in H\text{.}\) Rubrik: berikan pertidaksamaan suku demi suku, terapkan pada jumlah parsial, lalu jelaskan mengapa deret kuadrat selisih benar-benar konvergen.
Petunjuk.
Tahap 1: gunakan \((u-v)^2\leq 2u^2+2v^2\text{.}\) Tahap 2: jumlahkan hingga indeks \(N\text{;}\) jumlah parsial di ruas kiri tak menurun dan mempunyai batas atas yang tidak bergantung pada \(N\text{.}\)
Jawaban.
Berlaku \(x-y\in H\text{,}\) sebab \(\sum (x_k-y_k)^2\leq 2\sum x_k^2+2\sum y_k^2\lt\infty\text{.}\)
Solusi.
Untuk bilangan real \(u\) dan \(v\text{,}\) pertidaksamaan \((u+v)^2\geq0\) memberi \(-2uv\leq u^2+v^2\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*} (u-v)^2=u^2-2uv+v^2\leq 2u^2+2v^2. \end{equation*}
Terapkan pertidaksamaan ini dengan \(u=x_k\) dan \(v=y_k\text{.}\) Untuk setiap \(N\in\Z^+\text{,}\) jumlah parsial \(S_N=\sum_{k=1}^{N}(x_k-y_k)^2\) memenuhi
\begin{equation*} 0\leq S_N \leq 2\sum_{k=1}^{N}x_k^2+2\sum_{k=1}^{N}y_k^2 \leq 2\sum_{k=1}^{\infty}x_k^2 +2\sum_{k=1}^{\infty}y_k^2. \end{equation*}
Barisan \((S_N)\) tak menurun karena setiap suku yang ditambahkan taknegatif. Ruas paling kanan merupakan bilangan real berhingga karena \(x,y\in H\text{.}\) Jadi \((S_N)\) tak menurun dan terbatas di atas, sehingga konvergen. Dengan demikian \(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\) berhingga. Menurut definisi \(H\text{,}\) hal ini tepat berarti \(x-y\in H\text{.}\)
Pada ruang \(H\) dari panduan sebelumnya, definisikan \(\lVert x\rVert=(\sum_{k=1}^{\infty}x_k^2)^{1/2}\) dan \(d(x,y)=\lVert x-y\rVert\text{.}\) Buktikan bahwa \(d\) merupakan metrik pada \(H\text{.}\) Rubrik: periksa keterdefinisian, definit positif, simetri, dan pertidaksamaan segitiga; untuk syarat terakhir, buktikan pertidaksamaan pada jumlah parsial dengan Cauchy–Schwarz lalu ambil limit.
Petunjuk.
Tahap 1: panduan 27 menjamin \(x-y\in H\text{.}\) Tahap 2: untuk \(a_k=x_k-y_k\) dan \(b_k=y_k-z_k\text{,}\) terapkan Cauchy–Schwarz berhingga pada \(\sum_{k=1}^{N}(a_k+b_k)^2\text{,}\) kemudian biarkan \(N\to\infty\text{.}\)
Jawaban.
Fungsi \(d\) merupakan metrik. Sifat selain pertidaksamaan segitiga mengikuti langsung dari jumlah kuadrat, sedangkan pertidaksamaan segitiga adalah pertidaksamaan Minkowski yang diperoleh dari Cauchy–Schwarz pada jumlah parsial.
Solusi.
Panduan 27 menunjukkan bahwa \(x-y\in H\) untuk setiap \(x,y\in H\text{,}\) jadi \(d(x,y)\) terdefinisi dan berhingga. Jelas \(d(x,y)\geq0\text{.}\) Jika \(d(x,y)=0\text{,}\) maka \(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2=0\text{.}\) Semua sukunya taknegatif, sehingga setiap suku harus nol dan \(x_k=y_k\) untuk semua \(k\text{;}\) jadi \(x=y\text{.}\) Implikasi sebaliknya langsung berlaku. Selain itu,
\begin{equation*} d(x,y)=\left(\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\right)^{1/2} =\left(\sum_{k=1}^{\infty}(y_k-x_k)^2\right)^{1/2}=d(y,x), \end{equation*}
sehingga \(d\) simetris.
Tinggal membuktikan pertidaksamaan segitiga. Ambil \(x,y,z\in H\text{,}\) lalu tetapkan \(a_k=x_k-y_k\) dan \(b_k=y_k-z_k\text{.}\) Untuk setiap \(N\text{,}\) definisikan
\begin{equation*} A_N=\sqrt{\sum_{k=1}^{N}a_k^2},\qquad B_N=\sqrt{\sum_{k=1}^{N}b_k^2}. \end{equation*}
Cauchy–Schwarz berhingga memberi \(\sum_{k=1}^{N}a_kb_k\leq A_NB_N\text{.}\) Oleh sebab itu
\begin{align*} \sum_{k=1}^{N}(x_k-z_k)^2 \amp=\sum_{k=1}^{N}(a_k+b_k)^2\\ \amp=A_N^2+2\sum_{k=1}^{N}a_kb_k+B_N^2\\ \amp\leq A_N^2+2A_NB_N+B_N^2=(A_N+B_N)^2. \end{align*}
Setelah mengambil akar kuadrat taknegatif, diperoleh
\begin{equation*} \sqrt{\sum_{k=1}^{N}(x_k-z_k)^2}\leq A_N+B_N. \end{equation*}
Ketika \(N\to\infty\text{,}\) ketiga jumlah parsial kuadrat tersebut konvergen ke deret yang mendefinisikan normanya. Kekontinuan fungsi akar kuadrat memberikan
\begin{equation*} d(x,z)=\lVert x-z\rVert \leq\lVert x-y\rVert+\lVert y-z\rVert =d(x,y)+d(y,z). \end{equation*}
Jadi keempat aksioma metrik terpenuhi dan \(d\) merupakan metrik pada \(H\text{.}\)
Untuk \(m\in\Z^+\text{,}\) definisikan \(E^m=\{(x_n)\in H\mid x_k=0\text{ untuk }k\gt m\}\) dan \(f:E^m\to\R^m\) dengan \(f((x_n))=(x_1,\ldots,x_m)\text{.}\) Buktikan bahwa \(f\) bijektif dan, untuk setiap \(x,y\in E^m\text{,}\) berlaku \(d(x,y)=d_E(f(x),f(y))\text{.}\) Rubrik: buktikan injektivitas, surjektivitas melalui perluasan berekor nol, dan kesamaan jarak.
Petunjuk.
Tahap 1: unsur \(E^m\) sepenuhnya ditentukan oleh \(m\) koordinat pertamanya. Tahap 2: perluas setiap vektor di \(\R^m\) dengan nol untuk semua indeks yang lebih besar dari \(m\text{.}\)
Jawaban.
Fungsi \(f\) bijektif dan mempertahankan jarak. Inversnya mengirim \((u_1,\ldots,u_m)\) ke barisan \((u_1,\ldots,u_m,0,0,\ldots)\text{.}\)
Solusi.
Jika \(f(x)=f(y)\) untuk \(x,y\in E^m\text{,}\) maka \(x_k=y_k\) untuk \(1\leq k\leq m\text{.}\) Untuk \(k\gt m\text{,}\) definisi \(E^m\) memberi \(x_k=y_k=0\text{.}\) Jadi \(x=y\) dan \(f\) injektif.
Sebaliknya, ambil sembarang \(u=(u_1,\ldots,u_m)\in\R^m\) dan bentuk barisan \(\widetilde u=(u_1,\ldots,u_m,0,0,\ldots)\text{.}\) Jumlah kuadrat koordinatnya hanya mempunyai paling banyak \(m\) suku taknol, jadi berhingga; dengan demikian \(\widetilde u\in E^m\text{.}\) Karena \(f(\widetilde u)=u\text{,}\) fungsi \(f\) surjektif. Maka \(f\) bijektif.
Akhirnya, untuk \(x,y\in E^m\text{,}\) semua koordinat keduanya setelah indeks \(m\) bernilai nol. Oleh karena itu
\begin{align*} d(x,y)^2 \amp=\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-y_k)^2\\ \amp=\sum_{k=1}^{m}(x_k-y_k)^2 =d_E(f(x),f(y))^2. \end{align*}
Kedua jarak taknegatif, sehingga pengambilan akar memberi \(d(x,y)=d_E(f(x),f(y))\text{.}\) Jadi \(f\) merupakan bijeksi yang mempertahankan jarak, dan \(E^m\) adalah salinan isometrik \(\R^m\) di dalam \(H\text{.}\)
Tentukan benar atau salah: jika \(d\) adalah metrik diskret pada \(X\text{,}\) maka untuk setiap subruang \(A\subseteq X\text{,}\) metrik pembatasan \(d_A\) juga merupakan metrik diskret pada \(A\text{.}\) Berikan bukti atau contoh tandingan.
Petunjuk.
Tulis rumus nilai metrik diskret untuk dua titik \(a,b\in A\text{.}\) Pembatasan mengubah domain, bukan nilai pada pasangan tersebut.
Jawaban.
Benar. Pada \(A\text{,}\) jarak tetap nol untuk dua titik yang sama dan satu untuk dua titik yang berbeda.
Solusi.
Metrik diskret pada \(X\) memenuhi
\begin{equation*} d(x,y)= \begin{cases} 0, & x=y,\\ 1, & x\neq y. \end{cases} \end{equation*}
Untuk \(a,b\in A\text{,}\) metrik subruang didefinisikan oleh \(d_A(a,b)=d(a,b)\text{.}\) Karena itu \(d_A(a,b)=0\) jika \(a=b\) dan \(d_A(a,b)=1\) jika \(a\neq b\text{.}\) Ini tepat rumus metrik diskret pada \(A\text{,}\) sehingga pernyataannya benar.
Tentukan benar atau salah: jika \(d\) bukan metrik diskret pada \(X\text{,}\) maka pembatasannya pada setiap subhimpunan \(A\subseteq X\) juga tidak mungkin menjadi metrik diskret. Berikan contoh tandingan konkret jika klaim ini salah.
Petunjuk.
Ambil metrik Euklides pada \(\R\text{,}\) lalu pilih subhimpunan dua titik yang jarak antartitiknya tepat satu.
Jawaban.
Salah. Metrik Euklides pada \(\R\) tidak diskret, tetapi pembatasannya pada \(A=\{0,1\}\) adalah metrik diskret.
Solusi.
Ambil \(X=\R\) dengan \(d_E(x,y)=|x-y|\text{.}\) Metrik ini bukan metrik diskret; misalnya, \(d_E(0,2)=2\text{,}\) sedangkan metrik diskret akan memberi jarak satu kepada setiap pasangan titik berbeda. Sekarang ambil \(A=\{0,1\}\text{.}\) Pada \(A\text{,}\) satu-satunya pasangan titik berbeda adalah \(0\) dan \(1\text{,}\) dan \(d_E(0,1)=d_E(1,0)=1\text{.}\) Jarak titik ke dirinya sendiri tetap nol. Jadi \(d_E|_{A\times A}\) tepat merupakan metrik diskret pada \(A\text{.}\) Contoh ini menyangkal klaim universal tersebut.
Tentukan benar atau salah: jika \(A\) subruang dari \((X,d)\text{,}\) barisan \((a_n)\) di \(A\) konvergen ke \(a\in A\) dalam metrik subruang, maka barisan yang sama konvergen ke \(a\) dalam \(X\text{.}\) Buktikan keputusan Anda dari definisi epsilon.
Petunjuk.
Bandingkan \(d_A(a_n,a)\) dengan \(d(a_n,a)\text{.}\) Nilainya sama untuk semua pasangan titik yang berada di \(A\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Metrik subruang dan metrik ambien memberikan jarak yang sama pada \(a_n\) dan \(a\text{.}\)
Solusi.
Ambil sembarang \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(a_n\to a\) di \(A\text{,}\) terdapat \(N\in\Z^+\) sehingga untuk setiap \(n\geq N\text{,}\) \(d_A(a_n,a)\lt\epsilon\text{.}\) Namun metrik subruang adalah pembatasan metrik ambien, sehingga \(d_A(a_n,a)=d(a_n,a)\text{.}\) Akibatnya \(d(a_n,a)\lt\epsilon\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\) Ini tepat definisi \(a_n\to a\) dalam \(X\text{.}\) Jadi pernyataannya benar.
Tentukan benar atau salah: jika \((a_n)\) adalah barisan di subruang \(A\subseteq X\) dan konvergen dalam \(X\) ke suatu \(a\in X\text{,}\) maka barisan itu selalu konvergen ke \(a\) dalam \(A\text{.}\) Jika salah, tunjukkan secara eksplisit hipotesis yang hilang.
Petunjuk.
Pilih subruang yang tidak tertutup, misalnya \(A=(0,1)\) di \(\R\text{,}\) dan bangun barisan dalam \(A\) yang menuju salah satu titik ujungnya.
Jawaban.
Salah. Dalam \(A=(0,1)\subset\R\text{,}\) barisan \(a_n=1/(n+1)\) konvergen di \(\R\) ke \(0\text{,}\) tetapi \(0\notin A\) sehingga tidak dapat menjadi limit di ruang \(A\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(X=(\R,d_E)\text{,}\) \(A=(0,1)\text{,}\) dan \(a_n=1/(n+1)\text{.}\) Untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) berlaku \(0\lt a_n\lt1\text{,}\) jadi seluruh suku berada di \(A\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N+1\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka
\begin{equation*} d_E(a_n,0)=\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{N+1}\lt\epsilon. \end{equation*}
Jadi \(a_n\to0\) dalam \(X\text{.}\)
Akan tetapi, konvergensi dalam ruang metrik \(A\) harus mempunyai titik limit yang merupakan unsur \(A\text{.}\) Karena \(0\notin A\text{,}\) ungkapan “konvergen ke \(0\) dalam \(A\)” tidak memenuhi definisi limit di ruang tersebut. Hipotesis yang hilang adalah \(a\in A\text{.}\) Jika hipotesis itu ditambahkan, metrik pembatasan memberikan kesetaraan antara konvergensi di \(A\) dan konvergensi ambien ke titik tersebut.
Untuk ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\text{,}\) tentukan benar atau salah bahwa fungsi
\begin{equation*} D((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =\max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\} \end{equation*}
merupakan metrik pada \(X\times Y\text{.}\) Rubrik: periksa seluruh aksioma dan buktikan langkah maksimum yang diperlukan dalam pertidaksamaan segitiga.
Petunjuk.
Untuk tiga titik hasil kali, tetapkan
\begin{align*} M_1 \amp= \max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\},\\ M_2 \amp= \max\{d_X(x_2,x_3),d_Y(y_2,y_3)\}. \end{align*}
Masing-masing jumlah jarak koordinat paling besar \(M_1+M_2\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Maksimum dua metrik koordinat memenuhi definit positif, simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada \(X\times Y\text{.}\)
Solusi.
Fungsi \(D\) taknegatif karena kedua jarak koordinat taknegatif. Selain itu, \(D((x_1,y_1),(x_2,y_2))=0\) jika dan hanya jika kedua jarak koordinat nol, yaitu jika dan hanya jika \(x_1=x_2\) dan \(y_1=y_2\text{.}\) Ini ekuivalen dengan kesamaan dua pasangan terurut. Simetri \(D\) mengikuti simetri \(d_X\) dan \(d_Y\text{.}\)
Untuk pertidaksamaan segitiga, ambil \(p_i=(x_i,y_i)\in X\times Y\) bagi \(i=1,2,3\text{,}\) lalu tetapkan
\begin{equation*} M_1=D(p_1,p_2),\qquad M_2=D(p_2,p_3). \end{equation*}
Dari definisi maksimum dan pertidaksamaan segitiga koordinat,
\begin{align*} d_X(x_1,x_3) \amp\leq d_X(x_1,x_2)+d_X(x_2,x_3) \leq M_1+M_2,\\ d_Y(y_1,y_3) \amp\leq d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3) \leq M_1+M_2. \end{align*}
Karena kedua bilangan di dalam maksimum yang mendefinisikan \(D(p_1,p_3)\) paling besar \(M_1+M_2\text{,}\) diperoleh
\begin{equation*} D(p_1,p_3)\leq M_1+M_2=D(p_1,p_2)+D(p_2,p_3). \end{equation*}
Jadi \(D\) memenuhi semua aksioma metrik.
Untuk ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\text{,}\) tentukan benar atau salah bahwa
\begin{equation*} D((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =d_X(x_1,x_2)d_Y(y_1,y_2) \end{equation*}
selalu merupakan metrik pada \(X\times Y\text{.}\) Jika salah, tunjukkan aksioma yang gagal dengan dua titik konkret.
Petunjuk.
Pilih dua titik hasil kali yang mempunyai koordinat pertama sama, tetapi koordinat kedua berbeda. Apa yang terjadi pada faktor jarak pertama?
Jawaban.
Salah. Pada \(\R\times\R\text{,}\) titik \((0,0)\) dan \((0,1)\) berbeda, tetapi rumus tersebut memberi jarak nol.
Solusi.
Ambil \(X=Y=\R\) dengan metrik Euklides. Tetapkan \(p=(0,0)\) dan \(q=(0,1)\text{.}\) Kedua titik berbeda karena koordinat keduanya berbeda. Namun
\begin{equation*} D(p,q)=d_E(0,0)d_E(0,1)=0\cdot1=0. \end{equation*}
Jadi \(D(p,q)=0\) tidak memaksa \(p=q\text{.}\) Aksioma definit positif gagal, sehingga rumus hasil kali ini bukan metrik pada \(\R\times\R\text{.}\) Satu contoh tersebut cukup menyangkal pernyataan universal; kegagalan ini pula yang memotivasi penggunaan jumlah, maksimum, atau akar jumlah kuadrat untuk metrik hasil kali.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>