Untuk soal ini, argumen informal tetapi meyakinkan sudah memadai.
(a)
Misalkan \(D = \{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\}\) sebagai subhimpunan dari \((\R^2,d_E)\text{.}\) Perhatikan bahwa \(D\) adalah cakram satuan pada bidang. Tentukan semua titik interior, titik batas, titik akumulasi (titik limit), dan titik terasing dari \(D\text{.}\) Berikan alasan untuk kesimpulan Anda. Apakah \(D\) merupakan himpunan terbuka? Apakah \(D\) merupakan himpunan tertutup? Jelaskan.
(b)
Misalkan \(A = \Q\text{,}\) himpunan bilangan rasional, sebagai subhimpunan dari \((\R,d_E)\text{.}\) Tentukan semua titik interior, titik batas, titik akumulasi (titik limit), dan titik terasing dari \(A\text{.}\) Berikan alasan untuk kesimpulan Anda. Apakah \(A\) merupakan himpunan terbuka? Apakah \(A\) merupakan himpunan tertutup? Jelaskan.
(c)
Misalkan \(A = \left\{\frac{1}{n} \ \left| \right. n \in \Z^+\right\}\) sebagai subhimpunan dari \((\R,d_E)\text{.}\) Tentukan semua titik interior, titik batas, titik akumulasi (titik limit), dan titik terasing dari \(A\text{.}\) Berikan alasan untuk kesimpulan Anda. Apakah \(A\) merupakan himpunan terbuka? Apakah \(A\) merupakan himpunan tertutup? Jelaskan.
2.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik. Misalkan \(a \in X\text{,}\) dan misalkan \(r \gt 0\text{.}\) Kita tahu bahwa bola terbuka \(B(a,r) = \{x \in X \mid d(a,x) \lt r\}\) merupakan himpunan terbuka. Misalkan
Buktikan atau sangkal: \(B[a,r]\) merupakan himpunan tertutup di \(X\text{.}\)
3.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik. Kita telah melihat bahwa suatu subhimpunan dari \(X\) dapat sekaligus terbuka dan tertutup. Himpunan yang sekaligus terbuka dan tertutup dapat dicirikan melalui batasnya. Temukan dan buktikan pencirian tersebut. (Pernyataan Anda harus berbentuk: Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) sekaligus terbuka dan tertutup jika dan hanya jika batas \(A\) adalah \(\underline{}\text{.}\))
4.
Misalkan \(A\) adalah subhimpunan dari suatu ruang metrik. Misalkan \(A'\) adalah himpunan titik limit dari \(A\) dan \(A^i\) adalah himpunan titik terasing dari \(A\text{.}\) Buktikan pernyataan-pernyataan berikut.
(a)
\(A' \cup A^i = A \cup A'\)
(b)
\(A' \cap A^i = \emptyset\)
(c)
\(A \subseteq A' \cup A^i\)
(d)
\(x \in \overline{A}\) jika dan hanya jika terdapat suatu barisan titik-titik di \(A\) yang konvergen ke \(x\)
(e)
\(\overline{A}\) adalah irisan semua himpunan tertutup yang memuat \(A\)
(f)
\(\Int(A)\) adalah gabungan semua himpunan terbuka yang termuat di dalam \(A\)
(g)
\(\overline{A}\) adalah gabungan saling lepas dari \(\Int(A)\) dan \(\Bdry(A)\)
(h)
\(\overline{X \setminus A} = X \setminus \Int(A)\)
(i)
\(\Int(X \setminus A) = X \setminus \overline{A}\)
5.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik dan \(A\) adalah subhimpunan dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa suatu titik \(x \in X\) adalah titik limit dari \(A\) jika dan hanya jika setiap bola terbuka yang berpusat di \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\)
6.
Misalkan \(A\) adalah subhimpunan dari suatu ruang metrik. Misalkan \(A'\) adalah himpunan titik limit dari \(A\) dan \(A^i\) adalah himpunan titik terasing dari \(A\text{.}\)
(a)
Buktikan bahwa \(A' \cap A^i = \emptyset\) dan \(A \subseteq A' \cup A^i\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa \(x \in \overline{A}\) jika dan hanya jika terdapat suatu barisan titik-titik di \(A\) yang konvergen ke \(x\text{.}\)
(c)
Buktikan bahwa jika \(F\) adalah himpunan tertutup sedemikian sehingga \(A \subseteq F\text{,}\) maka \(\overline{A} \subseteq F\text{.}\) Selanjutnya, buktikan bahwa \(\overline{A}\) adalah irisan semua himpunan tertutup \(F\) tersebut dan karena itu tertutup.
7.
Buktikan Teorema 10.7 bahwa jika \(A\) adalah subhimpunan dari ruang metrik \(X\) dan \(b\) adalah titik batas dari \(A\text{,}\) maka terdapat barisan \((x_n)\) di \(X \setminus A\) dan barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(b\text{.}\)
8.
Ingat bahwa jarak dari suatu titik \(x\) dalam ruang metrik \(X\) ke suatu subhimpunan tak kosong \(A\) dari \(X\) adalah
\begin{equation*}
d(x,A) = \inf\{d(x,a) \mid a \in A\}\text{.}
\end{equation*}
Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(C\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika, kapan pun \(x \in X\) dan \(d(x,C) = 0\text{,}\) berlaku \(x \in C\text{.}\)
9.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik. Dalam latihan ini, kita menunjukkan bahwa beberapa subhimpunan dari \(X\text{,}\) selain \(\emptyset\) dan \(X\text{,}\) pasti tertutup. Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan berhingga dari \(X\) tertutup.
Apa saja titik limit dari suatu subhimpunan berhingga?
10.
Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(C\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat batasnya.
11.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) adalah ruang metrik dan misalkan \(f: X \to Y\) adalah suatu fungsi.
(a)
Buktikan bahwa \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(\Int(B)) \subseteq \Int(f^{-1}(B))\) untuk setiap subhimpunan \(B\) dari \(Y\text{.}\)
(b)
Berikan contoh ketika inklusi, dan bukan kesamaan, pada (a) merupakan hasil terbaik yang dapat diperoleh.
(c)
Berikan contoh yang menunjukkan bahwa kesamaan pada (a) memang dapat tercapai.
12.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik dan misalkan \(A\) adalah subhimpunan dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa setiap titik batas dari \(A\) merupakan titik limit atau titik terasing dari \(A\text{.}\)
13.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik, dan misalkan \(A\) serta \(B\) adalah subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Apakah berlaku \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\text{?}\) Jika benar, buktikan. Jika salah, tunjukkan alasannya dan buktikan setiap inklusi yang benar.
(b)
Apakah berlaku \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}\text{?}\) Jika benar, buktikan. Jika salah, tunjukkan alasannya dan buktikan setiap inklusi yang benar.
14.
Ingat bahwa gabungan tak hingga dari himpunan-himpunan tertutup dalam ruang metrik belum tentu tertutup, dan irisan tak hingga dari himpunan-himpunan terbuka dalam ruang metrik belum tentu terbuka. Dalam latihan ini, kita menyelidiki keadaan yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa gabungan tak hingga dari himpunan-himpunan tertutup bersifat tertutup dan irisan tak hingga dari himpunan-himpunan terbuka bersifat terbuka. Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik.
(a)
Pertama-tama, kita buktikan sebuah hasil pendahuluan. Misalkan \(C\) adalah subhimpunan tertutup dari \(X\) dan \(x \in X\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(x \notin C\text{,}\) maka \(d(x,C) \gt 0\text{.}\)
(b)
Misalkan \(\{C_{\alpha}\}\) adalah suatu koleksi subhimpunan tertutup dari \(X\text{,}\) dengan \(\alpha\) berada dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) yang memiliki sifat berikut: untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat \(\epsilon_x \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(x, \epsilon_x)\) beririsan dengan hanya berhingga banyak himpunan \(C_{\alpha}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\bigcup_{\alpha \in I} C_{\alpha}\) tertutup.
(c)
Tentukan dan buktikan pernyataan analog untuk himpunan-himpunan terbuka di \(X\text{.}\)
15.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(x\) adalah suatu titik dalam ruang metrik \(X\text{,}\) maka himpunan beranggota tunggal \(\{x\}\) tertutup.
(b)
Satu-satunya subhimpunan dari \(\R\) yang sekaligus terbuka dan tertutup terhadap metrik standar adalah \(\emptyset\) dan \(\R\text{.}\)
(c)
Jika \((X,d)\) adalah ruang metrik dengan \(X = \{1,3,5\}\) dan \(d(x,y) = xy - 1 \pmod{8}\text{,}\) maka himpunan \(\{1,3\}\) sekaligus terbuka dan tertutup di \(X\text{.}\)
(d)
Jika \(X\) adalah ruang metrik dan \(A \subseteq X\text{,}\) maka \(\Int(\overline{A}) = A\text{.}\)
(e)
Batas dari setiap subhimpunan ruang metrik \(X\) merupakan himpunan tertutup.
(f)
Jika \(A\) adalah subhimpunan dari ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(A \subseteq A' \cup A^i\text{,}\) dengan \(A'\) adalah himpunan titik limit dari \(A\) dan \(A^i\) adalah himpunan titik terasing dari \(A\)
