Bagian Panduan Belajar Mandiri: Invarian Topologis
Panduan ini mendampingi lima pertanyaan klasifikasi tentang sifat yang dipertahankan oleh homeomorfisme. Gunakan bahwa homeomorfisme adalah bijeksi yang memadankan himpunan terbuka pada kedua arah.
Tentukan apakah sifat “\(X\) memiliki topologi indiskret” merupakan invarian topologis. Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Misalkan \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme.
Tahap 2. Ambil sebarang himpunan terbuka \(V\) dalam \(Y\) dan periksa \(f^{-1}(V)\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan bahwa satu-satunya himpunan terbuka dalam \(X\) adalah \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\)
Ya. Topologi indiskret merupakan invarian topologis.
Misalkan \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme dan \(X\) memiliki topologi indiskret. Jika \(V\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) kekontinuan \(f\) memberi \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jadi \(f^{-1}(V)=\emptyset\) atau \(f^{-1}(V)=X\text{.}\) Karena \(f\) bijektif, masing-masing kemungkinan memberi \(V=\emptyset\) atau \(V=Y\text{.}\) Dengan demikian \(Y\) juga memiliki topologi indiskret.
Pemeriksaan N.22. Topologi Diskret.
Tentukan apakah sifat “\(X\) memiliki topologi diskret” merupakan invarian topologis. Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Ambil sebarang \(V\subseteq Y\text{.}\)
Tahap 2. Karena \(X\) diskret, \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan kekontinuan \(f^{-1}\text{,}\) atau fakta bahwa homeomorfisme merupakan pemetaan terbuka.
Ya. Topologi diskret merupakan invarian topologis.
Misalkan \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme dan \(X\) diskret. Untuk sebarang \(V\subseteq Y\text{,}\) prapeta \(f^{-1}(V)\) adalah himpunan bagian dari \(X\text{,}\) sehingga terbuka. Karena fungsi invers \(f^{-1}:Y\to X\) kontinu, prapeta himpunan terbuka \(f^{-1}(V)\) di bawah \(f^{-1}\text{,}\) yaitu \(f(f^{-1}(V))=V\text{,}\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Jadi setiap himpunan bagian dari \(Y\) terbuka dan \(Y\) diskret.
Pemeriksaan N.23. Topologi Komplemen Hingga.
Tentukan apakah sifat “\(X\) memiliki topologi komplemen hingga” merupakan invarian topologis. Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Ingat bahwa himpunan tak kosong terbuka tepat ketika komplemennya berhingga.
Tahap 2. Bijeksi memadankan komplemen: \(Y\setminus f(U)=f(X\setminus U)\text{.}\)
Tahap 3. Bijeksi mempertahankan keberhinggaan dan homeomorfisme memadankan himpunan terbuka.
Ya. Topologi komplemen hingga merupakan invarian topologis.
Misalkan \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme dan \(X\) memiliki topologi komplemen hingga. Untuk \(V\subseteq Y\text{,}\) himpunan \(V\) terbuka dalam \(Y\) tepat ketika \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jika \(V\ne\emptyset\text{,}\) hal ini ekuivalen dengan keberhinggaan \(X\setminus f^{-1}(V)\text{.}\) Bijektivitas memberi \(f(X\setminus f^{-1}(V))=Y\setminus V\text{,}\) sehingga kondisi itu ekuivalen dengan keberhinggaan \(Y\setminus V\text{.}\) Jadi himpunan terbuka pada \(Y\) tepat merupakan \(\emptyset\) dan himpunan dengan komplemen berhingga.
Pemeriksaan N.24. Keanggotaan Bilangan Dua.
Tentukan apakah sifat “himpunan dasar \(X\) memuat bilangan \(2\)” merupakan invarian topologis. Berikan bukti atau contoh penyangkal.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Topologi tidak bergantung pada nama elemen himpunan dasar.
Tahap 2. Bandingkan dua ruang satu titik.
Tahap 3. Gunakan satu-satunya bijeksi antara \(\{2\}\) dan \(\{3\}\text{.}\)
Tidak. Keanggotaan elemen bernama \(2\) bukan invarian topologis.
Ambil \(X=\{2\}\) dan \(Y=\{3\}\text{,}\) masing-masing dengan topologi satu-satunya \(\{\emptyset,X\}\) dan \(\{\emptyset,Y\}\text{.}\) Fungsi \(f:X\to Y\) dengan \(f(2)=3\) adalah homeomorfisme, sebab setiap fungsi antara dua ruang satu titik bersifat kontinu pada kedua arah. Namun \(2\in X\) sedangkan \(2\notin Y\text{.}\) Jadi sifat tersebut tidak dipertahankan oleh homeomorfisme.
Pemeriksaan N.25. Tepat Tiga Belas Elemen.
Tentukan apakah sifat “\(X\) memuat tepat \(13\) elemen” merupakan invarian topologis. Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Setiap homeomorfisme merupakan bijeksi.
Tahap 2. Bijeksi mempertahankan kardinalitas.
Tahap 3. Topologi khusus pada kedua ruang tidak diperlukan.
Ya. Memiliki tepat \(13\) elemen merupakan invarian topologis.
Jika \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme, maka \(f\) adalah bijeksi. Apabila \(X\) memiliki tepat \(13\) elemen, pembatasan kodomain dan injektivitas-surjektivitas \(f\) menunjukkan bahwa \(Y\) juga memiliki tepat \(13\) elemen. Jadi sifat kardinalitas ini dipertahankan oleh setiap homeomorfisme.
