1.
(a)
Tentukan semua subhimpunan kompak dari suatu ruang topologi \(X\) dengan topologi indiskret.
(b)
Tentukan semua subhimpunan kompak dari suatu ruang topologi \(X\) dengan topologi indiskret.
Latihan Latihan
2.
Ingat kembali dari Definisi 12.13 bahwa jika \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) adalah dua topologi pada suatu himpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) maka \(\tau_1\) disebut topologi yang lebih kasar (atau lebih lemah) daripada \(\tau_2\text{,}\) atau \(\tau_2\) disebut topologi yang lebih halus (atau lebih kuat) daripada \(\tau_1\text{.}\) Dalam latihan ini, kita menyelidiki apakah kekompakan merupakan sifat yang diwariskan dari topologi yang lebih lemah ke topologi yang lebih kuat atau dari topologi yang lebih kuat ke topologi yang lebih lemah. Misalkan \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) adalah dua topologi pada suatu himpunan \(X\text{.}\) Jika \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) apakah kekompakan terhadap \(\tau_1\) atau \(\tau_2\) menyiratkan sesuatu, jika memang ada, mengenai kekompakan terhadap topologi yang lain? Berikan alasan untuk jawaban Anda.
3.
Misalkan \(\E\) adalah himpunan bilangan bulat genap, dan misalkan \(\tau = \{\Z\} \cup \{O \subseteq \E\}\text{.}\) Artinya, \(\tau\) adalah koleksi semua subhimpunan \(\E\) beserta \(\Z\text{.}\)
(a)
Buktikan bahwa \(\tau\) adalah suatu topologi pada \(\Z\text{.}\)
(b)
Tentukan semua subhimpunan kompak dari \((\Z, \tau)\text{.}\) Verifikasikan jawaban Anda.
(c)
Buktikan atau sangkal: Jika \(A\) dan \(B\) adalah subhimpunan kompak dari suatu ruang topologi \(X\text{,}\) maka \(A \cap B\) juga merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{.}\)
4.
Misalkan \((X,\tau)\) adalah suatu ruang topologi
(a)
Buktikan bahwa gabungan dari sejumlah berhingga subhimpunan kompak dari \(X\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{.}\)
(b)
Dalam Latihan 3 kita semestinya telah melihat bahwa irisan himpunan-himpunan kompak belum tentu kompak. Jika \(X\) adalah Hausdorff, buktikan bahwa irisan dari sejumlah berhingga subhimpunan kompak dari \(X\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{.}\)
5.
Tinjau \(\Z\) dengan topologi garis digital (lihat Latihan 11). Tentukan semua subhimpunan kompak dari \(\Z\text{.}\)
6.
Untuk setiap \(n \in \Z^+\text{,}\) misalkan \((-n,n)\) adalah himpunan bilangan bulat dalam interval \((-n,n)\) (lihat Latihan 4.)
(a)
Tunjukkan bahwa \(\B = \{(-n,n)\}_{n \in \Z^+}\) adalah suatu basis bagi sebuah topologi \(\tau\) pada \(\Z\)
(b)
Apakah subhimpunan \((-2,2)\) kompak dalam topologi ini?
(c)
Tentukan semua subhimpunan kompak dari \(\Z\text{.}\)
7.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah ruang-ruang topologi, dan misalkan \(f: X \to Y\) adalah suatu fungsi.
(a)
Andaikan \(f\) adalah fungsi kontinu, serta \(X\) kompak dan \(Y\) Hausdorff. Buktikan bahwa jika \(C\) adalah subhimpunan tertutup dari \(X\text{,}\) maka \(f(C)\) adalah subhimpunan tertutup dari \(Y\text{.}\) (Dengan demikian, \(f\) adalah fungsi tertutup.)
Petunjuk.
Gunakan Aktivitas 17.3, Aktivitas 17.4, dan Teorema 17.6.
(b)
Andaikan \(f\) adalah bijeksi kontinu. Buktikan bahwa jika \(X\) kompak dan \(Y\) Hausdorff, maka \(f\) adalah suatu homeomorfisme.
(c)
Berikan suatu contoh ketika \(f\) adalah bijeksi kontinu dan \(X\) kompak, tetapi \(f\) bukan suatu homeomorfisme.
(d)
Berikan suatu contoh ketika \(f\) adalah bijeksi kontinu dan \(Y\) Hausdorff, tetapi \(f\) bukan suatu homeomorfisme.
8.
Topologi Entah-Atau pada interval \(X = [-1,1]\) memiliki sebagai himpunan-himpunan bukanya semua subhimpunan \(X\) yang memuat \((-1,1)\) dan setiap subhimpunan \(X\) yang tidak memuat \(0\text{.}\)
(a)
Deskripsikan subhimpunan-subhimpunan tertutup nontrivial dari \(X\text{.}\)
(b)
Apakah \(X\) merupakan ruang topologi Hausdorff? Jelaskan.
(c)
Apakah \(X\) kompak? Buktikan jawaban Anda.
(d)
Adakah subhimpunan \(X\) yang tidak kompak? Berikan alasan untuk jawaban Anda.
9.
Misalkan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \text{ adalah bilangan bulat positif} \right\}\text{.}\) Misalkan \(\B\) adalah koleksi semua interval buka berbentuk \((a,b)\) dan semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \(a \lt b\) bilangan-bilangan real sebagaimana dalam Contoh 13.13. Misalkan \(\tau_K\) adalah topologi yang dibangkitkan oleh \(\B\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \((\R, \tau_K)\) tidak kompak.
Petunjuk.
Bagaimana hubungan topologi-\(K\) dengan topologi Euklides?
(b)
Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan \(\R\) yang memuat \(K\) bukan merupakan subhimpunan kompak dari \((\R, \tau_K)\text{.}\) Secara khusus, meskipun \([0,1]\) merupakan subhimpunan tertutup dan terbatas dari \(\R\) dalam \((\R, \tau_K)\text{,}\) kita mencatat bahwa \([0,1]\) tidak kompak.
Petunjuk.
Tinjau himpunan-himpunan \(O_k = \left(\frac{1}{k},2\right) \cup (-1,1) \setminus K\) untuk \(k \in \Z^+\text{.}\)
10.
Misalkan \(X\) adalah suatu ruang topologi.
(a)
Buktikan bahwa jika \(X\) Hausdorff dan \(C\) adalah subhimpunan kompak dari \(X\text{,}\) maka untuk setiap \(x \in X \setminus C\) terdapat himpunan-himpunan buka saling lepas \(U\) dan \(V\) sedemikian sehingga \(x \in U\) dan \(C \subseteq V\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa jika \(X\) adalah ruang Hausdorff kompak, maka \(X\) normal.
11.
Misalkan \(X\) adalah himpunan tak kosong dan misalkan \(p\) adalah suatu elemen tetap dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) adalah topologi titik tertentu dan \(\tau_{\overline{p}}\) adalah topologi titik dikecualikan pada \(X\text{.}\) Artinya,
- \(\tau_{p}\) adalah koleksi subhimpunan \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
- \(\tau_{\overline{p}}\) adalah koleksi subhimpunan \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)
Fakta bahwa topologi titik tertentu dan topologi titik dikecualikan merupakan topologi dibahas dalam Latihan 9 dan Latihan 10. Tentukan, disertai bukti, subhimpunan-subhimpunan kompak dari \(X\) ketika
(a)
\(X\) memiliki topologi titik tertentu \(\tau_p\)
(b)
\(X\) memiliki topologi titik dikecualikan \(\tau_{\overline{p}}\text{.}\)
12.
Dalam latihan ini, kita menjumpai suatu ruang topologi non-Hausdorff yang setiap himpunan satu titiknya tertutup, dan yang subhimpunan kompaknya tidak harus tertutup. Tinjau himpunan \(\Z\) dengan topologi komplemen berhingga \(\tau_{FC}\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa setiap himpunan satu titik tertutup.
(b)
Jelaskan mengapa \((\Z, \tau_{FC})\) bukan ruang Hausdorff.
(c)
Misalkan \(U\) adalah suatu himpunan buka dalam \((\Z, \tau_{FC})\) yang memuat \(0\) dan \(V\) suatu himpunan buka dalam \((\Z, \tau_{FC})\) yang memuat \(1\text{.}\) Jelaskan mengapa \(U\) dan \(V\) tidak mungkin saling lepas — yaitu, \(U \cap V\) harus tak kosong.
(d)
Tunjukkan bahwa subhimpunan \(\E\) yang terdiri atas bilangan-bilangan bulat genap adalah subhimpunan kompak dari \((\Z, \tau_{FC})\) yang tidak tertutup. Verifikasikan hasil Anda.
13.
Misalkan \((X, \tau)\) adalah suatu ruang topologi Hausdorff.
(a)
Misalkan \(x \in X \setminus A\) dan misalkan \(A\) adalah subhimpunan kompak dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat subhimpunan-subhimpunan buka saling lepas \(U\) dan \(V\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(x \in U\) dan \(A \subseteq V\text{.}\)
(b)
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah subhimpunan-subhimpunan kompak saling lepas dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat himpunan-himpunan buka saling lepas \(U\) dan \(V\) sedemikian sehingga \(A \subseteq U\) dan \(B \subseteq V\text{.}\)
14.
Misalkan \((X,\tau_X)\) adalah suatu ruang topologi dan misalkan \(A\) adalah subhimpunan dari \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_A\) adalah topologi subruang pada \(A\text{.}\) Buktikan bahwa \(A\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\) jika dan hanya jika \((A, \tau_A)\) adalah ruang topologi kompak.
15.
Misalkan \(X\) adalah suatu ruang topologi. Suatu keluarga \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) dikatakan memiliki sifat irisan berhingga jika untuk setiap subhimpunan berhingga \(J\) dari \(I\text{,}\) \(\bigcap_{\alpha \in J} F_{\alpha} \neq \emptyset\text{.}\) Buktikan bahwa \(X\) kompak jika dan hanya jika untuk setiap keluarga \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\) dari subhimpunan-subhimpunan tertutup dari \(X\) yang memiliki sifat irisan berhingga, berlaku \(\bigcap_{\alpha \in I} F_{\alpha} \neq \emptyset\text{.}\)
16.
Meskipun \(\R\) bukan ruang kompak, jika \(x \in \R\text{,}\) maka \(x \in [x-1, x+1]\) sehingga setiap titik dalam \(\R\) termuat dalam suatu subhimpunan kompak dari \(\R\text{.}\) Jadi, jika kita memandang \(\R\) dari sudut pandang suatu titik dalam \(\R\text{,}\) ruang \(\R\) tampak kompak di sekitar titik tersebut. Inilah gagasan kekompakan lokal. Ruang kompak lokal penting dalam topologi umum ruang fungsi.
Definisi. Suatu ruang topologi \(X\) bersifat kompak lokal jika untuk setiap \(x \in X\) terdapat suatu himpunan buka \(O\) sedemikian sehingga \(x \in O\) dan \(\overline{O}\) kompak.
(a)
Jelaskan mengapa \(\R^n\) kompak lokal untuk setiap \(n \in \Z^+\text{.}\)
(b)
Tunjukkan bahwa setiap ruang kompak bersifat kompak lokal.
(c)
Tinjau garis Sorgenfrey dari Latihan 5. Ingat bahwa garis Sorgenfrey adalah ruang \(\R\) dengan basis \(\B = \{[a,b) \mid a \lt b \text{ di } \R\}\) bagi topologinya. Tunjukkan bahwa garis Sorgenfrey adalah Hausdorff tetapi tidak kompak lokal.
17.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan tersebut hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan suatu contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(X\) dan \(Y\) adalah ruang-ruang topologi kompak dan \(f: X \to Y\) adalah bijeksi kontinu, maka \(f\) adalah suatu homeomorfisme.
(b)
Jika \(X\) adalah suatu ruang topologi kompak, maka setiap subruang tertutup dari \(X\) bersifat kompak.
(c)
Jika \(X\) adalah suatu ruang Hausdorff, \(Y\) adalah suatu ruang kompak, dan \(f : X \to Y\) adalah fungsi kontinu dan bijektif, maka \(f\) adalah suatu homeomorfisme.
(d)
Jika \(X\) adalah suatu ruang kompak, \(Y\) adalah suatu ruang Hausdorff, dan \(f : X \to Y\) adalah bijeksi kontinu, maka \(f\) adalah suatu homeomorfisme.
(e)
Misalkan \(C\) adalah subhimpunan tertutup dari suatu ruang metrik \((X, d)\) dengan topologi metrik. Maka \(C\) kompak.
(f)
Jika \(A\) adalah subhimpunan kompak dari suatu ruang topologi \(X\text{,}\) maka \(A\) adalah subhimpunan tertutup dari \(X\text{.}\)
(g)
Misalkan \((X,\tau)\) adalah suatu ruang topologi dengan \(\tau\) topologi diskret. Maka \(X\) kompak jika dan hanya jika \(X\) berhingga.
