Bagian Pendahuluan
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Kita dapat menjadikan \(A\) sendiri sebagai ruang metrik dengan cara yang sangat sederhana. Ketika melakukannya, kita mengatakan bahwa \(A\) merupakan subruang dari \(X\text{.}\)
Aktivitas Persiapan 11.1.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Untuk menjadikan subhimpunan \(A\) sebagai ruang metrik, kita perlu mendefinisikan suatu metrik pada \(A\text{.}\) Agar dapat memandang \(A\) sebagai subruang dari \(X\text{,}\) kita ingin agar metrik pada \(A\) sesuai dengan metrik pada \(X\text{.}\) Jadi, kita mendefinisikan \(d' : A \times A \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d'(a_1,a_2) = d(a_1,a_2)
\end{equation*}
untuk setiap \(a_1, a_2 \in A\text{.}\) Perhatikan bahwa \(d\) dan \(d'\) merupakan fungsi yang berbeda karena keduanya memiliki domain yang berbeda.
(a)
Tunjukkan bahwa \(d'\) merupakan metrik pada \(A\text{.}\) Karena \(d'\) merupakan metrik pada \(A\text{,}\) maka \((A,d')\) merupakan ruang metrik. Metrik \(d'\) merupakan pembatasan dari \(d\) pada \(A \times A\) dan dapat pula dinotasikan dengan \(d_A\text{.}\)
Definisi 11.1.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik. Suatu subruang dari \((X,d)\) adalah subhimpunan \(A\) dari \(X\) yang dilengkapi dengan metrik \(d_A\) dari \(A \times A\) ke \(\R\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d_A(a_1,a_2) = d(a_1,a_2)
\end{equation*}
untuk setiap \(a_1,a_2 \in A\text{.}\)
Kita dapat menanyakan sifat-sifat ruang \(X\) mana, jika ada, yang diwarisi oleh suatu subruang.
Aktivitas Persiapan 11.2.
(a)
Misalkan \((X,d) = (\R,d_E)\) dan misalkan \(A = [0,1]\text{.}\) Misalkan \(0 \lt a \lt 1\text{.}\) Apakah himpunan \([0,a)\) terbuka di \(X\text{?}\) Apakah himpunan \([0,a)\) terbuka di \(A\text{?}\) Jelaskan.
(b)
Misalkan \((X,d) = (\R,d_E)\) dan misalkan \(A = \Z\text{.}\) Apa saja subhimpunan terbuka dari \(A\text{?}\) Jelaskan.
(c)
Misalkan \((X,d) = (\R^2,d_E)\text{,}\) misalkan \(A = \{(x,0) \mid x \in \R\}\) (sumbu \(x\) di \(\R^2\)), dan misalkan \(Z = \{(x,0) \mid 0 \lt x \lt 1\}\text{.}\) Perhatikan bahwa \(Z \subset A \subset X\text{;}\) kita dapat memandang \(Z\) sebagai subruang dari \(A\) maupun \(X\text{,}\) serta \(A\) sebagai subruang dari \(X\text{.}\)
(i)
Jelaskan mengapa \(A\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X\text{.}\)
(ii)
Jelaskan mengapa \(Z\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(A\text{.}\)
(iii)
Apakah \(Z\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(X\text{?}\) Jelaskan.
