Bagian Ringkasan
Gagasan-gagasan penting yang telah kita bahas dalam bagian ini meliputi hal-hal berikut.
- Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
- Suatu titik \(x \in X\) adalah titik batas dari \(A\) jika setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik di \(X \setminus A\text{.}\)
- Suatu titik \(x\) adalah titik limit dari \(A\) jika setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\)
- Suatu titik \(a \in A\) adalah titik terasing dari \(A\) jika terdapat lingkungan \(N\) dari \(a\) sedemikian sehingga \(N \cap A = \{a\}\text{.}\)
Titik batas dan titik limit tidak harus berada dalam himpunan \(A\text{,}\) sedangkan titik terasing dari \(A\) harus berada dalam \(A\text{.}\) Untuk \(A = (0,1) \cup \{2\}\) sebagai subhimpunan dari \((\R, d_E)\text{,}\) \(0\) merupakan titik batas, tetapi bukan titik terasing, sedangkan \(2\) merupakan titik batas, tetapi bukan titik limit. Selain itu, \(0.5\) merupakan titik limit, tetapi bukan titik batas maupun titik terasing. Jika \(A\) dipandang sebagai subhimpunan dari \(\R\) dengan metrik diskret, setiap titik dari \(A\) merupakan titik terasing, tetapi tidak ada titik di \(\R\) yang merupakan titik batas atau titik limit dari \(A\text{.}\) Jadi, meskipun setiap titik batas merupakan titik limit atau titik terasing, ketiga konsep tersebut berbeda. - Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika \(X \setminus A\) merupakan himpunan terbuka.
- Sebarang irisan himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup, sedangkan gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup.
- Suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \(X\) ke ruang metrik \(Y\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(C)\) merupakan himpunan tertutup di \(X\) setiap kali \(C\) merupakan himpunan tertutup di \(Y\text{.}\)
- Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{,}\) dan misalkan \(x\) suatu titik limit dari \(A\text{.}\) Maka terdapat barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(x\text{.}\)
- Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{,}\) dan misalkan \(x\) suatu titik batas dari \(A\text{.}\) Maka terdapat barisan \((x_n)\) di \(X \setminus A\) dan barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(x\text{.}\)
- Batas suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) adalah himpunan titik-titik batas dari \(A\text{.}\)
- Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(A\) memuat semua titik limitnya. Demikian pula, \(A\) tertutup jika dan hanya jika \(A\) memuat semua titik batasnya.
- Himpunan semua titik limit dari suatu subhimpunan \(A\) pada ruang metrik \(X\) dinotasikan dengan \(A'\text{.}\) Tutupan \(A\) adalah himpunan \(\overline{A} = A \cup A'\text{.}\) Tutupan \(A\) adalah himpunan tertutup terkecil di \(X\) yang memuat \(A\text{.}\)
- Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(\lim a_n\) berada di \(A\) setiap kali \((a_n)\) merupakan barisan konvergen di \(A\text{.}\)
