Bagian Komposisi Fungsi
Dalam pembelajaran matematika sebelumnya, kita sering menjumlahkan dan mengalikan fungsi (misalnya, jika \(f(x) = x^2\) dan \(g(x) = x+1\) memetakan \(\R\) ke \(\R\text{,}\) maka \((fg)(x) = x^2(x+1)\) dan \((f+g)(x) = x^2+(x+1)\)). Dalam topologi, pada umumnya kita tidak memperhatikan struktur aljabar apa pun yang mungkin dimiliki suatu himpunan. Karena itu, kita akan beralih dari penjumlahan dan perkalian, lalu memusatkan perhatian pada komposisi fungsi.
Gagasan dasar komposisi fungsi adalah bahwa, jika memungkinkan, keluaran suatu fungsi \(f\) digunakan sebagai masukan suatu fungsi \(g\text{.}\) Fungsi yang dihasilkan dapat disebut “\(f\) kemudian \(g\)” dan dinamakan komposit \(f\) dengan \(g\text{.}\) Notasi yang kita gunakan adalah \(g \circ f\) (perhatikan urutannya — \(f\) diterapkan lebih dahulu). Sebagai contoh, jika
\begin{equation*}
f(x) = 3x^2 + 2 \text{ dan } g(x) = \sin(x)\text{,}
\end{equation*}
keduanya memetakan \(\R\) ke \(\R\text{,}\) maka kita dapat menghitung \((g \circ f)(x)\) sebagai berikut:
\begin{equation*}
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x^2 + 2) = \sin\left(3x^2 + 2\right)\text{.}
\end{equation*}
Dalam hal ini, \(f(x)\text{,}\) yaitu keluaran fungsi \(f\text{,}\) digunakan sebagai masukan bagi fungsi \(g\text{.}\) Gagasan ini melandasi definisi formal komposisi dua fungsi.
Definisi 2.4.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) himpunan tak kosong, serta misalkan \(f : A \to B\) dan \(g : B \to C\) fungsi. Komposit \(f\) dan \(g\) adalah fungsi \(g \circ f : A \to C\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
(g \circ f)(x) = g(f(x))
\end{equation*}
untuk setiap \(x \in A\)
Fungsi \(g \circ f\) kita sebut fungsi komposit, dan \((g \circ f)(x)\) kita baca sebagai “\(g\) komposisi \(f\) dari \(x\)”.
Kegiatan 2.2.
Misalkan \(A = \{1, 2, 3\}\text{,}\) \(B = \{a, b, c, d\}\text{,}\) dan \(C = \{\alpha, \beta, \gamma\}\text{.}\) Definisikan \(f : A \to B\text{,}\) \(g : A \to B\text{,}\) dan \(h : B \to C\) dengan
\begin{equation*}
f(1) = b, \ f(2) = c, \ f(3) = a\text{,}
\end{equation*}
\begin{equation*}
g(1) = d, \ g(2) = c, \ g(3) = d, \text{ dan }
\end{equation*}
\begin{equation*}
h(a) = \gamma, \ h(b) = \alpha, \ h(c) = \beta, \ h(d) = \alpha\text{.}
\end{equation*}
(a)
Tentukan citra unsur-unsur di dalam \(A\) oleh fungsi \(h \circ f\text{.}\)
(b)
Tentukan citra unsur-unsur di dalam \(A\) oleh fungsi \(h \circ g\text{.}\)
(c)
Apakah di antara \(f\text{,}\) \(g\text{,}\) dan \(h\) ada yang merupakan injeksi? Apakah di antara \(f\text{,}\) \(g\text{,}\) dan \(h\) ada yang merupakan surjeksi?
(d)
Apakah \(h \circ f\) merupakan injeksi? Apakah \(h \circ f\) merupakan surjeksi? Jelaskan.
(e)
Apakah \(h \circ g\) merupakan injeksi? Apakah \(h \circ g\) merupakan surjeksi? Jelaskan.
Dalam
Kegiatan 2.2, kita menanyakan apakah fungsi-fungsi komposit tertentu merupakan injeksi atau surjeksi, atau keduanya. Dalam matematika, lazim untuk menyelidiki apakah sifat tertentu suatu objek juga dimiliki oleh objek yang berkaitan dengannya. Secara khusus, kita mungkin ingin mengetahui apakah komposit dua fungsi injektif juga merupakan injeksi. (Tentu saja, kita dapat mengajukan pertanyaan serupa untuk surjeksi.) Pertanyaan-pertanyaan ini diselidiki dalam aktivitas berikutnya.
Kegiatan 2.3.
Diberikan himpunan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) \(C\text{,}\) dan \(D\) berikut:
\begin{equation*}
A = \{ a, b, c \}, B = \{p, q, r\}, C = \{u, v, w, x \}, \text{ dan } D = \{u, v \}\text{.}
\end{equation*}
(a)
Susun suatu fungsi \(f : A \to B\) yang merupakan injeksi dan suatu fungsi \(g : B \to C\) yang merupakan injeksi. Dalam hal ini, apakah fungsi komposit \(g \circ f : A \to C\) merupakan injeksi? Jelaskan.
(b)
Susun suatu fungsi \(f : A \to B\) yang merupakan surjeksi dan suatu fungsi \(g : B \to D\) yang merupakan surjeksi. Dalam hal ini, apakah fungsi komposit \(g \circ f : A \to D\) merupakan surjeksi? Jelaskan.
(c)
Susun suatu fungsi \(f : A \to B\) yang merupakan bijeksi dan suatu fungsi \(g : B \to A\) yang merupakan bijeksi. Dalam hal ini, apakah fungsi komposit \(g \circ f : A \to A\) merupakan bijeksi? Jelaskan.
Dalam
Kegiatan 2.3, kita menyelidiki beberapa sifat fungsi komposit yang berkaitan dengan injeksi, surjeksi, dan bijeksi. Teorema berikut merangkum hasil yang hendak diilustrasikan oleh penyelidikan tersebut.
Teorema 2.5.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) himpunan tak kosong, serta misalkan \(f : A \to B\) dan \(g : B \to C\text{.}\)
Jika \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan injeksi, maka \((g \circ f) : A \to C\) merupakan injeksi.
Jika \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan surjeksi, maka \((g \circ f) : A \to C\) merupakan surjeksi.
Jika \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan bijeksi, maka \((g \circ f) : A \to C\) merupakan bijeksi.
Kegiatan 2.4.
(a)
(b)
(c)
Mengapa bukti bagian (3) dari
Teorema 2.5 merupakan akibat langsung dari bagian (1) dan (2)?
