Panduan konsep dan tugas sumber, bagian kedua

Lompat ke konten utama

\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\lub}{\text{lub}} \newcommand{\glb}{\text{glb}} \newcommand{\Int}{\text{Int}} \newcommand{\Bdry}{\text{Bdry}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\ssim}{\sim} \newcommand{\overparen}[1]{\overset{\frown}{#1}} \newcommand{\la}{\left|} \newcommand{\ra}{\right|} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} \)

Bagian Panduan konsep dan tugas sumber, bagian kedua

Dua puluh satu panduan berikut melanjutkan urutan tugas sumber Bab 10: dua pembuktian tentang titik terasing, empat langkah karakterisasi himpunan tertutup melalui titik limit, delapan langkah tentang tutupan dan batas, serta tujuh tugas tentang limit barisan dalam himpunan tertutup. Kerjakan dahulu butir pada bab utama, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Setiap pernyataan di bawah memparafrasakan sasaran sumber dan menyertakan rubrik keberhasilan. Teks panduan asli ini merupakan komponen terpisah yang tersedia di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).

Pemeriksaan J.23. Dari titik terasing ke ekor konstan.

Misalkan \(A\) subhimpunan ruang metrik \((X,d)\) dan \(a\) titik terasing dari \(A\text{.}\) Buktikan bahwa setiap barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(a\) pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\) Rubrik: gunakan satu lingkungan yang mengasingkan \(a\text{,}\) terapkan definisi konvergensi pada radiusnya, dan tunjukkan bahwa seluruh ekor barisan sama dengan \(a\text{.}\)

Tahap 1: pilih \(r\gt0\) sehingga \(B(a,r)\cap A=\{a\}\text{.}\) Tahap 2: karena \(a_n\to a\text{,}\) cari \(N\) yang membuat \(d(a_n,a)\lt r\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\)

Untuk suatu \(r\gt0\text{,}\) satu-satunya anggota \(A\) di \(B(a,r)\) ialah \(a\text{.}\) Konvergensi menempatkan seluruh ekor \((a_n)\) di bola itu, sehingga \(a_n=a\) pada akhirnya.

Karena \(a\) titik terasing dari \(A\text{,}\) terdapat \(r\gt0\) dengan \(B(a,r)\cap A=\{a\}\text{.}\) Konvergensi \(a_n\to a\text{,}\) diterapkan pada toleransi \(r\text{,}\) memberi \(N\in\Z^+\) sehingga \(d(a_n,a)\lt r\) apabila \(n\geq N\text{.}\) Untuk indeks tersebut, \(a_n\in B(a,r)\text{;}\) karena barisan berada di \(A\text{,}\) juga \(a_n\in A\text{.}\) Jadi \(a_n\in B(a,r)\cap A=\{a\}\text{,}\) dan akibatnya \(a_n=a\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\) Inilah arti bahwa barisan pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\)

Pemeriksaan J.24. Dari ekor konstan ke titik terasing.

Misalkan \(a\in A\) dan setiap barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a\) pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\) Buktikan bahwa \(a\) merupakan titik terasing dari \(A\text{.}\) Rubrik: sangkal keterasingan, bangun satu titik berbeda dari \(a\) di setiap bola berjari-jari \(1/n\text{,}\) lalu peroleh barisan penyangkal.

Tahap 1: jika \(a\) tidak terasing, untuk setiap \(n\) pilih \(a_n\in (B(a,1/n)\cap A)\setminus\{a\}\text{.}\) Tahap 2: buktikan \(a_n\to a\text{,}\) kemudian bandingkan dengan hipotesis tentang ekor konstan.

Jika \(a\) tidak terasing, ada barisan \((a_n)\) di \(A\setminus\{a\}\) dengan \(d(a_n,a)\lt1/n\text{.}\) Barisan ini menuju \(a\) tetapi tidak pernah sama dengan \(a\text{,}\) bertentangan dengan hipotesis. Jadi \(a\) terasing.

Andaikan, demi kontradiksi, bahwa \(a\) bukan titik terasing dari \(A\text{.}\) Maka tidak ada bola berpusat di \(a\) yang irisannya dengan \(A\) hanya \(\{a\}\text{.}\) Jadi, untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) kita dapat memilih \(a_n\in (B(a,1/n)\cap A)\setminus\{a\}\text{.}\) Dengan demikian \(d(a_n,a)\lt1/n\) dan \(a_n\neq a\) untuk semua \(n\text{.}\)

Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka \(d(a_n,a)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{;}\) jadi \(a_n\to a\text{.}\) Hipotesis sekarang mengharuskan \(a_n=a\) untuk semua indeks yang cukup besar, padahal konstruksi memastikan \(a_n\neq a\) untuk setiap indeks. Kontradiksi tersebut membuktikan bahwa \(a\) titik terasing dari \(A\text{.}\)

Pemeriksaan J.25. Sasaran untuk membuktikan ketertutupan.

Andaikan \(C'\subseteq C\text{.}\) Pada langkah pertama pembuktian bahwa \(C\) tertutup, nyatakan apa yang cukup ditunjukkan menurut definisi himpunan tertutup. Rubrik: identifikasi komplemen \(C\) di dalam \(X\) dan sifat topologis yang harus dimilikinya.

Tahap 1: ingat kesetaraan antara ketertutupan suatu himpunan dan keterbukaan komplemennya. Tahap 2: terjemahkan keterbukaan ke syarat bola di setiap titik komplemen.

Cukup dibuktikan bahwa \(X\setminus C\) terbuka, yaitu bahwa setiap \(x\in X\setminus C\) mempunyai bola terbuka yang termuat dalam \(X\setminus C\text{.}\)

Menurut definisi, \(C\) tertutup tepat ketika komplemennya \(X\setminus C\) terbuka. Karena itu sasaran pembuktian dapat dinyatakan sebagai berikut: untuk setiap \(x\in X\setminus C\text{,}\) temukan \(r\gt0\) sehingga \(B(x,r)\subseteq X\setminus C\text{.}\) Sasaran ekuivalen inilah yang akan disangkal pada langkah berikutnya untuk menjalankan pembuktian dengan kontradiksi.

Pemeriksaan J.26. Akibat andaian bahwa himpunan tidak tertutup.

Lanjutkan dengan pembuktian kontradiksi: andaikan \(C\) tidak tertutup. Apa yang dapat disimpulkan tentang \(X\setminus C\text{?}\) Rubrik: gunakan negasi langsung dari definisi ketertutupan, tanpa memakai dahulu asumsi \(C'\subseteq C\text{.}\)

Tahap 1: \(C\) tertutup jika dan hanya jika \(X\setminus C\) terbuka. Tahap 2: negasikan kedua sisi pernyataan ekuivalen itu.

Jika \(C\) tidak tertutup, maka komplemennya \(X\setminus C\) tidak terbuka.

Definisi ketertutupan menyatakan bahwa \(C\) tertutup jika dan hanya jika \(X\setminus C\) terbuka. Oleh sebab itu, andaian bahwa \(C\) tidak tertutup memaksa \(X\setminus C\) tidak terbuka. Secara berkuantor, kegagalan keterbukaan ini berarti ada sedikitnya satu titik komplemen yang tidak memiliki bola terbuka yang seluruhnya tinggal di dalam komplemen.

Pemeriksaan J.27. Titik komplemen yang juga titik limit.

Uraikan akibat dari fakta bahwa \(X\setminus C\) tidak terbuka. Hasilkan suatu \(x\in X\setminus C\) dan buktikan bahwa \(x\in C'\text{.}\) Rubrik: nyatakan kegagalan syarat bola, tunjukkan bahwa setiap bola di \(x\) bertemu \(C\text{,}\) dan periksa bahwa titik pertemuan itu berbeda dari \(x\text{.}\)

Tahap 1: ada \(x\in X\setminus C\) sehingga untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) bola \(B(x,r)\) tidak termuat dalam \(X\setminus C\text{.}\) Tahap 2: titik bola yang berada di luar komplemen terletak di \(C\text{,}\) dan tidak mungkin sama dengan \(x\text{.}\)

Ada \(x\in X\setminus C\) sehingga setiap \(B(x,r)\) bertemu \(C\text{.}\) Karena \(x\notin C\text{,}\) setiap titik pertemuan berbeda dari \(x\text{;}\) jadi \(x\) adalah titik limit dari \(C\text{.}\)

Karena \(X\setminus C\) tidak terbuka, terdapat \(x\in X\setminus C\) yang memenuhi: untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) bola \(B(x,r)\) tidak termuat dalam \(X\setminus C\text{.}\) Maka setiap bola tersebut memuat suatu titik \(y_r\) yang tidak berada di \(X\setminus C\text{,}\) sehingga \(y_r\in C\text{.}\) Di sisi lain \(x\notin C\text{,}\) jadi \(y_r\neq x\text{.}\) Dengan demikian setiap lingkungan bola di \(x\) memuat anggota \(C\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Menurut definisi, \(x\in C'\text{.}\)

Pemeriksaan J.28. Kontradiksi yang menuntaskan ketertutupan.

Jelaskan mengapa titik yang diperoleh pada langkah sebelumnya bertentangan dengan asumsi \(C'\subseteq C\text{,}\) lalu tuntaskan pembuktian. Rubrik: tulis kedua keanggotaan yang tidak serasi dan nyatakan kesimpulan tentang \(C\text{.}\)

Tahap 1: konstruksi memberi sekaligus \(x\in C'\) dan \(x\in X\setminus C\text{.}\) Tahap 2: terapkan inklusi \(C'\subseteq C\) pada keanggotaan pertama.

Dari \(x\in C'\) dan \(C'\subseteq C\) diperoleh \(x\in C\text{,}\) sedangkan konstruksi memberi \(x\notin C\text{.}\) Kontradiksi ini menunjukkan bahwa \(C\) tertutup.

Langkah sebelumnya menghasilkan \(x\in C'\text{.}\) Asumsi awal \(C'\subseteq C\) karenanya memberi \(x\in C\text{.}\) Namun titik yang sama dipilih dari \(X\setminus C\text{,}\) sehingga \(x\notin C\text{.}\) Ini kontradiksi. Jadi andaian bahwa \(C\) tidak tertutup harus ditolak; akibatnya \(C\) tertutup. Bersama arah pertama teorema, diperoleh karakterisasi bahwa \(C\) tertutup jika dan hanya jika memuat semua titik limitnya.

Pemeriksaan J.29. Sasaran sifat minimal tutupan.

Misalkan \(A\subseteq X\text{.}\) Nyatakan apa yang harus dibuktikan agar \(\overline{A}\) merupakan subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\) Rubrik: pisahkan ketertutupan dan keanggotaan \(A\) yang sudah diketahui dari syarat minimal terhadap setiap pesaing tertutup.

Tahap 1: teorema sebelumnya sudah memberi bahwa \(\overline{A}\) tertutup, dan definisinya memberi \(A\subseteq\overline{A}\text{.}\) Tahap 2: ambil sembarang himpunan tertutup \(C\) dengan \(A\subseteq C\) dan tentukan inklusi yang harus dibuktikan.

Selain mengetahui bahwa \(\overline{A}\) tertutup dan memuat \(A\text{,}\) harus dibuktikan bahwa untuk setiap himpunan tertutup \(C\) yang memuat \(A\text{,}\) berlaku \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)

Sebuah himpunan tertutup yang memuat \(A\) adalah yang terkecil menurut inklusi apabila ia termuat dalam setiap himpunan tertutup lain yang memuat \(A\text{.}\) Sudah diketahui bahwa \(\overline{A}=A\cup A'\) memuat \(A\text{,}\) dan teorema sebelumnya menyatakan bahwa \(\overline{A}\) tertutup. Jadi bagian yang tersisa ialah: untuk sembarang \(C\subseteq X\text{,}\) jika \(C\) tertutup dan \(A\subseteq C\text{,}\) maka \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)

Pemeriksaan J.30. Mengurangi sasaran ke titik limit.

Andaikan \(C\) tertutup dan \(A\subseteq C\text{.}\) Jelaskan mengapa, untuk membuktikan \(\overline{A}\subseteq C\text{,}\) cukup menunjukkan \(A'\subseteq C\text{.}\) Rubrik: uraikan definisi tutupan sebagai gabungan dan tangani kedua bagiannya.

Tahap 1: gunakan \(\overline{A}=A\cup A'\text{.}\) Tahap 2: inklusi satu bagian gabungan, yakni \(A\subseteq C\text{,}\) sudah menjadi hipotesis.

Karena \(\overline{A}=A\cup A'\) dan \(A\subseteq C\) sudah diketahui, satu-satunya inklusi yang masih perlu dibuktikan ialah \(A'\subseteq C\text{.}\)

Ambil \(x\in\overline{A}\text{.}\) Dari \(\overline{A}=A\cup A'\text{,}\) berlaku \(x\in A\) atau \(x\in A'\text{.}\) Pada kasus pertama, hipotesis \(A\subseteq C\) langsung memberi \(x\in C\text{.}\) Karena itu, jika dapat dibuktikan bahwa setiap \(x\in A'\) juga berada di \(C\text{,}\) kedua kasus memberi \(x\in C\text{.}\) Maka \(A'\subseteq C\) bersama \(A\subseteq C\) memang cukup untuk menyimpulkan \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)

Pemeriksaan J.31. Titik limit berpindah ke superset tertutup.

Ambil \(x\in A'\text{,}\) dengan \(A\subseteq C\) dan \(C\) tertutup. Tentukan apa yang dapat disimpulkan tentang \(x\text{.}\) Rubrik: mula-mula hubungkan titik limit \(A\) dengan titik limit \(C\text{,}\) lalu gunakan karakterisasi himpunan tertutup.

Tahap 1: setiap lingkungan \(x\) memuat anggota \(A\setminus\{x\}\text{,}\) yang juga anggota \(C\setminus\{x\}\text{.}\) Tahap 2: karena \(C\) tertutup, ia memuat semua titik limitnya.

Inklusi \(A\subseteq C\) membuat setiap titik limit \(A\) juga titik limit \(C\text{.}\) Jadi \(x\in C'\text{,}\) dan ketertutupan \(C\) memberi \(x\in C\text{.}\)

Misalkan \(x\in A'\text{.}\) Setiap lingkungan \(N\) dari \(x\) memuat suatu \(y\in A\) dengan \(y\neq x\text{.}\) Karena \(A\subseteq C\text{,}\) titik yang sama memenuhi \(y\in C\) dan \(y\neq x\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(x\) memuat anggota \(C\) yang berbeda dari \(x\text{,}\) sehingga \(x\in C'\text{.}\) Himpunan \(C\) tertutup dan karenanya memuat semua titik limitnya; maka \(x\in C\text{.}\) Ini membuktikan bahwa \(A'\subseteq C\text{.}\)

Pemeriksaan J.32. Menuntaskan sifat minimal tutupan.

Lengkapi pembuktian bahwa \(\overline{A}\subseteq C\) untuk setiap subhimpunan tertutup \(C\) yang memuat \(A\text{,}\) lalu simpulkan sifat minimal \(\overline{A}\text{.}\) Rubrik: gabungkan dua inklusi bagian dari \(A\cup A'\) dan nyatakan kuantifikasi atas \(C\text{.}\)

Tahap 1: hipotesis memberi \(A\subseteq C\text{,}\) sedangkan langkah sebelumnya memberi \(A'\subseteq C\text{.}\) Tahap 2: ambil gabungan dan ingat bahwa \(C\) dipilih sembarang di antara superset tertutup \(A\text{.}\)

Dari \(A\subseteq C\) dan \(A'\subseteq C\) diperoleh \(\overline{A}=A\cup A'\subseteq C\text{.}\) Karena ini berlaku bagi setiap superset tertutup \(C\) dari \(A\text{,}\) tutupan \(A\) adalah yang terkecil.

Misalkan \(C\) sembarang subhimpunan tertutup dari \(X\) dengan \(A\subseteq C\text{.}\) Untuk setiap \(x\in A'\text{,}\) panduan sebelumnya menunjukkan \(x\in C\text{;}\) jadi \(A'\subseteq C\text{.}\) Oleh karena itu

\begin{equation*} \overline{A}=A\cup A'\subseteq C. \end{equation*}

Tutupan \(\overline{A}\) sendiri tertutup dan memuat \(A\text{.}\) Karena ia termuat dalam setiap himpunan tertutup \(C\) yang memuat \(A\text{,}\) \(\overline{A}\) adalah subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\)

Pemeriksaan J.33. Dua keanggotaan dari irisan tutupan.

Misalkan \(x\in\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\text{.}\) Nyatakan dua keanggotaan yang langsung mengikuti dari fakta bahwa \(x\) berada dalam irisan itu. Rubrik: uraikan definisi keanggotaan dalam irisan tanpa menambahkan asumsi kasus.

Tahap 1: keanggotaan dalam \(P\cap Q\) berarti keanggotaan dalam \(P\) dan \(Q\text{.}\) Tahap 2: substitusikan kedua tutupan untuk \(P\) dan \(Q\text{.}\)

Berlaku sekaligus \(x\in\overline{A}\) dan \(x\in\overline{X\setminus A}\text{.}\)

Menurut definisi irisan, \(x\in P\cap Q\) jika dan hanya jika \(x\in P\) serta \(x\in Q\text{.}\) Dengan \(P=\overline{A}\) dan \(Q=\overline{X\setminus A}\text{,}\) kita memperoleh \(x\in\overline{A}\) dan \(x\in\overline{X\setminus A}\text{.}\) Kedua fakta ini akan dipakai terpisah sesuai apakah \(x\in A\) atau \(x\notin A\text{.}\)

Pemeriksaan J.34. Kasus titik berada di dalam himpunan.

Misalkan \(N\) sembarang lingkungan dari \(x\) dan tinjau kasus \(x\in A\text{.}\) Jelaskan mengapa \(N\) memuat sebuah titik di \(A\) dan sebuah titik di \(X\setminus A\text{,}\) lalu simpulkan sifat \(x\text{.}\) Rubrik: gunakan \(x\) sendiri untuk salah satu sisi dan keanggotaan dalam tutupan komplemen untuk sisi lain.

Tahap 1: karena \(x\in A\) dan \(x\in N\text{,}\) lingkungan itu sudah memuat titik \(A\text{.}\) Tahap 2: dari \(x\in\overline{X\setminus A}\) tetapi \(x\notin X\setminus A\text{,}\) simpulkan bahwa \(x\) titik limit komplemen.

Lingkungan \(N\) memuat \(x\in A\text{.}\) Selain itu, \(x\in (X\setminus A)'\text{,}\) sehingga \(N\) memuat titik \(X\setminus A\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(x\) bertemu kedua sisi, dan \(x\in\Bdry(A)\text{.}\)

Ambil sembarang lingkungan \(N\) dari \(x\text{.}\) Karena \(x\in A\) dan setiap lingkungan memuat titik pusatnya, \(N\) memuat sebuah titik di \(A\text{,}\) yakni \(x\text{.}\) Kita juga mengetahui \(x\in\overline{X\setminus A}\text{.}\) Karena dalam kasus ini \(x\notin X\setminus A\text{,}\) definisi tutupan \(\overline{X\setminus A}=(X\setminus A)\cup(X\setminus A)'\) memaksa \(x\in(X\setminus A)'\text{.}\) Maka \(N\) memuat suatu titik dari \(X\setminus A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Karena \(N\) sebarang dan bertemu \(A\) maupun komplemennya, \(x\) adalah titik batas dari \(A\text{.}\)

Pemeriksaan J.35. Kasus titik berada di luar himpunan.

Dengan \(N\) sembarang lingkungan dari \(x\text{,}\) tinjau kasus \(x\notin A\text{.}\) Jelaskan mengapa \(N\) memuat sebuah titik di \(A\) dan sebuah titik di \(X\setminus A\text{,}\) lalu simpulkan sifat \(x\text{.}\) Rubrik: tukarkan peran himpunan dan komplemennya dari kasus sebelumnya.

Tahap 1: kini \(x\in X\setminus A\text{,}\) jadi titik luar sudah tersedia di \(N\text{.}\) Tahap 2: dari \(x\in\overline{A}\) tetapi \(x\notin A\text{,}\) simpulkan \(x\in A'\) dan gunakan definisinya.

Lingkungan \(N\) memuat \(x\in X\setminus A\text{.}\) Karena \(x\in A'\text{,}\) lingkungan yang sama juga memuat titik \(A\text{.}\) Jadi \(N\) bertemu kedua sisi dan \(x\in\Bdry(A)\text{.}\)

Ambil sembarang lingkungan \(N\) dari \(x\text{.}\) Andaian \(x\notin A\) berarti \(x\in X\setminus A\text{;}\) karena \(x\in N\text{,}\) lingkungan tersebut memuat titik di luar \(A\text{.}\) Di sisi lain, \(x\in\overline{A}=A\cup A'\) dan \(x\notin A\text{,}\) sehingga \(x\in A'\text{.}\) Oleh definisi titik limit, \(N\) memuat suatu anggota \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(x\) memuat titik dari \(A\) dan dari \(X\setminus A\text{.}\) Dengan demikian \(x\in\Bdry(A)\text{.}\)

Pemeriksaan J.36. Menyimpulkan inklusi ke dalam batas.

Gabungkan kedua kasus sebelumnya untuk membuktikan \(\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\subseteq\Bdry(A)\text{.}\) Rubrik: jelaskan bahwa pemisahan kasus mencakup setiap \(x\in X\) dan kembalikan kesimpulan titik-sebarang menjadi inklusi himpunan.

Tahap 1: setiap titik \(x\in X\) memenuhi tepat satu di antara \(x\in A\) dan \(x\notin A\text{.}\) Tahap 2: kedua cabang telah memberi kesimpulan yang sama, yaitu \(x\in\Bdry(A)\text{.}\)

Baik ketika \(x\in A\) maupun ketika \(x\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\) dan komplemennya. Maka setiap \(x\) dalam irisan kedua tutupan berada di \(\Bdry(A)\text{,}\) sehingga inklusi yang diminta berlaku.

Ambil sembarang \(x\in\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) panduan 34 menunjukkan bahwa setiap lingkungan \(x\) memuat titik dari \(A\) dan dari \(X\setminus A\text{.}\) Jika \(x\notin A\text{,}\) panduan 35 memberikan sifat yang sama. Kedua kasus mencakup semua kemungkinan, sehingga selalu \(x\in\Bdry(A)\text{.}\) Karena \(x\) dipilih sembarang,

\begin{equation*} \overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\subseteq\Bdry(A). \end{equation*}

Bersama inklusi arah lain yang telah dibuktikan, hasil ini memberi \(\Bdry(A)=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\text{.}\)

Pemeriksaan J.37. Limit barisan di dalam dua himpunan.

Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) tentukan limit barisan \(a_n=1/(n+1)\text{,}\) yang seluruh sukunya berada di \(A=(0,1)\) dan \(B=[0,1]\text{.}\) Rubrik: ajukan kandidat limit dan verifikasi langsung dengan definisi \(\epsilon\)-\(N\text{.}\) Cetakan sumber menulis \(a_n=1/n\text{,}\) tetapi suku pertamanya tidak berada di \(A\text{;}\) edisi ini menggeser indeks satu langkah sesuai emendasi tercatat O003-C100 agar syarat soal berlaku bagi semua suku.

Tahap 1: uji titik \(0\) dan hitung \(d_E(a_n,0)=1/(n+1)\text{.}\) Tahap 2: untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\) yang cukup besar sehingga \(1/(N+1)\lt\epsilon\text{.}\)

Limit barisan tersebut ialah \(0\text{.}\)

Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Menurut sifat Archimedes, pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka

\begin{equation*} d_E(a_n,0)=\left|\frac{1}{n+1}\right| =\frac{1}{n+1}\lt\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}\lt\epsilon. \end{equation*}

Jadi semua suku pada ekor barisan berada sedekat yang diminta dari \(0\text{,}\) dan \(\lim a_n=0\text{.}\)

Pemeriksaan J.38. Limit tidak berada di himpunan terbuka.

Tentukan apakah \(\lim a_n\) dari panduan sebelumnya berada di \(A=(0,1)\text{.}\) Rubrik: gunakan nilai limit yang telah diperoleh dan periksa syarat keanggotaan interval terbuka.

Tahap 1: substitusikan \(\lim a_n=0\text{.}\) Tahap 2: anggota \((0,1)\) harus lebih besar secara ketat dari \(0\text{.}\)

Tidak. Karena \(\lim a_n=0\) dan \(0\notin(0,1)\text{,}\) limit tidak berada di \(A\text{.}\)

Panduan 37 menunjukkan bahwa \(\lim a_n=0\text{.}\) Interval \(A=(0,1)\) berisi tepat bilangan real \(x\) dengan \(0\lt x\lt1\text{;}\) titik ujung \(0\) tidak disertakan. Oleh karena itu \(\lim a_n=0\notin A\text{.}\) Contoh ini memperlihatkan bahwa suatu barisan yang seluruh sukunya berada dalam himpunan terbuka tidak harus memiliki limit di himpunan tersebut.

Pemeriksaan J.39. Limit berada di himpunan tertutup.

Tentukan apakah \(\lim a_n\) berada di \(B=[0,1]\text{.}\) Rubrik: gunakan limit \(0\) dan periksa apakah tanda kurung siku menyertakan titik ujung.

Tahap 1: interval \([0,1]\) memuat kedua titik ujungnya. Tahap 2: bandingkan fakta ini dengan \(\lim a_n=0\text{.}\)

Ya. Titik \(0\) berada di \([0,1]\text{,}\) sehingga \(\lim a_n\in B\text{.}\)

Karena \(B=[0,1]=\{x\in\R:0\leq x\leq1\}\text{,}\) titik ujung \(0\) merupakan anggota \(B\text{.}\) Dari \(\lim a_n=0\) diperoleh \(\lim a_n\in B\text{.}\) Berbeda dengan \(A\text{,}\) himpunan \(B\) tidak kehilangan titik batas ini.

Pemeriksaan J.40. Dua perbedaan yang menjelaskan perilaku limit.

Sebutkan dua perbedaan penting antara \(A=(0,1)\) dan \(B=[0,1]\) yang menjelaskan mengapa limit barisan berada di \(B\) tetapi tidak di \(A\text{.}\) Gunakan terminologi bagian ini. Rubrik: bandingkan jenis keterbukaan atau ketertutupan dan perlakuan kedua himpunan terhadap titik limit atau titik batasnya.

Tahap 1: klasifikasikan \((0,1)\) dan \([0,1]\) sebagai terbuka atau tertutup di \(\R\text{.}\) Tahap 2: periksa apakah masing-masing memuat titik limit sekaligus titik batas \(0\) dan \(1\text{.}\)

Himpunan \(A\) terbuka dan tidak tertutup, sedangkan \(B\) tertutup dan tidak terbuka. Selain itu, \(A\) tidak memuat titik batas sekaligus titik limit \(0\) dan \(1\text{,}\) sedangkan \(B\) memuat keduanya.

Perbedaan pertama ialah sifat topologisnya: \(A=(0,1)\) terbuka tetapi tidak tertutup dalam \(\R\text{,}\) sedangkan \(B=[0,1]\) tertutup tetapi tidak terbuka. Perbedaan kedua menyangkut titik tepi: \(0\) dan \(1\) merupakan titik batas dan titik limit dari kedua interval, tetapi \(A\) tidak memuat keduanya sedangkan \(B\) memuat keduanya. Khususnya, limit \(0\) dari \((a_n)\) hilang dari \(A\) tetapi dipertahankan oleh \(B\text{.}\) Hal ini mencerminkan karakterisasi bahwa himpunan tertutup memuat semua titik limitnya.

Pemeriksaan J.41. Memilih karakterisasi ketertutupan yang relevan.

Sebutkan tiga cara untuk menunjukkan bahwa subhimpunan ruang metrik adalah himpunan tertutup, lalu pilih cara yang paling sesuai apabila hipotesis berbicara tentang limit setiap barisan di \(C\text{.}\) Rubrik: berikan tiga kriteria yang ekuivalen dan jelaskan mengapa kriteria titik limit cocok dengan informasi barisan.

Tahap 1: ingat kriteria melalui komplemen, titik limit, dan tutupan. Tahap 2: titik limit menghasilkan barisan di \(C\) yang konvergen ke titik tersebut.

Tiga cara ialah membuktikan \(X\setminus C\) terbuka, membuktikan \(C'\subseteq C\text{,}\) atau membuktikan \(C=\overline{C}\text{.}\) Cara kedua paling relevan karena sebuah titik limit \(c\) dari \(C\) dapat diwujudkan sebagai limit suatu barisan di \(C\text{.}\)

Tiga karakterisasi yang dapat dipakai adalah: \(C\) tertutup apabila \(X\setminus C\) terbuka; \(C\) tertutup apabila ia memuat semua titik limitnya, yakni \(C'\subseteq C\text{;}\) dan \(C\) tertutup apabila \(C=\overline{C}\text{.}\) Kriteria melalui titik limit adalah pilihan paling langsung di sini. Jika \(c\in C'\text{,}\) teorema tentang titik limit menyediakan barisan \((c_n)\) di \(C\) yang menuju \(c\text{,}\) tepat jenis objek yang dapat dimasukkan ke hipotesis soal. Karakterisasi melalui batas, \(\Bdry(C)\subseteq C\text{,}\) juga setara, tetapi tidak diperlukan untuk argumen ini.

Pemeriksaan J.42. Barisan yang mendekati sebuah titik limit.

Misalkan \(c\) titik limit dari \(C\text{.}\) Nyatakan kesimpulan berurutan yang diperlukan untuk memakai hipotesis bahwa setiap barisan konvergen di \(C\) memiliki limit di \(C\text{.}\) Rubrik: bangun atau kutip keberadaan barisan di \(C\text{,}\) nyatakan limitnya, dan jaga agar semua sukunya berada di \(C\text{.}\)

Tahap 1: untuk setiap \(n\text{,}\) pilih \(c_n\in (B(c,1/n)\cap C)\setminus\{c\}\text{.}\) Tahap 2: gunakan \(d(c_n,c)\lt1/n\) untuk membuktikan \(c_n\to c\text{.}\)

Terdapat barisan \((c_n)\) di \(C\text{,}\) bahkan dengan \(c_n\neq c\text{,}\) yang konvergen ke \(c\text{.}\)

Karena \(c\in C'\text{,}\) setiap bola di \(c\) memuat anggota \(C\) yang berbeda dari \(c\text{.}\) Untuk tiap \(n\in\Z^+\text{,}\) pilih \(c_n\in (B(c,1/n)\cap C)\setminus\{c\}\text{.}\) Maka seluruh suku \(c_n\) berada di \(C\) dan \(d(c_n,c)\lt1/n\text{.}\) Jika \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Untuk \(n\geq N\text{,}\) \(d(c_n,c)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(c_n\to c\text{.}\) Ini juga merupakan penerapan langsung teorema bahwa setiap titik limit suatu himpunan adalah limit sebuah barisan di himpunan itu.

Pemeriksaan J.43. Menuntaskan kriteria barisan untuk himpunan tertutup.

Andaikan setiap barisan \((c_n)\) di \(C\) yang konvergen ke suatu \(c\in X\) memenuhi \(c\in C\text{.}\) Gunakan hasil panduan sebelumnya untuk menyelesaikan pembuktian bahwa \(C\) tertutup. Rubrik: terapkan hipotesis kepada barisan yang dibangun, generalisasikan dari satu titik limit sebarang, lalu gunakan karakterisasi ketertutupan.

Tahap 1: barisan dari panduan 42 berada di \(C\) dan menuju \(c\text{,}\) sehingga hipotesis menentukan keanggotaan \(c\text{.}\) Tahap 2: karena \(c\in C'\) dipilih sembarang, simpulkan satu inklusi himpunan.

Hipotesis memberi \(c\in C\) untuk setiap \(c\in C'\text{.}\) Jadi \(C'\subseteq C\text{,}\) dan karakterisasi melalui titik limit menyatakan bahwa \(C\) tertutup.

Ambil sembarang \(c\in C'\text{.}\) Panduan 42 menghasilkan barisan \((c_n)\) di \(C\) dengan \(c_n\to c\text{.}\) Hipotesis soal berlaku bagi setiap barisan di \(C\) yang konvergen ke titik di \(X\text{;}\) karena itu hipotesis tersebut memberi \(c\in C\text{.}\) Titik \(c\in C'\) dipilih sembarang, sehingga \(C'\subseteq C\text{.}\) Menurut karakterisasi himpunan tertutup melalui titik limit, inklusi ini membuktikan bahwa \(C\) tertutup. Dengan demikian kedua arah kriteria barisan telah lengkap: \(C\) tertutup jika dan hanya jika setiap barisan konvergen di \(C\) memiliki limit di \(C\text{.}\)

<Sebelumnya ^Atas Berikutnya>