Teorema 8.8.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik. Suatu subhimpunan \(O\) dari \(X\) merupakan himpunan terbuka jika dan hanya jika setiap titik dari \(O\) merupakan titik interior dari \(O\text{.}\)
Bagian Interior Suatu Himpunan
Himpunan terbuka dapat dicirikan melalui titik-titik interiornya. Menurut definisi, setiap himpunan terbuka merupakan lingkungan bagi setiap titiknya, sehingga setiap titik dari suatu himpunan terbuka \(O\) merupakan titik interior dari \(O\text{.}\) Sebaliknya, jika setiap titik dari suatu himpunan \(O\) merupakan titik interior dari himpunan tersebut, maka \(O\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan bersifat terbuka. Argumen ini dirangkum dalam teorema berikut.
Kumpulan titik-titik interior suatu himpunan membentuk subhimpunan dari himpunan tersebut, yang disebut interior himpunan itu.
Definisi 8.9.
Interior dari suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) adalah himpunan
\begin{equation*}
\Int(A) = \{a \in A \mid a \text{ adalah titik interior dari } A\}\text{.}
\end{equation*}
Kegiatan 8.7.
Tentukan \(\Int(A)\) untuk setiap himpunan \(A\) berikut.
(a)
\(A = (0,1]\) dalam \((\R, d_E)\)
(b)
\(A = [0,1]\) dalam \((\R, d_E)\)
(c)
\(A = \{-2\} \cup [0,5] \cup \{7,8,9\}\) dalam \((\R,d_E)\)
Kita mungkin menduga bahwa interior suatu himpunan merupakan himpunan terbuka. Hal ini benar, tetapi kita bahkan dapat menyatakan lebih jauh. Seperti yang akan ditunjukkan oleh Teorema 8.10, jika \(A\) merupakan subhimpunan dari ruang metrik \(X\text{,}\) \(\Int(A)\) tidak hanya merupakan himpunan terbuka, tetapi setiap himpunan terbuka yang termuat dalam \(A\) juga merupakan subhimpunan dari \(\Int(A)\text{.}\) Jadi, dalam arti relasi inklusi, \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang termuat dalam \(A\text{.}\)
Teorema 8.10.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Maka interior \(A\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang termuat dalam \(A\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Kita perlu membuktikan bahwa \(\Int(A)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) dan bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang termuat dalam \(A\text{.}\) Pertama, kita menunjukkan bahwa \(\Int(A)\) merupakan himpunan terbuka. Misalkan \(a \in \Int(A)\text{.}\) Maka \(a\) merupakan titik interior dari \(A\text{,}\) sehingga \(A\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Hal ini berarti bahwa terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(a, \epsilon) \subseteq A\text{.}\) Namun, \(B(a, \epsilon)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya, sehingga setiap titik dalam \(B(a, \epsilon)\) merupakan titik interior dari \(A\text{.}\) Dengan demikian, \(B(a, \epsilon) \subseteq \Int(A)\text{.}\) Jadi, \(\Int(A)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan, akibatnya, \(\Int(A)\) merupakan himpunan terbuka.
Pembuktian bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang termuat dalam \(A\) diserahkan kepada aktivitas berikut.
Kegiatan 8.8.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Apa yang harus kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang termuat dalam \(A\text{?}\)
(b)
Misalkan \(O\) suatu subhimpunan terbuka dari \(X\) yang termuat dalam \(A\text{,}\) dan misalkan \(x \in O\text{.}\) Apa yang dapat kita simpulkan dari fakta bahwa \(O\) terbuka?
(c)
Lengkapi pembuktian bahwa \(O \subseteq \Int(A)\text{.}\)
Salah satu akibat dari Teorema 8.10 adalah sebagai berikut.
Corollary 8.11.
Suatu subhimpunan \(O\) dari ruang metrik \(X\) merupakan himpunan terbuka jika dan hanya jika \(O = \Int(O)\text{.}\)
Pembuktiannya diserahkan kepada Latihan 2.
