Bagian Pendahuluan
Himpunan terbuka sangat penting dalam topologi. Nanti kita akan melihat bahwa setiap ruang topologi sepenuhnya ditentukan oleh himpunan-himpunan terbukanya, dan fungsi kontinu dapat didefinisikan hanya dengan menggunakan himpunan terbuka. Pada bagian ini kita memperkenalkan gagasan bola terbuka dan lingkungan dalam ruang metrik serta menemukan beberapa sifatnya. Pembahasan ini akan menjadi landasan untuk memperkenalkan himpunan terbuka pada bagian berikutnya.
Ingat bahwa kekontinuan suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X, d_X)\) ke ruang metrik \((Y, d_Y)\) di titik \(a\) didefinisikan menggunakan himpunan titik \(x \in X\) yang memenuhi \(d_X(x,a) \lt \delta\) dan titik \(y \in Y\) yang memenuhi \(d_Y(y, f(a)) \lt \epsilon\text{,}\) untuk bilangan real positif \(\delta\) dan \(\epsilon\text{.}\) Dalam \(\R\) dengan metrik Euklides \(d_E\text{,}\) untuk bilangan real \(x\) dan \(a\text{,}\) himpunan nilai \(x\) yang memenuhi \(d_E(x,a) \lt \delta\) adalah himpunan nilai \(x\) yang memenuhi \(| x-a | \lt \delta\text{.}\) Kita sering menuliskan himpunan ini dalam notasi interval sebagai \((a-\delta,
a+\delta)\) dan menyebut \((a-\delta,
a+\delta)\) sebagai interval terbuka. Alasan informal mengapa kita menyebut interval tersebut terbuka (berbeda dengan interval \([a-\delta,
a+\delta)\text{,}\) \((a-\delta, a+\delta]\text{,}\) or \([a-\delta,
a+\delta]\)) ialah bahwa interval terbuka tidak memuat satu pun dari kedua titik ujungnya. Alasan yang lebih mendasar untuk menyebut interval tersebut terbuka ialah bahwa jika \(x'\) adalah sembarang unsur dalam \((a-\delta,
a+\delta)\text{,}\) maka kita dapat menemukan interval terbuka lain di sekitar \(x'\) yang seluruhnya termuat dalam interval \((a-\delta,
a+\delta)\text{.}\) Jadi, secara naif, kita dapat membayangkan interval terbuka sebagai interval yang menyediakan cukup ruang bagi setiap titik di dalamnya untuk sedikit bergerak di sekitar posisinya sambil tetap berada di dalam interval tersebut.
Karena interval terbuka \((a-\delta,
a+\delta)\) dapat dijelaskan sepenuhnya dengan metrik Euklides sebagai himpunan nilai \(x\) yang memenuhi \(d_E(x,a) \lt \delta\text{,}\) tidak ada alasan untuk tidak memperluas gagasan interval terbuka ini ke sembarang ruang metrik. Namun, perlu kita perhatikan bahwa \(\R\) berdimensi satu, sedangkan kebanyakan ruang metrik tidak demikian, sehingga istilah “interval” tidak lagi sesuai. Kita mengganti konsep interval dengan konsep bola terbuka.
Definisi 7.1.
Misalkan \((X, d_X)\) suatu ruang metrik dan \(a \in X\text{.}\) Untuk \(\delta \gt 0\text{,}\) bola terbuka \(B(a, \delta)\) berjari-jari \(\delta\) dan berpusat di \(a\) adalah himpunan
\begin{equation*}
B(a, \delta) = \{x \in X \mid d_X(x,a) \lt \delta\}\text{.}
\end{equation*}
Perlu diperhatikan bahwa notasi kita untuk bola terbuka tidak digunakan secara universal. Sebagai contoh, beberapa buku menggunakan \(B_{\delta}(a)\) untuk menyatakan \(B(a,\delta)\) dalam notasi kita.
Aktivitas Persiapan 7.1.
Jelaskan dan buat sketsa bola terbuka yang dinyatakan pada masing-masing ruang metrik berikut.
(a)
Bola terbuka \(B(2, 1)\) dalam ruang metrik \((\R, d_E)\) dengan metrik Euklides
\begin{equation*}
d_E(x,y) = | x-y |\text{.}
\end{equation*}
(b)
Bola terbuka \(B((3,2), 1)\) dalam ruang metrik \((\R^2, d_E)\) dengan metrik Euklides
\begin{equation*}
d_E((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}\text{.}
\end{equation*}
(c)
Bola terbuka \(B((3,2), 1)\) dalam ruang metrik \((\R^2, d_M)\) dengan metrik maksimum
\begin{equation*}
d_M((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \max\{| x_1-y_1 |, | x_2-y_2 |\}\text{.}
\end{equation*}
(d)
Bola terbuka \(B((3,2), 1)\) dalam ruang metrik \((\R^2, d_T)\) dengan metrik taksi
\begin{equation*}
d_T((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = | x_1-y_1 | + | x_2-y_2 |\text{.}
\end{equation*}
(e)
Bola terbuka \(B((3,2), 1)\) dalam ruang metrik \((\R^2, d)\) dengan metrik diskret
\begin{equation*}
d(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x=y \\ 1 \amp \text{ jika } x \neq y. \end{cases}\text{.}
\end{equation*}
Apa perbedaan antara \(B((3,2),1)\) dan \(B((3,2),r)\) dalam ruang metrik ini jika \(r > 1\text{?}\) Bagaimana jika \(r \lt 1\text{?}\)
