Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Kita mempunyai \(f(4)=8\text{.}\) Satu-satunya himpunan terbuka dalam \(Y\) yang memuat \(8\) adalah \(Y\) sendiri. Karena setiap lingkungan bagi \(8\) harus memuat suatu himpunan terbuka yang memuat \(8\text{,}\) satu-satunya lingkungan bagi \(8\) juga \(Y\text{.}\) Prapetanya adalah \(f^{-1}(Y)=X\text{,}\) dan \(X\) merupakan lingkungan bagi \(4\text{.}\) Jadi syarat kekontinuan di \(4\) terpenuhi.

Pencirian kekontinuan mensyaratkan agar prapeta setiap himpunan terbuka dalam \(Y\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \(f(3)=6\) dan tidak ada titik lain yang dipetakan ke \(6\text{,}\) berlaku \(f^{-1}(\{6\})=\{3\}\text{.}\) Himpunan \(\{3\}\) tidak tercantum dalam \(\tau_X\text{.}\) Satu kegagalan ini sudah membuktikan bahwa \(f\) tidak kontinu, meskipun fungsi tersebut kontinu di titik \(4\) seperti pada panduan sebelumnya.

Himpunan terbuka dalam kodomain tepat \(\emptyset\text{,}\) \(\{a\}\text{,}\) \(\{a,c\}\text{,}\) dan \(Y\text{.}\) Dari nilai-nilai fungsi diperoleh \(f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\text{,}\) \(f^{-1}(\{a\})=\{1\}\text{,}\) \(f^{-1}(\{a,c\})=\{1,2\}\text{,}\) dan \(f^{-1}(Y)=X\text{.}\) Keempat hasil tersebut berada dalam \(\tau_X\text{.}\) Oleh karena itu, pencirian melalui prapeta himpunan terbuka menunjukkan bahwa \(f\) kontinu.

Karena \(\{2\}\in\tau_X\text{,}\) himpunan \(O=\{2\}\) terbuka. Nilai \(f(2)=c\) memberi \(f(O)=\{c\}\text{.}\) Akan tetapi, \(\{c\}\) bukan salah satu dari \(\emptyset,\{a\},\{a,c\},Y\text{,}\) sehingga tidak terbuka dalam \(Y\text{.}\) Contoh ini juga memperlihatkan bahwa kekontinuan mengatur prapeta himpunan terbuka, bukan menjamin citra himpunan terbuka selalu terbuka.

Definisi analog diperoleh dengan mengganti kata “terbuka” oleh “tertutup” pada domain dan kodomain: untuk setiap \(C\subseteq X\text{,}\) jika \(C\) tertutup dalam \(X\text{,}\) maka \(f(C)\) harus tertutup dalam \(Y\text{.}\) Penggunaan citra langsung \(f(C)\) penting; persyaratan mengenai prapeta himpunan tertutup merupakan pencirian kekontinuan, bukan definisi pemetaan tertutup.

Nilai fungsi berturut-turut adalah \(f(1)=3\text{,}\) \(f(2)=2\text{,}\) \(f(3)=1\text{,}\) \(f(4)=2\text{,}\) dan \(f(5)=3\text{.}\) Untuk memeriksa kekontinuan di suatu titik, cukup memeriksa prapeta setiap himpunan terbuka yang memuat nilai fungsi di titik itu.

Di \(1\text{,}\) himpunan terbuka tak trivial yang memuat \(f(1)=3\) adalah \(\{3,5\}\) dan \(\{1,3,5\}\text{.}\) Prapetanya masing-masing \(\{1,5\}\) dan \(\{1,3,5\}\text{.}\) Himpunan pertama merupakan lingkungan bagi \(1\) karena memuat himpunan terbuka \(\{1\}\text{,}\) sedangkan himpunan kedua terbuka. Jadi \(f\) kontinu di \(1\text{.}\) Satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(2\) adalah \(X\text{;}\) karena \(f(2)=f(4)=2\) dan \(f^{-1}(X)=X\text{,}\) fungsi kontinu di \(2\) dan \(4\text{.}\)

Di \(3\text{,}\) himpunan terbuka \(\{1\}\) memuat \(f(3)=1\text{,}\) tetapi \(f^{-1}(\{1\})=\{3\}\) bukan lingkungan bagi \(3\text{.}\) Di \(5\text{,}\) himpunan terbuka \(\{3,5\}\) memuat \(f(5)=3\text{,}\) tetapi \(f^{-1}(\{3,5\})=\{1,5\}\) bukan lingkungan bagi \(5\text{.}\) Maka titik-titik kekontinuan tepat \(\{1,2,4\}\text{,}\) sehingga \(f\) bukan fungsi kontinu.

Dalam \((\Z,d_E)\text{,}\) bola berjari-jari \(1/2\) di sekitar \(0\) adalah \(\{0\}\text{,}\) sehingga \(\{0\}\) merupakan lingkungan terbuka bagi \(f(0)=0\text{.}\) Prapetanya adalah \(f^{-1}(\{0\})=\{0\}\text{.}\) Himpunan ini bukan lingkungan bagi \(0\) dalam \(\tau_{FC}\text{:}\) setiap himpunan terbuka tak kosong dalam topologi tersebut mempunyai komplemen berhingga dan karena itu tidak dapat termuat dalam \(\{0\}\text{.}\) Jadi \(f\) tidak kontinu di \(0\text{.}\) Argumen yang sama dengan \(\{n\}\) berlaku untuk setiap \(n\in\Z\text{,}\) sehingga tidak ada titik kekontinuan.

Setiap himpunan beranggota tunggal \(\{n\}\) terbuka dalam \((\Z,d_E)\text{,}\) misalnya sebagai bola berjari-jari \(1/2\text{.}\) Karena setiap subhimpunan \(\Z\) merupakan gabungan himpunan beranggota tunggal, topologi domain bersifat diskret. Sekarang ambil sembarang \(O\in\tau_{FC}\text{.}\) Karena \(f\) fungsi identitas, \(f^{-1}(O)=O\text{,}\) dan subhimpunan ini terbuka dalam domain diskret. Jadi prapeta setiap himpunan terbuka dalam kodomain terbuka dalam domain, sehingga \(f\) kontinu.

Definisi menyatakan bahwa \(f\) kontinu di \(a\) tepat ketika prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Karena yang hendak dibuktikan adalah kekontinuan fungsi pada seluruh domain, ambil \(a\in X\) secara sembarang, lalu ambil sembarang lingkungan \(N\) bagi \(f(a)\text{.}\) Sasaran pembuktiannya adalah menunjukkan bahwa \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Jika sasaran ini tercapai untuk pilihan sembarang tersebut, \(f\) kontinu di setiap titik dan karena itu merupakan fungsi kontinu.