Carilah fungsi \(f: \R \to \R\) sedemikian sehingga setiap unsur kodomain memiliki tepat satu prapeta.
(b)
Carilah fungsi \(f: \R \to \R\) sedemikian sehingga setiap unsur kodomain memiliki setidaknya dua prapeta.
(c)
Carilah fungsi \(f: \R \to \R\) sedemikian sehingga setiap unsur memiliki tepat dua prapeta.
(d)
Carilah fungsi \(f: \R \to \R\) sedemikian sehingga terdapat sebuah unsur kodomain yang memiliki tepat tiga prapeta dan sebuah unsur kodomain lain yang memiliki tepat dua prapeta.
(e)
Carilah fungsi \(f: \R \to \R\) sedemikian sehingga terdapat sebuah unsur kodomain yang memiliki tak berhingga banyak prapeta.
2.
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah fungsi tersebut merupakan injeksi, surjeksi, bijeksi, atau bukan salah satu di antaranya. Ingatlah untuk memperhatikan dengan cermat domain dan kodomain dalam setiap kasus. Berikan alasan untuk semua kesimpulan Anda.
(a)
\(F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) didefinisikan oleh \(F( x ) = 5x + 3\text{,}\) untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\)
(b)
\(G:\Z \to \Z\) didefinisikan oleh \(G( x ) = 5x + 3\text{,}\) untuk setiap \(x \in \Z\)
(c)
\(f: ( \R \setminus \left\{ 4 \right\} ) \to \R\) didefinisikan oleh \(f ( x ) = \dfrac{3x}{x - 4}\text{,}\) untuk setiap \(x \in \left( \R \setminus\{ 4 \} \right)\)
(d)
\(g: ( \R \setminus \left\{ 4 \right\} ) \to ( \R \setminus \left\{ 3 \right\} )\) didefinisikan oleh \(g ( x ) = \dfrac{3x}{x - 4}\text{,}\) untuk setiap \(x \in \left( \R \setminus \{ 4 \} \right)\)
(e)
\(h: \R \to \R_{\geq 0}\) didefinisikan oleh \(h(x) = x^2\) untuk setiap \(x \in \R\text{,}\) dengan \(\R_{\geq 0} = \{x \in \R \mid x \geq 0\}\)
(f)
\(k: \R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0}\) didefinisikan oleh \(k(x) = x^2\) untuk setiap \(x \in \R_{\geq 0}\)
3.
Misalkan \(A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) dan \(B = \{a,b,c,d,e,g\}\text{,}\) lalu definisikan \(f:A \to B\) sebagaimana diberikan dalam Tabel 2.13.
Tabel2.13.Fungsi dari \(A\) ke \(B\)
\(x\)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\(f(x)\)
\(c\)
\(d\)
\(a\)
\(g\)
\(a\)
\(c\)
\(e\)
\(d\)
\(c\)
\(a\)
(a)
Apakah \(f\) merupakan injeksi? Apakah \(f\) merupakan surjeksi? Jelaskan.
(b)
Carilah subhimpunan terbesar \(C\) dari \(A\) (terbesar dalam hal banyaknya unsur \(C\)) sedemikian sehingga \(f|_C\) merupakan injeksi.
(c)
Carilah subhimpunan \(D\) dari \(B\) sedemikian sehingga fungsi dengan aturan yang sama, dipandang sebagai \(f:A \to D\text{,}\) merupakan surjeksi.
(d)
Carilah subhimpunan \(X\) dari \(A\) dan \(Y\) dari \(B\) sedemikian sehingga \(f|_X : X \to Y\) merupakan bijeksi.
4.
Misalkan \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan yang masing-masing memiliki setidaknya dua unsur berbeda.
(a)
Gambarkan suatu subhimpunan \(X \subset A \times B\) yang merupakan hasil kali Kartesius antara suatu subhimpunan dari \(A\) dan suatu subhimpunan dari \(B\text{.}\)
(b)
Tunjukkan bahwa terdapat suatu subhimpunan \(W \subset A \times B\) yang bukan merupakan hasil kali Kartesius antara suatu subhimpunan dari \(A\) dan suatu subhimpunan dari \(B\text{.}\) [Dengan demikian, tidak setiap subhimpunan dari suatu hasil kali Kartesius merupakan hasil kali Kartesius dari sepasang subhimpunan.]
5.
Kardinalitas suatu himpunan berhingga didefinisikan sebagai banyaknya unsur himpunan tersebut. Kita menyatakan kardinalitas himpunan \(A\) dengan \(|A|\text{.}\) Misalkan \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan dengan \(|A| = n\) dan \(|B| = m\) untuk bilangan bulat positif \(m\) dan \(n\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat bijeksi \(f: A \to B\) jika dan hanya jika \(n = m\text{.}\)
6.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) merupakan himpunan dan \(f: X \to Y\) merupakan fungsi.
(a)
Misalkan \(A\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\text{.}\) Buatlah contoh untuk menunjukkan bahwa secara umum, \(A \neq f^{-1}(f(A))\text{.}\)
Untuk menunjukkan bahwa kedua himpunan tersebut tidak sama, pertimbangkan himpunan \(X\) dan \(Y\) yang masing-masing memiliki dua unsur.
(b)
Misalkan \(B\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f(f^{-1}(B)) \subseteq B\text{.}\) Buatlah contoh untuk menunjukkan bahwa secara umum, \(f(f^{-1}(B)) \neq B\text{.}\)
Untuk menunjukkan bahwa kedua himpunan tersebut tidak sama, pertimbangkan himpunan \(X\) dan \(Y\) yang masing-masing memiliki dua unsur.
(c)
Buktikan bahwa \(f\) merupakan surjeksi jika dan hanya jika \(f(f^{-1}(B)) = B\) untuk setiap subhimpunan \(B\) dari \(Y\text{.}\)
(d)
Buktikan bahwa \(f\) merupakan injeksi jika dan hanya jika \(f^{-1}(f(A)) = A\) untuk setiap subhimpunan \(A\) dari \(X\text{.}\)
7.
Misalkan \(f : X \to Y\) merupakan fungsi dan \(\{A_{\alpha}\}\) merupakan koleksi subhimpunan dari \(X\) yang diindeks oleh \(\alpha\) dalam himpunan indeks \(I\text{,}\) serta \(\{B_{\beta}\}\) merupakan koleksi subhimpunan dari \(Y\) yang diindeks oleh \(\beta\) dalam himpunan indeks \(J\text{.}\) Buktikan atau sangkal setiap pernyataan berikut. Jika suatu pernyataan tidak benar, apakah salah satu arah inklusi berlaku? Buktikan jawaban Anda.
Misalkan \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan tak kosong, dan \(f: A \to B\) merupakan bijeksi. Buktikan bahwa
(a)
Untuk setiap \(x\) dalam \(A\text{,}\)\(\left( f^{-1} \circ f \right)(x) = x\text{.}\)
(b)
Untuk setiap \(y\) dalam \(B\text{,}\)\(\left( f \circ f^{-1}\right)(y) = y\text{.}\)
9.
Misalkan \(R\text{,}\)\(S\text{,}\) dan \(T\) merupakan himpunan, serta \(g: R \to S\) dan \(h : S \to T\) merupakan fungsi. Misalkan \(O\) merupakan subhimpunan dari \(T\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((h \circ g)^{-1}(O) = g^{-1}(h^{-1}(O))\text{.}\)
10.
Misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan himpunan tak kosong, dan misalkan \(X = X_1 \times X_2\text{.}\) Definisikan \(\pi_i :X \to X_i\) dengan \(\pi_i(x) = x_i\text{,}\) dengan \(x = (x_1,x_2)\text{.}\) Kita menyebut \(\pi_i\) sebagai proyeksi dari \(X\) ke \(X_i\text{.}\) Misalkan \(Y_1\) dan \(Y_2\) merupakan himpunan tak kosong, dan misalkan \(Y = Y_1 \times Y_2\text{.}\) Andaikan bahwa untuk setiap \(i\) terdapat fungsi \(f_i : X_i \to Y_i\text{.}\) Sebagai contoh, misalkan \(X_i = \{i,i+1\}\) dan \(Y_i = \{-i, -i-1\}\text{.}\) Kita kemudian dapat mendefinisikan \(f_i\) dengan \(f_i(x) = -x\) untuk \(i\) yang bernilai \(1\) ataupun \(2\text{.}\)
(a)
Buktikan bahwa \(\pi_i\) merupakan surjeksi untuk setiap \(i\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa terdapat tepat satu fungsi \(f: X \to Y\) sedemikian sehingga \(\pi_i \circ f = f_i \circ \pi_i\) untuk setiap \(i\text{.}\) (Perhatikan bahwa salah satu \(\pi_i\) memetakan \(X\) ke \(X_i\text{,}\) sedangkan yang lain memetakan \(Y\) ke \(Y_i\text{.}\))
(c)
Fungsi \(f\) dari bagian (b) dinyatakan dengan \(f = f_1 \times f_2\text{.}\) Misalkan \(Z_1\) dan \(Z_2\) merupakan dua himpunan tak kosong, dan misalkan \(Z = Z_1 \times Z_2\text{.}\) Andaikan bahwa terdapat fungsi \(g_i : Y_i \to Z_i\) untuk setiap \(i\text{.}\) Tunjukkan bahwa
Mulailah dengan menghitung beberapa keluaran fungsi sebelum mencoba menulis bukti. Saat menyelidiki apakah fungsi tersebut merupakan injeksi, ada baiknya Anda membagi kasus menurut apakah masukannya genap atau ganjil. Saat menyelidiki apakah \(f\) merupakan surjeksi, pertimbangkan pembagian kasus menurut apakah keluarannya positif atau kurang dari atau sama dengan nol.
12.
Operasi \(*\) pada himpunan \(S\) adalah fungsi dari \(S \times S\) ke \(S\) yang, untuk pasangan \((x,y) \in S \times S\text{,}\) menetapkan unsur \(x*y\) dalam \(S\text{.}\) Sebagai contoh, penjumlahan bilangan bulat dapat didefinisikan sebagai fungsi \(f : \Z \times \Z \to \Z\) yang memetakan pasangan \((a,b)\in \Z \times \Z\) ke bilangan bulat \(f(a,b) = a+b\text{.}\)
(a)
Apakah fungsi \(f\) merupakan injeksi? Berikan alasan untuk kesimpulan Anda.
(b)
Apakah fungsi \(f\) merupakan surjeksi? Berikan alasan untuk kesimpulan Anda.
13.
Misalkan \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(C\) merupakan himpunan dan \(f : A \to B\) serta \(g : B \to C\) merupakan fungsi.
(a)
Benarkah bahwa jika \(g \circ f\) merupakan injeksi, maka \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan injeksi? Jika jawabannya tidak, adakah syarat yang harus dipenuhi oleh \(f\) atau \(g\) jika \(g \circ f\) merupakan injeksi? Buktikan jawaban Anda.
(b)
Benarkah bahwa jika \(g \circ f\) merupakan surjeksi, maka \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan surjeksi? Jika jawabannya tidak, adakah syarat yang harus dipenuhi oleh \(f\) atau \(g\) jika \(g \circ f\) merupakan surjeksi? Buktikan jawaban Anda.
14.
(a)
Apakah komposisi fungsi merupakan operasi komutatif? Buktikan jawaban Anda.
(b)
Apakah komposisi fungsi merupakan operasi asosiatif? Buktikan jawaban Anda.
15.
(a)
Definisikan \(f: \Z_5 \to \Z_5\) dengan \(f\left( [x] \right) = \left[x^2 + 4 \right]\) untuk setiap \([x] \in \Z_5\text{.}\) Tuliskan invers dari \(f\) sebagai himpunan pasangan terurut, dan jelaskan mengapa \(f^{-1}\) bukan fungsi.
(b)
Definisikan \(g: \Z_5 \to \Z_5\) dengan \(g\left( [x] \right) = \left[x^3 + 4 \right]\) untuk setiap \([x] \in \Z_5\text{.}\) Tuliskan invers dari \(g\) sebagai himpunan pasangan terurut, dan jelaskan mengapa \(g^{-1}\) merupakan fungsi.
(c)
Mungkinkah kita menuliskan rumus untuk \(g^{-1}\left( [y] \right)\text{,}\) dengan \([y] \in \Z_5\text{?}\) Jawaban atas pertanyaan ini bergantung pada apakah akar pangkat tiga dari unsur-unsur \(\Z_5\) dapat didefinisikan. Ingatlah bahwa untuk bilangan real \(x\text{,}\) kita mendefinisikan akar pangkat tiga dari \(x\) sebagai bilangan real \(y\) sedemikian sehingga \(y^3 = x\text{.}\) Dengan kata lain, \(y = \sqrt[3]{x}\) jika dan hanya jika \(y^3 = x\text{.}\) Dengan menggunakan gagasan ini, mungkinkah kita mendefinisikan akar pangkat tiga dari setiap unsur \(\Z_5\text{?}\) Jika ya, tentukan \(\sqrt[3]{[0]}\text{,}\)\(\sqrt[3]{[1]}\text{,}\)\(\sqrt[3]{[2]}\text{,}\)\(\sqrt[3]{[3]}\text{,}\) dan \(\sqrt[3]{[4]}\text{.}\)
(d)
Sekarang jawablah pertanyaan yang diajukan pada awal bagian (c). Jika memungkinkan, tentukan rumus untuk \(g^{-1}\left([y] \right)\) dengan \(g^{-1}: \Z_5 \to \Z_5\text{.}\)
16.
Misalkan \(A\) merupakan himpunan semua fungsi \(f:[a,b] \to \R\) yang kontinu pada \([a,b]\) (gunakan kembali pengetahuan Anda tentang fungsi kontinu dari kalkulus untuk soal ini). Misalkan \(B\) merupakan subhimpunan dari \(A\) yang terdiri atas semua fungsi dengan turunan yang kontinu pada \([a,b]\text{.}\) Misalkan \(C\) merupakan subhimpunan dari \(B\) yang terdiri atas semua fungsi yang bernilai 0 di \(a\text{.}\)
(a)
(i)
Berikan contoh fungsi yang berada dalam \(A\text{,}\) tetapi tidak dalam \(B\text{,}\) dengan \([a,b] = [-1,1]\text{.}\)
(ii)
Berikan contoh fungsi yang berada dalam \(B\text{,}\) tetapi tidak dalam \(C\text{,}\) dengan \([a,b] = [-1,1]\text{.}\)
(iii)
Berikan contoh fungsi yang berada dalam \(C\) dengan \([a,b] = [-1,1]\text{.}\)
Tunjukkan bahwa \(h\) memetakan \(A\) ke \(C\text{.}\)
(ii)
Tunjukkan bahwa \(h\) invertibel dengan mencari fungsi \(g : C \to A\) sedemikian sehingga \(g\) dan \(h\) merupakan fungsi invers satu sama lain.
17.
Misalkan \(f:X \to Y\) suatu fungsi. Untuk setiap pernyataan berikut, nyatakan “benar” jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan tersebut hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, nyatakan “salah” dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(A\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\text{.}\)
(b)
Jika \(A\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(f^{-1}(f(A)) \subseteq A\text{.}\)
(c)
Jika \(B\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{,}\) maka \(B \subseteq f(f^{-1}(B))\text{.}\)
(d)
Jika \(B\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{,}\) maka \(f(f^{-1}(B)) \subseteq B\text{.}\)
(e)
Jika \(A_1\) dan \(A_2\) merupakan subhimpunan dari \(X\) dengan \(A_1 \subseteq A_2\text{,}\) maka \(f(A_1) \subseteq f(A_2)\text{.}\)
(f)
Jika \(B_1\) dan \(B_2\) merupakan subhimpunan dari \(Y\) dengan \(B_1 \subseteq B_2\text{,}\) maka \(f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2)\text{.}\)
(g)
Jika \(B_1\) dan \(B_2\) merupakan subhimpunan dari \(Y\) dengan \(B_1 \subseteq B_2\text{,}\) maka \(f^{-1}(B_2) \subseteq f^{-1}(B_1)\text{.}\)
(h)
Jika \(A_1\) dan \(A_2\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)
(i)
Jika \(B_1\) dan \(B_2\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{,}\) maka \(f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)\text{.}\)
(j)
Jika \(A_1\) dan \(A_2\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)\text{.}\)
(k)
Jika \(B_1\) dan \(B_2\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{,}\) maka \(f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\text{.}\)
(l)
Jika \(A_1\) dan \(A_2\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(f(A_1 \setminus A_2) = f(A_1) \setminus f(A_2)\text{.}\)
(m)
Jika \(B_1\) dan \(B_2\) merupakan subhimpunan dari \(Y\text{,}\) maka \(f^{-1}(B_1 \setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)\text{.}\)
