Bagian Panduan ruang topologi: definisi dan contoh awal
Delapan panduan pertama ini mengikuti kegiatan eksplorasi pada bagian pendahuluan Bab 12. Kerjakan butir sumber terlebih dahulu, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Panduan ini ditulis mandiri untuk edisi ini sebagai komponen CC BY 4.0 yang terpisah dari turunan GVSU.
Uji \(\tau=\{a,b\}\) pada \(X=\{a,b,c\}\) terhadap ketiga aksioma topologi. Nyatakan aksioma pertama yang gagal.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Aksioma pertama meminta \(X\) dan \(\emptyset\) menjadi anggota \(\tau\text{;}\) periksa ini sebelum memeriksa gabungan atau irisan.
Dengan pembacaan literal, \(\tau=\{a,b\}\) bahkan bukan koleksi himpunan bagian dari \(X\text{;}\) ia memuat titik, bukan himpunan bagian. Jika yang dimaksud adalah \(\tau=\{\{a,b\}\}\text{,}\) koleksi itu juga bukan topologi karena \(X\) dan \(\emptyset\) belum termasuk.
Definisi mensyaratkan bahwa setiap anggota \(\tau\) adalah subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pada tulisan literal, \(a\) dan \(b\) adalah titik, sehingga ada ambiguitas tipe sebelum aksioma topologi diperiksa. Untuk pembacaan yang lazim dimaksudkan dalam kegiatan ini, ambil \(\tau_0=\{\{a,b\}\}\text{.}\) Aksioma pertama lalu gagal karena \(\emptyset\notin\tau_0\) dan \(X=\{a,b,c\}\notin\tau_0\text{.}\) Penutupan paling kecil yang memuat \(\{a,b\}\) adalah \(\{\emptyset,\{a,b\},X\}\text{.}\)
Pemeriksaan L.2. Menutup koleksi hingga menjadi topologi.
Untuk \(X=\{a,b,c,d\}\) dan \(\tau=\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\text{,}\) tentukan tambahan minimum agar koleksi tersebut menjadi topologi pada \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tambahkan dulu \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Kemudian tutup terhadap gabungan dan irisan; gabungan dua singleton yang sudah ada adalah \(\{a,b\}\text{,}\) sedangkan unsur \(c,d\) belum muncul.
Tambahan minimum adalah \(\emptyset\) dan \(X=\{a,b,c,d\}\text{;}\) hasilnya \(\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\)
Aksioma pertama memaksa dua tambahan tersebut. Setelah keduanya ditambahkan, gabungan dan irisan dari \(\{a\},\{b\},\{a,b\},X\) tetap berada dalam koleksi, dan gabungan dengan himpunan kosong tidak menambah anggota. Jadi koleksi itu topologi. Karena masing-masing tambahan dipaksa oleh aksioma pertama, tidak ada pilihan yang lebih kecil.
Pemeriksaan L.3. Memeriksa gabungan dan irisan berhingga.
Periksa koleksi \(\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{d\},\{a,b\},\{a,d\},X\}\) pada \(X=\{a,b,c,d\}\text{,}\) lalu tentukan tambahan minimum jika diperlukan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Cari gabungan dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru, khususnya \(\{b\}\cup\{d\}\) dan \(\{a,b\}\cup\{a,d\}\text{.}\)
Koleksi itu bukan topologi; paling tidak perlu menambahkan \(\{b,d\}\) dan \(\{a,b,d\}\text{,}\) setelah itu gabungan dan irisan tertutup.
Karena \(\{b\}\) dan \(\{d\}\) terbuka, gabungannya \(\{b,d\}\) harus terbuka. Kemudian \(\{a,b\}\cup\{a,d\}=\{a,b,d\}\) juga harus ditambahkan. Dengan dua tambahan itu, gabungan sebarang dari anggota koleksi hanya menghasilkan anggota yang sudah tercantum atau \(X\text{,}\) dan irisan berhingga juga tercantum (misalnya \(\{a,b,d\}\cap\{a,d\}=\{a,d\}\)). Jadi dua tambahan tersebut cukup dan keduanya dipaksa oleh penutupan terhadap gabungan.
Pemeriksaan L.4. Mencari gabungan yang hilang.
Periksa \(\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},
\{b,d\},\{c,d\},X\}\) pada \(X=\{a,b,c,d\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Setelah menemukan \(\{a,b\}\cup\{a,c\}=\{a,b,c\}\text{,}\) periksa juga gabungan dengan \(\{b,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) dan singleton yang tersedia. Daftarkan semua himpunan baru yang dipaksa sebelum menyimpulkan bahwa penutupan sudah lengkap.
Bukan topologi. Penutupan terhadap gabungan memaksa penambahan tepat lima himpunan yang belum tercantum: \(\{b,c\}\text{,}\) \(\{a,b,c\}\text{,}\) \(\{a,b,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) dan \(\{b,c,d\}\text{.}\) Setelah semuanya ditambahkan, koleksinya adalah \(\mathcal P(X)\text{.}\)
Koleksi awal memuat semua singleton dan pasangan \(\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,d\},\{c,d\}\text{.}\) Gabungan \(\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}\) dan \(\{a\}\cup\{c\}=\{a,c\}\) sudah ada, tetapi \(\{b\}\cup\{c\}=\{b,c\}\) memaksa pasangan yang hilang. Selanjutnya gabungan pasangan dengan singleton memaksa keempat himpunan tiga unsur \(\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\text{.}\) Dengan lima tambahan itu semua 16 subhimpunan \(X\) hadir, sehingga koleksi menjadi topologi diskret \(\mathcal P(X)\text{.}\) Karena setiap tambahan muncul sebagai gabungan anggota yang sudah diwajibkan, kelimanya memang minimum.
Pemeriksaan L.5. Koleksi subhimpunan berhingga dan uji gabungan tak berhingga.
Misalkan \(F\) koleksi semua subhimpunan berhingga \(\R\) dan \(\tau=\{\emptyset,\R\}\cup F\text{.}\) Tentukan apakah \(\tau\) topologi. Tuliskan terlebih dahulu tiga anggota \(F\) dan tiga himpunan yang bukan anggota \(F\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Ambil dua singleton berbeda. Gabungan berhingga tetap berhingga, tetapi gabungan tak berhingga dari singleton berbeda dapat menjadi tak berhingga dan bukan \(\R\text{.}\)
Contoh anggota \(F\) adalah \(\emptyset\text{,}\) \(\{0\}\text{,}\) dan \(\{0,1\}\text{.}\) Contoh yang bukan anggota \(F\) adalah \(\R\text{,}\) \(\Z\text{,}\) dan \([0,1]\text{.}\) Koleksi \(\tau\) bukan topologi pada \(\R\text{;}\) gabungan tak berhingga \(\bigcup_{n\geq1}\{n\}=\Z^+\) tidak berhingga dan bukan \(\R\text{.}\)
Himpunan kosong dan \(\R\) ada, dan irisan berhingga anggota tetap anggota. Namun topologi menuntut gabungan sebarang. Himpunan \(U_n=\{n\}\) berada dalam \(F\) untuk setiap \(n\geq1\text{,}\) sedangkan gabungannya \(\Z^+\) tak berhingga dan merupakan proper subset dari \(\R\text{;}\) karenanya \(\Z^+\notin\tau\text{.}\) Aksioma gabungan gagal. Ini berbeda dari topologi komplemen berhingga, yang memasukkan himpunan dengan komplemen berhingga, bukan semua himpunan berhingga.
Pemeriksaan L.6. Topologi tiga unsur pada bilangan real.
Uji \(\tau=\{\emptyset,\R,\{0\}\}\) terhadap aksioma topologi.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Semua gabungan anggota koleksi hanya menghasilkan salah satu dari tiga himpunan; periksa pula semua irisan berhingga.
Ya. Koleksi tersebut merupakan topologi pada \(\R\text{.}\)
\(\emptyset\) dan \(\R\) tercantum. Gabungan sebarang keluarga yang mengandung \(\R\) adalah \(\R\text{;}\) jika tidak, gabungannya adalah \(\emptyset\) atau \(\{0\}\text{.}\) Irisan berhingga memiliki pola yang sama: irisan dengan \(\emptyset\) kosong, irisan dengan \(\R\) tidak mengubah himpunan, dan \(\{0\}\cap\{0\}=\{0\}\text{.}\) Semua hasil berada dalam \(\tau\text{.}\)
Pemeriksaan L.7. Topologi indiskret.
Untuk himpunan sembarang \(X\text{,}\) uji \(\tau=\{\emptyset,X\}\) sebagai topologi.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Hanya ada dua anggota; daftar semua kemungkinan gabungan dan irisan berhingga.
Ya. Ini adalah topologi indiskret pada \(X\text{.}\)
Aksioma pertama benar. Gabungan keluarga yang seluruhnya kosong adalah kosong; jika sedikitnya satu anggota adalah \(X\text{,}\) gabungannya \(X\text{.}\) Untuk irisan berhingga, adanya anggota kosong memberi kosong, sedangkan irisan beberapa salinan \(X\) tetap \(X\text{.}\) Jadi ketiga aksioma terpenuhi.
Pemeriksaan L.8. Topologi diskret.
Untuk himpunan sembarang \(X\text{,}\) uji koleksi semua subhimpunan \(X\) sebagai topologi.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gabungan atau irisan dari subhimpunan \(X\) tetap merupakan subhimpunan \(X\text{.}\)
Ya. Koleksi semua subhimpunan adalah topologi diskret.
Himpunan kosong dan \(X\) termasuk dalam koleksi kuasa \(\mathcal P(X)\text{.}\) Jika setiap \(U_i\subseteq X\text{,}\) maka \(\bigcup_iU_i\subseteq X\text{;}\) demikian pula irisan berhingga \(\bigcap_{j=1}^nU_j\subseteq X\text{.}\) Jadi koleksi kuasa tertutup terhadap operasi yang disyaratkan dan merupakan topologi diskret.
