Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Untuk dua pasangan terurut \((x,y)\) dan \((x',y')\text{,}\) pilih permutasi yang mengirim \(x\) ke \(x'\text{,}\) \(y\) ke \(y'\text{,}\) dan titik sisanya ke titik sisanya. Permutasi itu mengirim setiap anggota \(\tau_{x,y}\) ke anggota yang bersesuaian dalam \(\tau_{x',y'}\text{,}\) sehingga merupakan homeomorfisme. Sebaliknya, homeomorfisme mempertahankan ukuran himpunan terbuka dan relasi inklusi. Jadi citra singleton terbuka harus tetap termuat dalam citra doubleton terbuka, dan tidak ada topologi di luar enam bentuk tersebut yang dapat masuk ke kelas ini.

Jika \(x,x'\in X\text{,}\) setiap permutasi yang mengirim \(x\) ke \(x'\) juga mengirim komplemen \(\{x\}\) ke komplemen \(\{x'\}\text{;}\) jadi permutasi itu merupakan homeomorfisme dari \(\sigma_x\) ke \(\sigma_{x'}\text{.}\) Sebaliknya, homeomorfisme harus mengirim singleton terbuka yang unik ke singleton terbuka yang unik dan mempertahankan komplemen. Karena itu orbit ini tidak memiliki anggota lain. Secara khusus, kelas ini berbeda dari kelas rantai, sebab di sini singleton tidak termuat dalam doubleton terbuka.

Di luar \(\emptyset\) dan \(X\text{,}\) topologi ini mempunyai rantai \(\{b\}\subset\{b,c\}\text{.}\) Relabeling sebarang ditentukan oleh citra titik \(b\) dan citra titik \(c\text{;}\) keduanya harus berbeda. Karena ada enam pasangan terurut titik berbeda, orbit relabelingnya adalah keenam topologi dalam jawaban. Misalnya, pertukaran \(a\) dengan \(c\) mengirim topologi ini ke \(\{\emptyset,\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\)

Setiap pasangan terurut dapat dikirim ke pasangan lain oleh suatu permutasi \(X\text{,}\) dan permutasi itu membawa singleton serta doubleton pembentuk rantai ke singleton serta doubleton sasaran. Sebaliknya, banyaknya himpunan terbuka dari setiap ukuran dan inklusi singleton ke doubleton dipertahankan oleh homeomorfisme. Maka hanya keenam topologi rantai tersebut yang berada dalam kelas yang sama.

Topologi ini berbentuk \(\sigma_c=\{\emptyset,\{c\},X\setminus\{c\},X\}\text{.}\) Jika suatu permutasi mengirim \(c\) ke \(x\in X\text{,}\) citra topologinya adalah \(\sigma_x=\{\emptyset,\{x\},X\setminus\{x\},X\}\text{.}\) Untuk \(x=a,b,c\text{,}\) diperoleh tepat tiga topologi dalam jawaban, dan setiap permutasi tersebut adalah homeomorfisme ke citranya.

Tidak ada anggota lain dalam kelas ini. Memang, homeomorfisme mempertahankan fakta bahwa terdapat tepat satu singleton terbuka dan tepat satu doubleton terbuka, serta bahwa keduanya saling berkomplemen. Ciri ini menentukan tiga topologi \(\sigma_x\) di antara daftar 29 topologi.

Sebarang homeomorfisme harus mengirim satu-satunya singleton terbuka ke singleton terbuka dan satu-satunya doubleton terbuka ke doubleton terbuka, sekaligus mempertahankan inklusinya. Oleh sebab itu citranya harus tetap berbentuk \(\{\emptyset,\{x\},\{x,y\},X\}\) dengan \(x\neq y\text{.}\) Tidak ada topologi lain dalam orbit ini.

Topologi yang diberikan mempunyai pola \(\emptyset\subset\{c\}\subset\{b,c\}\subset X\text{.}\) Jika \(p\) suatu permutasi \(X\text{,}\) polanya berubah menjadi \(\emptyset\subset\{p(c)\}\subset\{p(b),p(c)\}\subset X\text{.}\) Keenam kemungkinan pasangan terurut \((p(c),p(b))\) menghasilkan keenam topologi dalam jawaban. Sebaliknya, setiap pasangan terurut titik berbeda dapat dicapai oleh suatu permutasi, sehingga keenamnya memang homeomorfik.

Banyaknya himpunan terbuka menurut ukuran adalah \((1,1,1,1)\) untuk ukuran \(0,1,2,3\text{,}\) dan singleton terbukanya termuat dalam doubleton terbuka. Ukuran serta inklusi dipertahankan oleh setiap homeomorfisme. Ciri-ciri ini memaksa setiap anggota kelas berbentuk rantai yang sama, sehingga daftar enam anggota itu lengkap.

Dalam setiap \(\rho_x\) terdapat tepat satu singleton terbuka dan tepat dua doubleton terbuka; kedua doubleton itu beririsan tepat pada singleton tersebut. Homeomorfisme mempertahankan ukuran dan irisan, sehingga harus mengirim titik khusus \(x\) ke titik khusus pada topologi sasaran. Hanya ada tiga pilihan bagi titik itu, maka ketiga topologi yang terdaftar membentuk seluruh kelas.

Topologi ini mempunyai singleton terbuka unik \(\{b\}\) dan kedua doubleton yang memuatnya. Jika permutasi \(p\) mengirim \(b\) ke \(x\text{,}\) maka citra kedua doubleton adalah dua doubleton yang memuat \(x\text{.}\) Jadi citra topologinya ialah \(\rho_x=\{\emptyset,\{x\},\{x,y\},\{x,z\},X\}\text{,}\) dengan \(\{y,z\}=X\setminus\{x\}\text{.}\) Tiga pilihan \(x=a,b,c\) menghasilkan persis tiga topologi dalam jawaban.

Sebaliknya, setiap pilihan titik pusat dapat dicapai oleh suatu permutasi, sehingga ketiganya homeomorfik. Sebuah homeomorfisme harus mempertahankan adanya satu singleton terbuka, dua doubleton terbuka, dan fakta bahwa irisan kedua doubleton adalah singleton itu. Karena struktur tersebut hanya bergantung pada pilihan titik pusat, tidak ada anggota kelas tambahan.

Topologi ini adalah \(\rho_c=\{\emptyset,\{c\},\{a,c\},\{b,c\},X\}\text{.}\) Permutasi yang mengirim \(c\) ke \(a\) atau \(b\) mengirimnya masing-masing ke dua topologi lain dalam jawaban. Sebagai contoh, pertukaran \(a\) dan \(c\) menghasilkan \(\{\emptyset,\{a\},\{a,c\},\{a,b\},X\}\text{,}\) yang sama dengan anggota pertama karena urutan penulisan himpunan terbuka tidak penting.

Singleton terbuka unik merupakan irisan dari dua doubleton terbuka. Ciri tersebut dipertahankan oleh setiap homeomorfisme dan menentukan satu titik pusat. Karena hanya ada tiga pilihan titik pusat, orbitnya berukuran tiga dan tepat sama dengan daftar pada jawaban.

Sebuah homeomorfisme harus mempertahankan fakta bahwa terdapat tepat dua singleton terbuka dan bahwa gabungan keduanya adalah satu-satunya doubleton terbuka. Karena struktur itu sepenuhnya menentukan pasangan tak terurut \(S\text{,}\) setiap anggota kelas harus berbentuk \(\eta_S\text{.}\) Maka daftar tiga anggota tersebut lengkap. Kelas ini berbeda dari kelas tiga anggota sebelumnya, yang hanya mempunyai satu singleton terbuka dan dua doubleton terbuka.