Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Dari penulisan \(f:\Z\to\Z\text{,}\) domain dan kodomainnya sama-sama \(\Z\text{.}\) Substitusi langsung memberi \(f(-3)=2(-3)=-6\text{.}\) Daerah hasil terdiri tepat atas bilangan genap. Jika \(f(n)=f(m)\text{,}\) maka \(2n=2m\) dan \(n=m\text{,}\) jadi fungsi injektif. Persamaan \(2n=5\) tidak mempunyai solusi bilangan bulat, sehingga \(5\) adalah unsur kodomain yang tidak tercapai dan fungsi tidak surjektif.

Bukti injektivitas sama seperti pada soal sebelumnya. Untuk setiap \(2k\in2\Z\text{,}\) berlaku \(g(k)=2k\text{,}\) sehingga \(g\) surjektif ke kodomain barunya. Jadi \(g\) bijektif. Persamaan \(g(k)=2k\) menunjukkan langsung bahwa fungsi invers memetakan \(2k\) ke \(k\text{.}\)

Karena keluaran \(f\) berada dalam domain \(g\text{,}\) \((g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+1\text{.}\) Nilai \(x\) dan \(-x\) bertabrakan untuk \(x\neq0\text{,}\) dan keluaran di bawah \(1\) tidak tercapai, jadi fungsi bukan injektif maupun surjektif ke \(\R\text{.}\) Karena kodomain \(g\) sama dengan domain \(f\text{,}\) \(f\circ g\) juga terdefinisi dan bernilai \((t+1)^2\text{.}\) Pada \(t\geq0\) fungsi ini naik tegas, maka injektif; daerah hasilnya \([1,\infty)\text{,}\) sehingga \(0\) dalam kodomain tidak tercapai dan fungsi tidak surjektif. Kedua urutan sah di sini, tetapi tipenya tetap harus diperiksa sebelum rumus dievaluasi.

Pada relasi balik, masukan \(1\) mempunyai keluaran \(-1\) dan \(1\text{,}\) sedangkan masukan \(4\) mempunyai keluaran \(-2\) dan \(2\text{;}\) syarat ketunggalan fungsi gagal. Suatu pembatasan bijektif harus memilih satu prapeta bagi masing-masing \(0,1,4\text{.}\) Pilihan \(\{0,1,2\}\) melakukan tepat itu, sehingga pembatasannya injektif dan surjektif. Ukuran \(3\) maksimal karena kodomain hanya mempunyai tiga unsur.

Citra \(1\) dan \(3\) ialah \(a\) dan \(b\text{,}\) jadi \(f(A)\) sama dengan seluruh kodomain. Karena \(1\) dan \(2\) tepat merupakan masukan yang bernilai \(a\text{,}\) prapeta \(B\) ialah \(\{1,2\}\text{.}\) Prapeta seluruh kodomain adalah seluruh domain. Menerapkan \(f\) pada \(\{1,2\}\) menghasilkan hanya \(\{a\}\text{.}\)

Untuk \(x\in X\text{,}\) \(x\in f^{-1}(B\setminus C)\) setara dengan \(f(x)\in B\) dan \(f(x)\notin C\text{.}\) Ini setara dengan \(x\in f^{-1}(B)\) dan \(x\notin f^{-1}(C)\text{,}\) yaitu \(x\in f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(C)\text{.}\) Jika \(B=Y\text{,}\) maka \(f^{-1}(Y)=X\text{,}\) sehingga rumus komplemen mengikuti.

Jika \(2n=2m\text{,}\) maka \(n=m\text{,}\) jadi \(b\) injektif. Setiap unsur \(2\Z\) secara definisi berbentuk \(2k\) dan merupakan \(b(k)\text{,}\) jadi \(b\) surjektif. Inversnya \(b^{-1}(2k)=k\text{.}\) Inklusi bersifat ketat karena, misalnya, \(1\in\Z\) tetapi \(1\notin2\Z\text{.}\) Fenomena ini dapat terjadi pada himpunan tak berhingga.

Tuliskan \(|A|=|B|=n\text{.}\) Jika \(f\) injektif, \(n\) unsur domain mempunyai \(n\) citra berbeda di dalam kodomain yang hanya berisi \(n\) unsur; semua unsur kodomain tercapai, jadi \(f\) surjektif. Jika \(f\) surjektif, pilih sedikitnya satu prapeta bagi setiap satu dari \(n\) unsur kodomain. Pilihan ini sudah memakai seluruh \(n\) unsur domain, sehingga tidak ada unsur kodomain yang dapat mempunyai prapeta kedua; jadi \(f\) injektif. Argumen gagal tanpa keberhinggaan atau tanpa kesamaan ukuran.