Definisi 10.9.
Tutupan suatu subhimpunan \(A\) pada ruang metrik \(X\) adalah himpunan
\begin{equation*}
\overline{A} = A \cup A'\text{.}
\end{equation*}
Bagian Tutupan Suatu Himpunan
Kita telah melihat bahwa interior suatu himpunan adalah subhimpunan terbuka terbesar dari himpunan tersebut. Ada hasil serupa untuk himpunan tertutup. Sebagai contoh, misalkan \(A = (0,1)\) di \((\R, d_E)\text{.}\) Himpunan \(A\) adalah himpunan terbuka, tetapi jika kita menggabungkan \(A\) dengan titik-titik limitnya, kita memperoleh himpunan tertutup \(C = [0,1]\text{.}\) Selain itu, himpunan \([0,1]\) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\) Hal ini mengarah pada gagasan tentang tutupan suatu himpunan.
Dengan kata lain, tutupan suatu himpunan adalah kumpulan anggota himpunan tersebut dan titik-titik limit himpunan tersebut — yaitu titik-titik yang berada di “tepi” himpunan tersebut. Arti penting tutupan suatu himpunan \(A\) adalah bahwa tutupan \(A\) merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\)
Teorema 10.10.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Tutupan \(A\) adalah himpunan tertutup. Selain itu, tutupan \(A\) adalah subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Untuk membuktikan bahwa \(\overline{A}\) adalah himpunan tertutup, kita akan membuktikan bahwa \(\overline{A}\) memuat titik-titik limitnya. Misalkan \(x \in \overline{A}'\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(x \in \overline{A}\text{,}\) kita gunakan pembuktian dengan kontradiksi dan andaikan bahwa \(x \notin \overline{A}\text{.}\) Hal ini menyiratkan bahwa \(x \notin A\) dan \(x \notin A'\text{.}\) Karena \(x \notin A'\text{,}\) terdapat lingkungan \(N\) dari \(x\) yang tidak memuat titik-titik \(A\) selain \(x\text{.}\) Akan tetapi, \(A \subseteq \overline{A}\) dan \(x \notin \overline{A}\text{,}\) sehingga \(N \cap A = \emptyset\text{.}\) Hal ini menyiratkan bahwa terdapat bola terbuka \(B \subseteq N\) yang berpusat di \(x\) sedemikian sehingga \(B \cap A = \emptyset\text{.}\) Fakta bahwa \(x \in \overline{A}'\) berarti bahwa \(B \cap \overline{A}\) memuat suatu titik \(y\) di \(\overline{A}\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Karena \(B \cap A = \emptyset\text{,}\) pastilah \(y \in A'\text{.}\) Namun, hal ini, bersama dengan fakta bahwa \(B\) merupakan lingkungan dari \(y\text{,}\) berarti bahwa \(B\) harus memuat titik dari \(A\) yang berbeda dari \(y\text{.}\) Akan tetapi, \(B \cap A = \emptyset\text{,}\) sehingga kita memperoleh kontradiksi. Kita simpulkan bahwa \(x \in \overline{A}\) dan \(\overline{A}' \subseteq \overline{A}\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa \(\overline{A}\) adalah himpunan tertutup.
Pembuktian bahwa \(\overline{A}\) adalah subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\) diserahkan kepada kegiatan berikutnya.
Kegiatan 10.9.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Apa yang harus kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(\overline{A}\) adalah subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{?}\)
(b)
Andaikan \(C\) suatu subhimpunan tertutup dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\overline{A} \subseteq C\text{,}\) mengapa cukup untuk menunjukkan bahwa \(A' \subseteq C\text{?}\)
(c)
Jika \(x \in A'\text{,}\) apa yang dapat kita katakan tentang \(x\text{?}\)
(d)
Lengkapilah pembuktian bahwa \(\overline{A} \subseteq C\text{.}\)
Salah satu konsekuensi dari Teorema 10.10 adalah sebagai berikut.
Corollary 10.11.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C = \overline{C}\text{.}\)
Kita juga dapat mencirikan himpunan tertutup sebagai himpunan yang memuat batasnya.
Definisi 10.12.
Batas \(\Bdry(A)\) dari suatu subhimpunan \(A\) pada ruang metrik \(X\) adalah himpunan semua titik batas dari \(A\text{.}\)
Teorema 10.13.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat batasnya.
Pembuktian Teorema 10.13 diserahkan kepada Latihan 10.
Ingat bahwa titik batas dari suatu subhimpunan \(A\) pada ruang metrik \(X\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik di \(X \setminus A\text{.}\) Titik-titik batas adalah titik-titik yang, dalam arti tertentu, berada “di antara” suatu himpunan dan komplemennya. Sebagai contoh, jika \(A = (0,1]\) di \(\R\text{,}\) batas \(A\) adalah himpunan \(\{0,1\}\text{.}\) Kita juga memperoleh bahwa \(\overline{A} = [0,1]\text{,}\) \(\R \setminus A = (-\infty, 0] \cup (1, \infty)\text{,}\) dan \(\overline{\R \setminus A} = (-\infty, 0] \cup [1, \infty)\text{.}\) Perhatikan bahwa \(\Bdry(A) = \overline{A} \cap \overline{\R \setminus A}\text{.}\) Pernyataan ini selalu benar, sebagaimana dirumuskan secara formal dalam teorema berikut.
Teorema 10.14.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\Bdry(A) = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}
\end{equation*}
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Untuk membuktikan \(\Bdry(A) = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{,}\) kita perlu memverifikasi inklusi pada kedua arah. Misalkan \(x \in \Bdry(A)\) dan \(N\) suatu lingkungan dari \(x\text{.}\) Maka \(N\) memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik di \(X \setminus A\text{.}\) Kita meninjau kasus \(x \in A\) dan kasus \(x \notin A\text{.}\)
- Andaikan \(x \in A\text{.}\) Maka \(x \in \overline{A}\text{.}\) Selain itu, \(x \notin X \setminus A\text{,}\) sehingga \(N\) harus memuat suatu titik di \(X \setminus A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Hal ini menjadikan \(x\) titik limit dari \(X \setminus A\text{,}\) sehingga \(x \in \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}\)
- Andaikan \(x \notin A\text{.}\) Maka \(x \in X \setminus A \subseteq \overline{X \setminus A}\text{.}\) Selain itu, \(x \notin A\text{,}\) sehingga \(N\) harus memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Hal ini menjadikan \(x\) titik limit dari \(A\text{,}\) sehingga \(x \in \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}\)
Dalam kedua kasus tersebut, kita memperoleh \(x \in \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{,}\) sehingga \(\Bdry(A) \subseteq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}\)
Untuk implikasi sebaliknya, lihat kegiatan berikutnya.
Kegiatan 10.10.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Dalam kegiatan ini, kita membuktikan bahwa
\begin{equation*}
\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} \subseteq \Bdry(A)\text{.}
\end{equation*}
Misalkan \(x \in \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}\)
(a)
Apa yang harus berlaku bagi \(x\text{,}\) mengingat \(x\) berada dalam irisan dua himpunan?
(b)
Misalkan \(N\) suatu lingkungan dari \(x\text{.}\) Seperti yang kita lakukan dalam pembuktian Teorema 10.14, kita meninjau kasus \(x \in A\) dan \(x \notin A\text{.}\)
(i)
Andaikan \(x \in A\text{.}\) Mengapa \(N\) harus memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik yang tidak berada di \(A\text{?}\) Apa yang dapat kita simpulkan tentang \(x\text{?}\)
(ii)
Andaikan \(x \notin A\text{.}\) Mengapa \(N\) harus memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik yang tidak berada di \(A\text{?}\) Apa yang dapat kita simpulkan tentang \(x\text{?}\)
(iii)
Apa yang dapat kita simpulkan dari bagian (i) dan (ii)?
