1.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi dan \(f: X \to Y\) suatu fungsi kontinu. Jika \(A\) adalah subruang dari \(X\text{,}\) buktikan bahwa pembatasan \(f|_A : A \to Y\) juga kontinu.
Latihan Latihan
2.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, \(A\) suatu subruang dari \(X\text{,}\) dan \(B\) suatu subruang dari \(A\text{.}\) Tunjukkan bahwa topologi subruang yang diwarisi \(B\) dari \(A\) sama dengan topologi subruang yang diwarisi \(B\) dari \(X\text{.}\)
3.
Misalkan \(A\) suatu subruang dari ruang topologi \(X\) dan \(B\) suatu subhimpunan dari \(A\text{.}\)
(a)
Buktikan bahwa suatu titik \(x\) dalam \(A\) merupakan titik limit dari \(B\) dalam topologi subruang pada \(A\) jika dan hanya jika \(x\) merupakan titik limit dari \(B\) dalam topologi pada \(X\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa tutupan \(B\) dalam topologi subruang pada \(A\) sama dengan \(\overline{B} \cap A\text{,}\) dengan \(\overline{B}\) tutupan \(B\) dalam \(X\text{.}\)
4.
Tunjukkan bahwa \(\R\text{,}\) dengan topologi standar, homeomorfik dengan setiap interval berbentuk \((a,\infty)\) atau \((-\infty,b)\text{.}\)
5.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi.
(a)
Misalkan \(O\) suatu subhimpunan terbuka dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(A\) dari \(O\) terbuka dalam \(O\) jika dan hanya jika \(A\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
(b)
Misalkan \(C\) suatu subhimpunan tertutup dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(B\) dari \(C\) tertutup dalam \(C\) jika dan hanya jika \(B\) tertutup dalam \(X\text{.}\)
6.
Suatu sifat ruang topologi disebut herediter jika sifat tersebut diwarisi oleh setiap subruang. Pernyataan formalnya adalah sebagai berikut.
Suatu sifat \(P\) dari ruang topologi \(X\) disebut herediter jika setiap subruang dari \(X\) juga memiliki sifat \(P\text{.}\)
Tunjukkan bahwa sifat \(T_1\text{,}\) \(T_2\text{,}\) dan \(T_3\) bersifat herediter. (Aksioma separasi \(T_i\) terdapat dalam Bab 13.) Fakta bahwa \(T_4\) tidak herediter agak sulit dibuktikan. Salah satu contohnya adalah papan Tychonoff (yang normal) dengan papan Tychonoff terhapus (yang tidak normal) sebagai subruang. Pembaca yang berminat dapat merujuk Counterexamples in Topology (2nd ed.), karya Lynn Arthur Steen dan J. Arthur Seebach, Jr., Dover Publications, 1978.
7.
Misalkan \(f : X \to Y\) suatu homeomorfisme dari ruang topologi \(X\) ke ruang topologi \(Y\text{.}\) Misalkan \(a \in X\text{.}\) Apakah subruang \(X' = X \setminus \{a\}\) dari \(X\) pasti homeomorfik dengan subruang \(Y' = Y \setminus \{f(a)\}\) dari \(Y\text{?}\) Buktikan dugaan Anda.
8.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan itu selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(X\) memiliki topologi diskret, maka setiap subruang dari \(X\) memiliki topologi diskret.
(b)
Jika \(X\) adalah ruang topologi yang tidak memiliki topologi diskret, maka tidak ada subruang dari \(X\) yang memiliki topologi diskret.
(c)
Jika \(f : X \to Y\) adalah fungsi kontinu antara ruang topologi \(X\) dan \(Y\text{,}\) dan \(X\) merupakan ruang Hausdorff, maka subruang \(f(X)\) dari \(Y\) merupakan ruang Hausdorff.
(d)
Jika \(A\) adalah subruang dari ruang topologi \(X\) dan \(B\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka tutupan \(B \cap A\) dalam topologi subruang pada \(A\) sama dengan \(\overline{B} \cap A\text{,}\) dengan \(\overline{B}\) tutupan \(B\) dalam \(X\text{.}\)
(e)
Jika \(A\) adalah subruang dari ruang topologi \(X\) dan \(C\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka interior \(C \cap A\) dalam topologi subruang pada \(A\) sama dengan \(\Int(C) \cap A\text{,}\) dengan \(\Int(C)\) interior \(C\) dalam \(X\text{.}\)
