Bagian Batas Suatu Himpunan
Selain titik limit, kita juga telah mendefinisikan titik batas dalam ruang metrik. Ingat bahwa titik batas dari suatu himpunan \(A\) dalam ruang metrik \(X\) dapat dipandang sebagai sebarang titik dalam \(\overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\text{.}\) Kita menggunakan definisi yang sama dalam ruang topologi.
Definisi 13.10.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Suatu titik batas dari \(A\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik di \(X \setminus A\text{.}\) Batas dari \(A\) adalah himpunan
\begin{equation*}
\Bdry(A) = \{x \in X \mid x \text{ adalah titik batas dari } A\}\text{.}
\end{equation*}
Seperti dalam ruang metrik, titik-titik batas suatu himpunan \(A\) adalah titik-titik yang berada “di antara” \(A\) dan komplemennya.
Kegiatan 13.6.
Tentukan batas dari himpunan-himpunan berikut.
(a)
\(\{c,d\}\) dalam \((X, \tau)\) dengan \(X= \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\text{.}\)
(b)
\(\{a,b\}\) dalam himpunan \(X= \{a,b,c,d,e,f\}\) dengan topologi
\begin{equation*}
\tau= \{\emptyset,\{b\}, \{a,b,c\},\{d,e,f\},\{b,d,e,f\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
(c)
\(\{a,b\} \subset X\text{,}\) dengan \(X = \{a,b,c\}\) yang dilengkapi topologi diskret.
(d)
\(\Z\) dalam \(\R\) yang dilengkapi topologi komplemen berhingga \(\tau_{FC}\text{.}\)
Seperti dalam ruang metrik, kita dapat mencirikan himpunan tertutup sebagai himpunan yang memuat batasnya.
Teorema 13.11.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat batasnya.
