Bagian Pemeriksaan penguasaan Bab 11
Delapan pemeriksaan berikut memadukan gagasan subruang, himpunan relatif, dan metrik hasil kali. Materi ini ditulis secara mandiri untuk komponen pendamping berlisensi CC BY 4.0. Cobalah setiap soal sebelum membuka petunjuk; jawaban menyatakan hasil, sedangkan solusi memberi penutupan matematis lengkap.
Dalam \(X=\R\text{,}\) ambil \(A=[0,1]\cup\{2\}\) dan \(U=[0,1/2)\text{.}\) Buktikan langsung bahwa \(U\) terbuka di \(A\text{,}\) lalu berikan suatu himpunan terbuka \(O\) di \(X\) dengan \(U=A\cap O\text{.}\) Apakah \(U\) terbuka di \(X\text{?}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk \(x\in U\text{,}\) pilih radius yang lebih kecil daripada jarak \(x\) ke \(1/2\text{.}\) Untuk representasi ambien, coba sebuah interval yang ujung kirinya negatif.
Himpunan \(U\) terbuka di \(A\) dan \(U=A\cap(-1,1/2)\text{.}\) Himpunan itu tidak terbuka di \(X=\R\text{.}\)
Ambil \(x\in U\) dan tetapkan \(r=(1/2-x)/2\gt0\text{.}\) Jika \(y\in B_A(x,r)\text{,}\) maka \(y\in A\) dan \(y\lt x+r\lt1/2\text{;}\) jadi \(y\in[0,1/2)=U\text{.}\) Dengan demikian setiap titik \(U\) memiliki bola relatif yang termuat dalam \(U\text{.}\) Selain itu, \(A\cap(-1,1/2)=[0,1/2)=U\text{,}\) sedangkan \((-1,1/2)\) terbuka di \(\R\text{.}\) Namun, setiap bola ambien yang berpusat di \(0\) memuat bilangan negatif, sehingga tidak termuat dalam \(U\text{.}\) Maka \(U\) tidak terbuka di \(X\text{.}\)
Pemeriksaan K.37. Dua arah pencirian tertutup relatif.
Misalkan \(A\subseteq X\text{,}\) dengan \(X\) ruang metrik. Buktikan langsung bahwa \(C_A\subseteq A\) tertutup di \(A\) jika dan hanya jika terdapat himpunan tertutup \(C_X\) di \(X\) sehingga \(C_A=A\cap C_X\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan komplemen relatif \(A\setminus C_A\) dan pencirian himpunan terbuka relatif sebagai \(A\cap O_X\text{.}\)
Jika \(A\setminus C_A=A\cap O_X\text{,}\) ambil \(C_X=X\setminus O_X\text{.}\) Untuk arah sebaliknya, komplemen relatif \(A\setminus(A\cap C_X)=A\cap(X\setminus C_X)\) terbuka di \(A\text{.}\)
Andaikan \(C_A\) tertutup di \(A\text{.}\) Maka \(U_A=A\setminus C_A\) terbuka di \(A\text{,}\) sehingga terdapat \(O_X\) terbuka di \(X\) dengan \(U_A=A\cap O_X\text{.}\) Tetapkan \(C_X=X\setminus O_X\text{;}\) himpunan \(C_X\) tertutup dan
\begin{equation*}
A\cap C_X=A\cap(X\setminus O_X)
=A\setminus(A\cap O_X)=A\setminus U_A=C_A.
\end{equation*}
Sebaliknya, jika \(C_A=A\cap C_X\) dengan \(C_X\) tertutup, maka \(O_X=X\setminus C_X\) terbuka dan \(A\setminus C_A=A\cap O_X\) terbuka di \(A\text{.}\) Jadi \(C_A\) tertutup di \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.38. Pembatasan fungsi kontinu.
Jika \(f:X\to Y\) kontinu dan \(A\subseteq X\) diberi metrik subruang, buktikan bahwa \(f|_A:A\to Y\) kontinu dengan dua cara: memakai prapeta himpunan terbuka dan memakai definisi epsilon-delta.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk himpunan terbuka \(V\subseteq Y\text{,}\) bandingkan \((f|_A)^{-1}(V)\) dengan \(f^{-1}(V)\text{.}\) Dalam argumen metrik, ingat bahwa \(d_A\) sama dengan \(d_X\) pada pasangan titik di \(A\text{.}\)
Fungsi \(f|_A\) selalu kontinu. Prapetanya memenuhi \((f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V)\text{,}\) dan delta yang bekerja untuk \(f\) di suatu titik \(a\in A\) juga bekerja untuk \(f|_A\text{.}\)
Jika \(V\) terbuka di \(Y\text{,}\) kekontinuan \(f\) membuat \(f^{-1}(V)\) terbuka di \(X\text{.}\) Identitas \((f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V)\) menunjukkan bahwa prapeta itu terbuka di \(A\text{;}\) jadi \(f|_A\) kontinu.
Untuk bukti epsilon-delta, ambil \(a\in A\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Pilih \(\delta\gt0\) dari kekontinuan \(f\) di \(a\text{.}\) Jika \(x\in A\) dan \(d_A(x,a)\lt\delta\text{,}\) maka \(d_X(x,a)=d_A(x,a)\lt\delta\text{,}\) sehingga \(d_Y(f|_A(x),f|_A(a))\lt\epsilon\text{.}\) Ini membuktikan kekontinuan pembatasan pada setiap titik \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.39. Tiga metrik pada hasil kali dua ruang.
Untuk ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\text{,}\) definisikan pada \(X\times Y\)
\begin{equation*}
d_2=\sqrt{d_X^2+d_Y^2},\qquad
d_1=d_X+d_Y,\qquad d_\infty=\max\{d_X,d_Y\}.
\end{equation*}
Buktikan bahwa ketiganya menginduksi himpunan terbuka yang sama.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Buktikan pertidaksamaan titik demi titik \(d_\infty\leq d_2\leq d_1\leq2d_\infty\text{,}\) lalu bandingkan bola dengan radius yang diskalakan.
Karena \(d_\infty\leq d_2\leq d_1\leq2d_\infty\text{,}\) setiap bola untuk salah satu metrik memuat bola yang cukup kecil untuk setiap metrik lain. Jadi ketiga topologinya sama.
Tulis \(a=d_X(x_1,x_2)\geq0\) dan \(b=d_Y(y_1,y_2)\geq0\text{.}\) Jelas \(\max\{a,b\}\leq\sqrt{a^2+b^2}\leq a+b\text{,}\) dan \(a+b\leq2\max\{a,b\}\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d_\infty\leq d_2\leq d_1\leq2d_\infty.
\end{equation*}
Dari sini, \(B_{d_1}(p,r)\subseteq B_{d_2}(p,r)\subseteq
B_{d_\infty}(p,r)\text{,}\) sedangkan \(B_{d_\infty}(p,r/2)\subseteq B_{d_1}(p,r)\text{.}\) Siklus inklusi tersebut menyediakan, di setiap titik dan untuk setiap bola pada salah satu metrik, bola metrik lain yang termuat di dalamnya. Oleh karena itu ketiga metrik menentukan keluarga himpunan terbuka yang sama.
Pemeriksaan K.40. Persegi panjang terbuka dan bola hasil kali.
Pada hasil kali dengan metrik \(d_2\text{,}\) buktikan untuk \(p=(x,y)\) dan \(r\gt0\) bahwa
\begin{equation*}
B_X(x,r/\sqrt2)\times B_Y(y,r/\sqrt2)\subseteq B_{d_2}(p,r)
\subseteq B_X(x,r)\times B_Y(y,r).
\end{equation*}
Jelaskan mengapa hasil kali dua bola terbuka selalu terbuka tetapi umumnya bukan satu bola \(d_2\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan kuadrat jarak. Untuk klaim terakhir, gambar cakram Euklides dan persegi panjang terbuka di \(\R^2\text{.}\)
Kedua inklusi berlaku. Hasil kali bola memuat bola hasil kali kecil di sekitar setiap titiknya, jadi terbuka; dalam \(\R^2\) bentuknya persegi panjang, bukan cakram, sehingga biasanya bukan satu bola.
Jika \(d_X(x,u)\lt r/\sqrt2\) dan \(d_Y(y,v)\lt r/\sqrt2\text{,}\) maka \(d_2(p,(u,v))^2\lt r^2/2+r^2/2=r^2\text{;}\) ini memberi inklusi kiri. Jika \(d_2(p,(u,v))\lt r\text{,}\) masing-masing suku taknegatif \(d_X(x,u)^2\) dan \(d_Y(y,v)^2\) lebih kecil daripada \(r^2\text{,}\) sehingga kedua jarak koordinat lebih kecil daripada \(r\text{;}\) ini memberi inklusi kanan.
Untuk titik di \(B_X(x,r_1)\times B_Y(y,r_2)\text{,}\) pilih sisa radius positif pada kedua koordinat dan gunakan minimum yang diskalakan untuk mendapatkan bola \(d_2\) di dalam hasil kali tersebut. Jadi hasil kalinya terbuka. Di \(\R^2\text{,}\) hasil kali interval terbuka mempunyai sisi lurus dan sudut batas, sedangkan bola \(d_2\) berbentuk cakram; keduanya tidak sama kecuali dalam kasus degenerat yang tidak terjadi untuk radius positif.
Pemeriksaan K.41. Pertidaksamaan segitiga pada hasil kali berhingga.
Untuk \(X=\prod_{i=1}^nX_i\text{,}\) definisikan \(d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i)^2}\text{.}\) Buktikan pertidaksamaan segitiga bagi \(d\) dengan menyatakan secara jelas tempat penggunaan Cauchy–Schwarz.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tetapkan \(a_i=d_i(x_i,y_i)\) dan \(b_i=d_i(y_i,z_i)\text{.}\) Kuadratkan batas \(d_i(x_i,z_i)\leq a_i+b_i\) dan jumlahkan.
Cauchy–Schwarz memberi \(\sum a_ib_i\leq(\sum a_i^2)^{1/2}(\sum b_i^2)^{1/2}\text{,}\) sehingga \(d(x,z)^2\leq(d(x,y)+d(y,z))^2\) dan karenanya \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\)
Dari pertidaksamaan segitiga di setiap faktor, \(d_i(x_i,z_i)\leq a_i+b_i\text{.}\) Karena semua suku taknegatif,
\begin{align*}
d(x,z)^2 \amp\leq \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\\
\amp=\sum a_i^2+2\sum a_ib_i+\sum b_i^2\\
\amp\leq\sum a_i^2+2\sqrt{\sum a_i^2}\sqrt{\sum b_i^2}+\sum b_i^2\\
\amp=(d(x,y)+d(y,z))^2.
\end{align*}
Pertidaksamaan kedua adalah tepat penggunaan Cauchy–Schwarz. Mengambil akar kuadrat yang taknegatif menghasilkan pertidaksamaan segitiga.
Pemeriksaan K.42. Penutupan ruang barisan kuadrat-terjumlah.
Misalkan \(H\) terdiri atas barisan real \(x=(x_n)\) dengan \(\sum x_n^2\lt\infty\text{.}\) Buktikan bahwa \(x-y\in H\) jika \(x,y\in H\text{,}\) dan jelaskan mengapa \(d(x,y)=\sqrt{\sum(x_n-y_n)^2}\) merupakan metrik.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan \((a-b)^2\leq2a^2+2b^2\) untuk penutupan. Definit positif dan simetri langsung; pertidaksamaan segitiga diperoleh dengan Cauchy–Schwarz pada jumlah parsial lalu melewatkan limit.
Pertidaksamaan \(\sum(x_n-y_n)^2\leq2\sum x_n^2+2\sum y_n^2\lt\infty\) memberi penutupan. Norma kuadrat-terjumlah memenuhi pertidaksamaan Minkowski, sehingga jarak selisih tersebut memenuhi semua aksioma metrik.
Untuk setiap \(n\text{,}\) \((x_n-y_n)^2\leq2x_n^2+2y_n^2\text{.}\) Menjumlahkan memberi batas berhingga, jadi \(x-y\in H\) dan \(d\) terdefinisi. Jelas \(d(x,y)\geq0\text{,}\) simetris, dan bernilai nol tepat ketika \(x_n=y_n\) untuk setiap \(n\text{.}\)
Untuk jumlah parsial hingga, perluas \(\sum_{n=1}^N((x_n-y_n)+(y_n-z_n))^2\text{.}\) Cauchy–Schwarz pada suku silang memberi pertidaksamaan Minkowski
\begin{equation*}
\left(\sum_{n=1}^N(x_n-z_n)^2\right)^{1/2}
\leq\left(\sum_{n=1}^N(x_n-y_n)^2\right)^{1/2}
+\left(\sum_{n=1}^N(y_n-z_n)^2\right)^{1/2}.
\end{equation*}
Ketiga jumlah parsial naik menuju jumlah tak hingganya. Melewatkan \(N\to\infty\) menghasilkan \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Jadi \(d\) adalah metrik pada \(H\text{.}\)
Pemeriksaan K.43. Konvergensi di subruang dan ruang ambien.
Misalkan \(A\subseteq X\) adalah subruang metrik dan \((a_n)\) barisan di \(A\text{.}\) Buktikan bahwa untuk \(a\in A\text{,}\) barisan tersebut konvergen ke \(a\) di \(A\) jika dan hanya jika konvergen ke \(a\) di \(X\text{.}\) Berikan contoh yang menunjukkan mengapa syarat \(a\in A\) tidak boleh dibuang.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Bandingkan langsung \(d_A(a_n,a)\) dan \(d_X(a_n,a)\text{.}\) Untuk contoh, gunakan \(A=(0,1)\) dan barisan yang menuju \(0\text{.}\)
Untuk \(a\in A\text{,}\) kedua definisi identik karena \(d_A(a_n,a)=d_X(a_n,a)\text{.}\) Barisan \(a_n=1/(n+1)\) berada di \(A=(0,1)\) dan konvergen ke \(0\) di \(X=\R\text{,}\) tetapi tidak mempunyai limit \(0\) di \(A\) karena \(0\notin A\text{.}\)
Ambil \(a\in A\text{.}\) Untuk setiap \(n\text{,}\) metrik subruang memenuhi \(d_A(a_n,a)=d_X(a_n,a)\text{.}\) Karena itu, bagi setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) keberadaan \(N\) sehingga \(n\geq N\) mengakibatkan \(d_A(a_n,a)\lt\epsilon\) ekuivalen persis dengan syarat yang sama menggunakan \(d_X\text{.}\) Maka konvergensi ke titik \(a\in A\) sama di kedua ruang.
Dalam \(X=\R\text{,}\) tetapkan \(A=(0,1)\) dan \(a_n=1/(n+1)\text{.}\) Semua suku berada di \(A\) dan \(a_n\to0\) di \(X\text{.}\) Akan tetapi, pernyataan “konvergen ke \(0\) di \(A\)” tidak berlaku karena limit suatu barisan di ruang \(A\) harus merupakan unsur \(A\text{,}\) sedangkan \(0\notin A\text{.}\) Contoh ini menunjukkan peran tepat syarat \(a\in A\text{.}\)
