Panduan konsep dan tugas sumber

Lompat ke konten utama

\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\lub}{\text{lub}} \newcommand{\glb}{\text{glb}} \newcommand{\Int}{\text{Int}} \newcommand{\Bdry}{\text{Bdry}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\ssim}{\sim} \newcommand{\overparen}[1]{\overset{\frown}{#1}} \newcommand{\la}{\left|} \newcommand{\ra}{\right|} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} \)

Bagian Panduan konsep dan tugas sumber

Dua puluh dua panduan berikut mengikuti urutan tugas sumber: sembilan tugas tentang titik batas, titik limit, dan titik terasing; empat tugas tentang himpunan tertutup di ruang metrik; tujuh langkah tentang kekontinuan dan prapeta himpunan tertutup; serta dua langkah konstruksi barisan dari titik limit. Kerjakan dahulu butir pada bab utama, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Setiap pernyataan memparafrasakan sasaran sumber dan menyertakan rubrik keberhasilan. Teks panduan asli ini merupakan komponen terpisah yang tersedia di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).

Pemeriksaan J.1. Interval setengah tertutup di garis real.

Untuk \(A=[0,\frac12)\) di \((\R,d_E)\text{,}\) tentukan semua titik batas, titik limit, dan titik terasing, lalu putuskan apakah \(A\) tertutup. Rubrik: nyatakan masing-masing himpunan titik secara lengkap, uji kedua titik ujung, dan jelaskan keputusan tertutup dari komplemen atau dari titik batas yang hilang.

Tahap 1: pisahkan titik di bagian dalam interval, kedua titik ujung, dan titik di luar interval. Tahap 2: tanyakan apakah setiap lingkungan memotong \(A\text{,}\) memotong komplemennya, atau memuat titik lain dari \(A\text{.}\)

Titik batasnya adalah \(\{0,\frac12\}\text{,}\) titik limitnya adalah \([0,\frac12]\text{,}\) tidak ada titik terasing, dan \(A\) tidak tertutup di \(\R\text{.}\)

Setiap lingkungan dari \(0\) dan \(\frac12\) memuat titik \(A\) sekaligus titik \(\R\setminus A\text{,}\) jadi tepat kedua titik itu merupakan titik batas. Titik dalam \((0,\frac12)\) mempunyai bola yang seluruhnya di \(A\text{,}\) sedangkan titik di luar \([0,\frac12]\) mempunyai bola yang tidak memotong \(A\text{.}\) Setiap lingkungan dari titik \([0,\frac12]\) memuat titik lain dari \(A\text{,}\) sehingga himpunan titik limitnya \([0,\frac12]\text{;}\) akibatnya tidak ada titik terasing. Titik limit \(\frac12\) tidak termasuk \(A\text{,}\) dan komplemen \(A\) tidak terbuka di titik itu. Maka \(A\) tidak tertutup.

Pemeriksaan J.2. Ketertutupan relatif dalam subruang.

Ambil \(X=(0,1]\) dengan metrik Euklides terinduksi dan \(A=(0,\frac12]\text{.}\) Tentukan titik batas, titik limit, dan titik terasing \(A\) relatif terhadap \(X\text{,}\) lalu tentukan apakah \(A\) tertutup di \(X\text{.}\) Rubrik: jangan memasukkan titik yang bukan unsur ruang sekitar \(X\text{.}\)

Tahap 1: titik \(0\) bukan titik di \(X\text{.}\) Tahap 2: periksa sisi mana dari \(\frac12\) yang berada dalam \(A\text{,}\) lalu tuliskan \(X\setminus A\) dan uji keterbukaannya di \(X\text{.}\)

Relatif terhadap \(X\text{,}\) titik batasnya hanya \(\frac12\text{,}\) titik limitnya \((0,\frac12]\text{,}\) tidak ada titik terasing, dan \(A\) tertutup di \(X\text{.}\)

Setiap lingkungan relatif dari \(\frac12\) memuat titik di bawahnya yang termasuk \(A\) dan titik di atasnya yang termasuk \(X\setminus A\text{,}\) jadi itulah satu-satunya titik batas. Titik-titik \((0,\frac12)\) interior relatif \(A\text{,}\) sedangkan titik-titik \((\frac12,1]\) interior relatif komplemennya. Setiap titik \(A\) didekati titik lain dari \(A\text{,}\) sehingga titik limitnya \(A\) sendiri dan tidak ada titik terasing. Karena \(X\setminus A=(\frac12,1]\) terbuka relatif, \(A\) tertutup di \(X\text{.}\) Titik \(0\) tidak didaftarkan karena \(0\notin X\text{.}\)

Pemeriksaan J.3. Subhimpunan dalam ruang diskret hingga.

Misalkan \(X=\{a,b,c,e\}\) bermetrik diskret dan \(A=\{a,b\}\text{.}\) Tentukan semua titik batas, titik limit, dan titik terasing \(A\text{,}\) lalu putuskan apakah \(A\) tertutup. Rubrik: gunakan satu radius kurang dari \(1\) untuk menganalisis setiap titik.

Tahap 1: untuk \(0\lt r\leq1\text{,}\) bola \(B(x,r)\) hanya memuat \(x\text{.}\) Tahap 2: periksa akibat bola satu titik itu bagi definisi ketiga jenis titik dan bagi keterbukaan komplemen.

Himpunan titik batas dan titik limit keduanya kosong, titik terasingnya adalah \(\{a,b\}\text{,}\) dan \(A\) tertutup; bahkan \(A\) terbuka-tertutup.

Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) bola \(B(x,\frac12)=\{x\}\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) bola ini tidak memuat titik komplemen atau titik \(A\) selain \(x\text{;}\) jadi \(x\) bukan titik batas atau titik limit, tetapi titik terasing. Jika \(x\notin A\text{,}\) bola yang sama tidak memotong \(A\text{,}\) sehingga \(x\) juga bukan titik batas atau titik limit. Jadi titik batas dan titik limit kosong, sedangkan titik terasing tepat \(a,b\text{.}\) Setiap subhimpunan ruang diskret terbuka, maka \(X\setminus A\) terbuka dan \(A\) tertutup; \(A\) sendiri juga terbuka.

Pemeriksaan J.4. Apakah titik limit selalu titik batas?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik limit merupakan titik batas.” Rubrik: jika salah, berikan ruang metrik, himpunan, dan satu titik tertentu, lalu periksa kedua definisi pada titik itu.

Tahap 1: titik interior suatu interval dapat didekati titik lain dari interval. Tahap 2: lingkungan yang seluruhnya di dalam interval gagal memotong komplemennya.

Salah. Misalnya, \(0\) adalah titik limit \(A=(-1,1)\) di \(\R\text{,}\) tetapi bukan titik batas \(A\text{.}\)

Setiap lingkungan \(N\) dari \(0\) memuat suatu bola \(B(0,r)\text{,}\) sehingga memuat titik taknol dari \(A=(-1,1)\) jika titik itu dipilih cukup kecil. Jadi \(0\) titik limit \(A\text{.}\) Namun \(B(0,\frac12)\subseteq A\text{,}\) sehingga bola ini tidak memuat titik komplemen. Definisi titik batas gagal, dan contoh tandingan ini membuktikan pernyataannya salah.

Pemeriksaan J.5. Apakah titik batas selalu titik limit?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik batas merupakan titik limit.” Rubrik: perhatikan bahwa titik batas boleh menjadi satu-satunya titik himpunan di lingkungan kecilnya.

Tahap 1: coba himpunan satu titik di garis real. Tahap 2: setiap lingkungan pusat itu memuat pusat dan titik komplemen, tetapi apakah harus memuat titik kedua dari himpunan?

Salah. Untuk \(A=\{0\}\subseteq\R\text{,}\) titik \(0\) adalah titik batas tetapi bukan titik limit.

Setiap lingkungan \(N\) dari \(0\) memuat \(0\in A\) dan, karena memuat bola berjari-jari positif, juga memuat titik real taknol dalam \(\R\setminus A\text{.}\) Jadi \(0\) titik batas \(A\text{.}\) Tetapi tidak ada titik \(A\) yang berbeda dari \(0\text{,}\) sehingga syarat titik limit mustahil dipenuhi. Maka pernyataannya salah.

Pemeriksaan J.6. Apakah titik limit selalu terasing?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik limit merupakan titik terasing.” Rubrik: bandingkan tuntutan “setiap lingkungan memuat titik lain” dengan tuntutan “ada lingkungan yang tidak memuat titik lain.”

Tahap 1: gunakan titik \(0\) dalam suatu interval real. Tahap 2: tunjukkan bahwa setiap lingkungan memuat unsur interval selain pusat, sehingga tidak mungkin mengasingkan pusat.

Salah. Dalam \(A=(-1,1)\subseteq\R\text{,}\) titik \(0\) merupakan titik limit tetapi bukan titik terasing.

Setiap lingkungan dari \(0\) memuat bola \(B(0,r)\text{.}\) Ada \(y\neq0\) yang cukup kecil sehingga \(y\in(-1,1)\cap B(0,r)\text{;}\) jadi \(0\) titik limit. Fakta ini berlaku bagi setiap lingkungan, maka tidak ada lingkungan \(N\) dengan \(N\cap A=\{0\}\text{.}\) Jadi \(0\) tidak terasing dan klaim universal itu salah.

Pemeriksaan J.7. Apakah titik terasing selalu titik limit?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik terasing merupakan titik limit.” Rubrik: sajikan contoh yang memenuhi definisi titik terasing dan tunjukkan lingkungan yang menggagalkan definisi titik limit.

Tahap 1: ambil \(A=\{0\}\) di garis real. Tahap 2: irisan setiap lingkungan dengan \(A\) tidak pernah dapat memuat anggota \(A\) selain \(0\text{.}\)

Salah. Titik \(0\) terasing dalam \(A=\{0\}\subseteq\R\text{,}\) tetapi bukan titik limit \(A\text{.}\)

Bola \(B(0,1)\) memenuhi \(B(0,1)\cap A=\{0\}\text{,}\) sehingga \(0\) titik terasing. Definisi titik limit meminta setiap lingkungan memuat titik \(A\) yang berbeda dari \(0\text{.}\) Karena \(A\) tidak mempunyai titik demikian, syarat itu gagal. Jadi contoh ini menyangkal pernyataan tersebut.

Pemeriksaan J.8. Apakah titik batas selalu terasing?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik batas merupakan titik terasing.” Rubrik: cari titik ujung interval yang sekaligus didekati oleh banyak titik interval.

Tahap 1: uji \(0\) untuk \(A=[0,1]\) di \(\R\text{.}\) Tahap 2: setiap lingkungan memuat bilangan negatif dan bilangan positif kecil; tentukan akibat masing-masing bagi kedua definisi.

Salah. Titik \(0\) adalah titik batas \([0,1]\text{,}\) tetapi bukan titik terasing dari himpunan itu.

Setiap lingkungan dari \(0\) memuat \(0\in A=[0,1]\) dan bilangan negatif di luar \(A\text{,}\) jadi \(0\) titik batas. Lingkungan itu juga memuat bilangan positif kecil yang berbeda dari \(0\) dan berada di \(A\text{.}\) Maka tidak ada lingkungan yang beririsan dengan \(A\) tepat pada \(\{0\}\text{;}\) \(0\) bukan titik terasing.

Pemeriksaan J.9. Apakah titik terasing selalu titik batas?

Nilai benar atau salah pernyataan “setiap titik terasing merupakan titik batas.” Rubrik: pilih ruang yang mempunyai lingkungan satu titik dan periksa apakah lingkungan itu harus memotong komplemen himpunan.

Tahap 1: gunakan ruang diskret \(X=\{a,b\}\) dan \(A=\{a\}\text{.}\) Tahap 2: periksa bola \(B(a,\frac12)\text{.}\)

Salah. Dalam ruang diskret \(X=\{a,b\}\text{,}\) titik \(a\) terasing dalam \(A=\{a\}\text{,}\) tetapi bukan titik batas \(A\text{.}\)

Pada metrik diskret, \(B(a,\frac12)=\{a\}\text{.}\) Irisannya dengan \(A\) tepat \(\{a\}\text{,}\) maka \(a\) terasing. Namun bola itu tidak memuat \(b\text{,}\) satu-satunya titik \(X\setminus A\text{.}\) Jadi ada lingkungan \(a\) yang tidak memotong komplemen, sehingga \(a\) bukan titik batas.

Pemeriksaan J.10. Ketertutupan himpunan kosong.

Untuk ruang metrik sebarang \(X\text{,}\) tentukan apakah \(\emptyset\) tertutup di \(X\) dan jelaskan. Rubrik: gunakan definisi tertutup melalui komplemen dan sifat dasar himpunan terbuka.

Tahap 1: hitung \(X\setminus\emptyset\text{.}\) Tahap 2: ingat apakah seluruh ruang \(X\) terbuka dalam dirinya sendiri.

Ya. Himpunan \(\emptyset\) tertutup di setiap ruang metrik \(X\text{.}\)

Komplemen himpunan kosong di \(X\) adalah \(X\setminus\emptyset=X\text{.}\) Seluruh ruang \(X\) terbuka: bagi setiap \(x\in X\text{,}\) bola terbuka berpusat di \(x\) tetap merupakan subhimpunan \(X\text{.}\) Karena komplemennya terbuka, definisi menyatakan bahwa \(\emptyset\) tertutup.

Pemeriksaan J.11. Ketertutupan seluruh ruang.

Untuk ruang metrik sebarang \(X\text{,}\) tentukan apakah \(X\) tertutup di dirinya sendiri dan jelaskan. Rubrik: hitung komplemen relatifnya dan uji keterbukaan komplemen itu.

Tahap 1: \(X\setminus X\) tidak mempunyai anggota. Tahap 2: syarat keterbukaan yang dikuantifikasi atas semua anggota berlaku secara hampa bagi himpunan tanpa anggota.

Ya. Seluruh ruang \(X\) tertutup di \(X\text{.}\)

Komplemen \(X\) relatif terhadap dirinya adalah \(X\setminus X=\emptyset\text{.}\) Himpunan kosong terbuka karena tidak ada titik yang dapat melanggar syarat keterbukaan. Maka komplemen \(X\) terbuka, sehingga \(X\) tertutup di \(X\text{.}\) Jadi \(X\) dan \(\emptyset\) keduanya terbuka-tertutup.

Pemeriksaan J.12. Gabungan interval tertutup yang membesar.

Di \(\R\text{,}\) tetapkan \(A_n=[\frac1n,1-\frac1n]\) untuk \(n\geq2\text{.}\) Tentukan \(\bigcup_{n\geq2}A_n\) tanpa perlu membuktikannya. Rubrik: identifikasi titik ujung yang tidak pernah tercapai dan titik di antaranya yang akhirnya masuk ke salah satu interval.

Tahap 1: semua \(A_n\) terletak di antara \(0\) dan \(1\text{,}\) tanpa memuat kedua titik itu. Tahap 2: untuk \(0\lt x\lt1\text{,}\) pilih \(n\) sehingga \(1/n\) lebih kecil daripada \(\min\{x,1-x\}\text{.}\)

Gabungannya adalah \(\bigcup_{n\geq2}A_n=(0,1)\text{.}\)

Setiap \(A_n\subseteq(0,1)\text{.}\) Sebaliknya, jika \(0\lt x\lt1\text{,}\) maka \(\min\{x,1-x\}\gt0\text{.}\) Pilih \(n\geq2\) cukup besar agar \(1/n\leq\min\{x,1-x\}\text{.}\) Maka \(1/n\leq x\leq1-1/n\text{,}\) jadi \(x\in A_n\text{.}\) Karena itu gabungannya tepat \((0,1)\text{,}\) sedangkan \(0\) dan \(1\) tidak pernah termasuk.

Pemeriksaan J.13. Apakah gabungan tersebut tertutup?

Putuskan apakah \(\bigcup_{n\geq2}A_n\) dari tugas sebelumnya tertutup di \(\R\text{.}\) Rubrik: gunakan hasil gabungan dan jelaskan kegagalan definisi tertutup pada salah satu titik ujung.

Tahap 1: gabungannya adalah \((0,1)\text{.}\) Tahap 2: uji apakah komplemen \((-\infty,0]\cup[1,\infty)\) mempunyai lingkungan terbuka di titik \(0\) atau \(1\text{.}\)

Tidak. Gabungan itu adalah \((0,1)\text{,}\) yang tidak tertutup di \(\R\text{.}\)

Komplemen \((0,1)\) ialah \((-\infty,0]\cup[1,\infty)\text{.}\) Setiap bola terbuka di sekitar \(0\) memuat bilangan positif kecil yang tidak berada dalam komplemen, sehingga komplemen tidak terbuka. Jadi \((0,1)\) tidak tertutup. Contoh ini menunjukkan bahwa gabungan tak berhingga dari himpunan-himpunan tertutup \(A_n\) dapat gagal tertutup.

Pemeriksaan J.14. Citra titik di luar prapeta.

Untuk fungsi \(f:X\to Y\) dan \(B\subseteq Y\text{,}\) andaikan \(x\in X\setminus f^{-1}(B)\text{.}\) Tentukan apa yang dapat disimpulkan tentang \(f(x)\text{.}\) Rubrik: uraikan keanggotaan komplemen dan definisi prapeta satu langkah demi satu langkah.

Tahap 1: hipotesis berarti \(x\notin f^{-1}(B)\text{.}\) Tahap 2: ubah pernyataan itu menjadi pernyataan tentang apakah \(f(x)\) termasuk \(B\text{.}\)

Berlaku \(f(x)\notin B\text{,}\) atau secara ekuivalen \(f(x)\in Y\setminus B\text{.}\)

Dari \(x\in X\setminus f^{-1}(B)\) diperoleh \(x\notin f^{-1}(B)\text{.}\) Definisi prapeta menyatakan \(x\in f^{-1}(B)\) jika dan hanya jika \(f(x)\in B\text{.}\) Jadi \(f(x)\notin B\text{.}\) Karena \(f(x)\in Y\text{,}\) kesimpulan itu sama dengan \(f(x)\in Y\setminus B\text{.}\)

Pemeriksaan J.15. Inklusi komplemen prapeta yang pertama.

Dengan hipotesis panduan sebelumnya, simpulkan hubungan inklusi antara \(X\setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\) Rubrik: mulai dari anggota sebarang himpunan pertama dan tunjukkan bahwa ia anggota himpunan kedua.

Tahap 1: panduan 14 memberi \(f(x)\in Y\setminus B\text{.}\) Tahap 2: terjemahkan kembali pernyataan itu menjadi keanggotaan \(x\) dalam suatu prapeta.

Diperoleh \(X\setminus f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\)

Ambil \(x\in X\setminus f^{-1}(B)\) sebarang. Panduan 14 memberi \(f(x)\in Y\setminus B\text{,}\) yang menurut definisi prapeta berarti \(x\in f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\) Karena berlaku bagi setiap anggota ruas kiri, diperoleh \(X\setminus f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\)

Pemeriksaan J.16. Citra titik dalam prapeta komplemen.

Sekarang andaikan \(x\in f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\) Tentukan apa yang dapat disimpulkan tentang \(f(x)\text{.}\) Rubrik: gunakan definisi prapeta dan uraikan arti keanggotaan dalam komplemen \(B\text{.}\)

Tahap 1: keanggotaan dalam prapeta memberi \(f(x)\in Y\setminus B\text{.}\) Tahap 2: nyatakan konsekuensinya terhadap keanggotaan \(f(x)\) dalam \(B\text{.}\)

Berlaku \(f(x)\in Y\setminus B\text{,}\) sehingga \(f(x)\notin B\text{.}\)

Definisi prapeta langsung memberi \(f(x)\in Y\setminus B\text{.}\) Menjadi anggota komplemen \(B\) di \(Y\) berarti tidak menjadi anggota \(B\text{;}\) oleh karena itu \(f(x)\notin B\text{.}\)

Pemeriksaan J.17. Inklusi komplemen prapeta yang kedua.

Dengan hipotesis panduan 16, simpulkan hubungan inklusi antara \(f^{-1}(Y\setminus B)\) dan \(X\setminus f^{-1}(B)\text{.}\) Rubrik: mulai dari anggota sebarang himpunan pertama dan buktikan keanggotaannya dalam himpunan kedua.

Tahap 1: dari \(f(x)\notin B\text{,}\) simpulkan \(x\notin f^{-1}(B)\text{.}\) Tahap 2: karena \(x\in X\text{,}\) tuliskan keanggotaan itu sebagai keanggotaan dalam komplemen relatif.

Diperoleh \(f^{-1}(Y\setminus B)\subseteq X\setminus f^{-1}(B)\text{.}\)

Ambil \(x\in f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\) Panduan 16 memberi \(f(x)\notin B\text{,}\) sehingga \(x\notin f^{-1}(B)\text{.}\) Karena domain \(f\) adalah \(X\text{,}\) juga \(x\in X\text{;}\) jadi \(x\in X\setminus f^{-1}(B)\text{.}\) Keumuman \(x\) membuktikan inklusi tersebut.

Pemeriksaan J.18. Prapeta dan komplemen.

Tentukan hubungan tepat antara \(X\setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\) Rubrik: gabungkan kedua inklusi yang telah diperoleh dan nyatakan identitas himpunannya.

Tahap 1: panduan 15 memberi satu arah inklusi. Tahap 2: panduan 17 memberi arah sebaliknya; dua inklusi berlawanan menentukan kesamaan.

Identitasnya adalah \(X\setminus f^{-1}(B)=f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\)

Panduan 15 membuktikan \(X\setminus f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(Y\setminus B)\text{,}\) sedangkan panduan 17 membuktikan inklusi sebaliknya. Dua himpunan yang saling memuat adalah sama. Jadi prapeta menghormati komplemen: \(X\setminus f^{-1}(B)=f^{-1}(Y\setminus B)\text{.}\)

Pemeriksaan J.19. Fungsi kontinu menarik himpunan tertutup.

Misalkan \(f:X\to Y\) kontinu antara ruang metrik dan \(C\) tertutup di \(Y\text{.}\) Tunjukkan, dengan identitas panduan 18, bahwa \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\text{.}\) Rubrik: mulai dari komplemen \(Y\setminus C\text{,}\) gunakan karakterisasi kekontinuan melalui prapeta himpunan terbuka, lalu kembali ke definisi tertutup.

Tahap 1: karena \(C\) tertutup, \(Y\setminus C\) terbuka. Tahap 2: kekontinuan membuat \(f^{-1}(Y\setminus C)\) terbuka, dan panduan 18 mengidentifikasinya dengan komplemen \(f^{-1}(C)\text{.}\)

Berlaku \(X\setminus f^{-1}(C)=f^{-1}(Y\setminus C)\text{;}\) ruas kanan terbuka, sehingga \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\text{.}\)

Karena \(C\) tertutup, \(Y\setminus C\) terbuka. Kekontinuan \(f\) menjamin \(f^{-1}(Y\setminus C)\) terbuka di \(X\text{.}\) Identitas panduan 18 memberi

\begin{equation*} f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C). \end{equation*}

Jadi komplemen \(f^{-1}(C)\) terbuka. Berdasarkan definisi, \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\text{.}\)

Pemeriksaan J.20. Prapeta tertutup memaksa kekontinuan.

Misalkan \(f:X\to Y\) mempunyai sifat bahwa \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\) untuk setiap himpunan tertutup \(C\subseteq Y\text{.}\) Gunakan identitas panduan 18 untuk membuktikan bahwa \(f\) kontinu. Rubrik: mulai dari himpunan terbuka sebarang dan buktikan prapetanya terbuka.

Tahap 1: jika \(O\) terbuka, maka \(C=Y\setminus O\) tertutup. Tahap 2: hipotesis dan panduan 18 menunjukkan bahwa \(X\setminus f^{-1}(O)\) tertutup; ambil komplemennya.

Untuk setiap \(O\) terbuka di \(Y\text{,}\) himpunan \(f^{-1}(O)\) terbuka di \(X\text{.}\) Karena itu \(f\) kontinu.

Ambil \(O\subseteq Y\) terbuka. Himpunan \(C=Y\setminus O\) tertutup, sehingga \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\text{.}\) Identitas panduan 18 memberi

\begin{equation*} f^{-1}(C)=f^{-1}(Y\setminus O)=X\setminus f^{-1}(O). \end{equation*}

Jadi komplemen \(f^{-1}(O)\) tertutup, yang berarti \(f^{-1}(O)\) terbuka. Ini berlaku untuk setiap \(O\) terbuka; karakterisasi prapeta himpunan terbuka membuktikan \(f\) kontinu.

Pemeriksaan J.21. Memilih titik barisan dari bola yang menyusut.

Misalkan \(x\) titik limit subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\text{.}\) Untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) jelaskan mengapa \(B(x,1/n)\) memuat titik \(a_n\in A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Rubrik: periksa bahwa bola itu lingkungan dan terapkan setiap bagian definisi titik limit.

Tahap 1: \(1/n\gt0\text{,}\) jadi \(B(x,1/n)\) lingkungan terbuka dari \(x\text{.}\) Tahap 2: definisi titik limit berlaku untuk setiap lingkungan, bukan hanya radius tertentu.

Definisi titik limit menjamin pilihan \(a_n\in B(x,1/n)\cap(A\setminus\{x\})\) untuk setiap \(n\in\Z^+\text{.}\)

Ambil \(n\in\Z^+\text{.}\) Karena \(1/n\gt0\text{,}\) bola \(B(x,1/n)\) adalah lingkungan dari \(x\text{.}\) Karena \(x\) titik limit \(A\text{,}\) setiap lingkungannya memuat titik \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Maka ada \(a_n\in A\) dengan \(a_n\neq x\) dan \(d(a_n,x)\lt1/n\text{.}\) Pilihan bagi setiap \(n\) menghasilkan barisan yang diminta.

Pemeriksaan J.22. Limit barisan dari titik-titik sekitar.

Untuk barisan \((a_n)\) yang dipilih pada panduan 21, tentukan \(\lim a_n\) dan buktikan jawaban Anda. Rubrik: mulai dengan toleransi sebarang, pilih indeks secara Archimedes, lalu kendalikan semua suku pada ekor barisan.

Tahap 1: konstruksi memberi \(d(a_n,x)\lt1/n\text{.}\) Tahap 2: untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\) dan bandingkan \(1/n\) dengan \(1/N\) ketika \(n\geq N\text{.}\)

Barisan tersebut konvergen ke \(x\text{;}\) jadi \(\lim a_n=x\text{.}\)

Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Menurut sifat Archimedes, pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) konstruksi panduan 21 memberi

\begin{equation*} d(a_n,x)\lt\frac1n\leq\frac1N\lt\epsilon. \end{equation*}

Jadi seluruh ekor mulai dari \(N\) berada dalam \(B(x,\epsilon)\text{.}\) Karena berlaku untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) definisi memberi \(a_n\to x\text{,}\) sehingga \(\lim a_n=x\text{.}\) Syarat \(a_n\neq x\) mempertahankan makna titik limit tanpa mengubah bukti konvergensi.

<Sebelumnya ^Atas Berikutnya>