Bagian Pendahuluan
Kita mengenal kata kuosien, atau hasil bagi, ketika bekerja dengan bilangan rasional. Sebagai contoh, pecahan \(\frac{1}{2}\) adalah hasil bagi \(1\) oleh \(2\text{,}\) dan himpunan bilangan rasional merupakan kumpulan semua hasil bagi bilangan bulat yang terdefinisi. Kata kuosien tampaknya berasal dari kata Latin “quotiens”, yang dapat diterjemahkan sebagai “seberapa sering” atau “berapa kali”. Pecahan \(\frac{1}{2}\) dapat dipandang sebagai hasil pembagian satu satuan (\(1)\) menjadi dua bagian. Karena itu, kata kuosien sering kita gunakan untuk konstruksi apa pun yang membagi suatu himpunan menjadi beberapa bagian. Konstruksi kuosien lain yang sudah dikenal adalah himpunan \(\Z_n\text{,}\) yaitu himpunan kelas-kelas bilangan bulat modulo \(n\text{.}\) Himpunan \(\Z_n\) juga dapat dipandang sebagai kuosien \(\Z/n\Z\text{,}\) dengan \(n\Z\) menyatakan himpunan kelipatan \(n\text{;}\) dua bilangan bulat \(a\) dan \(b\) diidentifikasi satu sama lain (atau dianggap ekuivalen) jika \(b-a \in n\Z\text{.}\) Hal ini mendefinisikan relasi kongruensi modulo \(n\) pada \(\Z\text{,}\) dan unsur-unsur \(\Z/n\Z\) adalah kelas-kelas ekuivalensi relasi tersebut. Konstruksi serupa muncul di banyak cabang matematika: kita mendefinisikan suatu relasi ekuivalensi pada sebuah himpunan, lalu membagi himpunan itu menjadi beberapa bagian (kelas-kelas ekuivalensi) dan menyebut himpunan semua kelas ekuivalensi tersebut sebagai ruang kuosien. Dalam bab ini, kita menyelidiki konsep ruang kuosien dari ruang topologi.
Sebagai contoh, ambil interval \(X = [0,1]\) dalam \(\R\text{,}\) lalu lengkungkan interval itu sehingga kedua titik ujungnya dapat direkatkan. Objek yang dihasilkan adalah sebuah lingkaran. Dengan mengidentifikasi titik ujung \(0\) dan \(1\) pada interval tersebut, kita dapat membentuk ruang topologi baru. Perekatan atau pengidentifikasian titik-titik dalam ruang \(X\) ini dapat dirumuskan secara formal sehingga ruang yang dihasilkan dapat dikenali sebagai ruang kuosien.
