Definisi 12.8.
Misalkan \(A\) subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{.}\) Titik \(a \in A\) merupakan titik interior dari \(A\) jika \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Bagian Interior Himpunan dalam Ruang Topologi
Kita telah melihat bahwa topologi mendefinisikan himpunan terbuka dalam ruang topologi. Seperti pada ruang metrik, himpunan terbuka dapat dicirikan melalui titik-titik interiornya. Dalam ruang metrik kita mendefinisikan titik interior dalam istilah lingkungan — hal yang sama berlaku dalam ruang topologi.
Ingat bahwa suatu himpunan merupakan lingkungan suatu titik jika himpunan tersebut memuat himpunan terbuka yang memuat titik itu. Berdasarkan definisi, setiap himpunan terbuka merupakan lingkungan dari setiap titiknya, sehingga setiap titik dari himpunan terbuka \(O\) merupakan titik interior \(O\text{.}\) Sebaliknya, jika setiap titik suatu himpunan \(O\) merupakan titik interior, maka \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya dan bersifat terbuka. Argumen ini dirangkum dalam teorema berikut.
Teorema 12.9.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi. Subhimpunan \(O\) dari \(X\) terbuka jika dan hanya jika setiap titik \(O\) merupakan titik interior \(O\text{.}\)
Koleksi titik interior dalam suatu himpunan membentuk subhimpunan dari himpunan tersebut, yang disebut interior himpunan itu.
Definisi 12.10.
Interior subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah himpunan
\begin{equation*}
\Int(A) = \{a \in A \mid a \text{ merupakan titik interior dari } A\}\text{.}
\end{equation*}
Kegiatan 12.9.
(a)
Pertimbangkan \((\R, \tau)\text{,}\) dengan \(\tau\) topologi standar (dalam konteks ini, standar berarti topologi metrik yang ditentukan oleh metrik Euklides). Misalkan \(A=(-\infty,0)\cup (1,2]\cup \{3\}\) di \(\R\text{.}\) Berapakah \(\Int(A)\text{?}\) Apa subhimpunan terbuka terbesar dari \(\R\) yang terkandung dalam \(A\text{?}\)
(b)
Pertimbangkan \((\R, \tau)\text{,}\) dengan \(\tau\) topologi diskret (topologi yang semua subhimpunannya terbuka). Misalkan \(A=(-\infty,0) \cup (1,2] \cup \{3\}\) di \(\R\text{.}\) Berapakah \(\Int(A)\text{?}\) Apa subhimpunan terbuka terbesar dari \(\R\) yang terkandung dalam \(A\text{?}\)
(c)
Pertimbangkan \((\R, \tau)\text{,}\) dengan \(\tau\) topologi komplemen berhingga (topologi yang himpunan terbukanya adalah himpunan kosong serta semua subhimpunan \(O\) dari \(\R\) sedemikian sehingga \(\R \setminus O\) berhingga). Misalkan \(A=(-\infty,0) \cup (1,2] \cup \{3\}\) di \(\R\text{.}\) Berapakah \(\Int(A)\text{?}\) Apa subhimpunan terbuka terbesar dari \(\R\) yang terkandung dalam \(A\text{?}\)
(d)
Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{c\}, \{d\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
andaikan \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\) Misalkan \(A = \{b,c,d\}\text{.}\) Berapakah \(\Int(A)\text{?}\) Apa subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{?}\)
Kita mungkin mengharapkan bahwa interior suatu himpunan merupakan himpunan terbuka, sebagaimana dalam ruang metrik. Hal ini benar, tetapi kita dapat menyatakan lebih banyak. Dalam Kegiatan 12.9 kita melihat bahwa pada contoh-contoh kita \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{.}\) Bahwa hal ini selalu benar merupakan pokok teorema berikutnya.
Teorema 12.11.
Misalkan \((X,\tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) subhimpunan dari \(X\text{.}\) Interior \(A\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) subhimpunan dari \(X\text{.}\) Kita perlu membuktikan bahwa \(\Int(A)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) dan bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{.}\) Pertama-tama kita tunjukkan bahwa \(\Int(A)\) terbuka. Misalkan \(a \in \Int(A)\text{.}\) Maka \(a\) merupakan titik interior \(A\text{,}\) sehingga \(A\) merupakan lingkungan \(a\text{.}\) Ini berarti terdapat himpunan terbuka \(O\) yang memuat \(a\) sedemikian sehingga \(O \subseteq A\text{.}\) Namun \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya, sehingga setiap titik dalam \(O\) merupakan titik interior \(A\text{.}\) Jadi \(O \subseteq \Int(A)\text{.}\) Dengan demikian, \(\Int(A)\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya dan, akibatnya, \(\Int(A)\) merupakan himpunan terbuka.
Pembuktian bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\) diserahkan pada kegiatan berikutnya.
Kegiatan 12.10.
Misalkan \((X,\tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Apa yang harus kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(\Int(A)\) merupakan subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{?}\)
(b)
Misalkan \(O\) subhimpunan terbuka dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\text{,}\) dan misalkan \(x \in O\text{.}\) Apa yang diberitahukan oleh fakta bahwa \(O\) terbuka? Kemudian lengkapi pembuktian bahwa \(O \subseteq \Int(A)\text{.}\)
Salah satu konsekuensi dari Teorema 12.11 adalah sebagai berikut.
Corollary 12.12.
Subhimpunan \(O\) dari ruang topologi \(X\) terbuka jika dan hanya jika \(O = \Int(O)\text{.}\)
