Bagian Panduan topologi komplemen berhingga
Dua panduan berikut mengikuti kegiatan \(act_TS_limits1\) pada bagian Contoh-Contoh Topologi. Panduan ini ditulis mandiri sebagai komponen CC BY 4.0 yang terpisah dari turunan GVSU; pengenal tugas lokal ditambahkan karena tugas sumber tidak memiliki \(xml:id\text{.}\)
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\tau_{FC}=\{\emptyset\}\cup\{O\subseteq X: X\setminus O
\text{ berhingga}\}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\tau_{FC}\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Periksa \(X\) dan \(\emptyset\) terlebih dahulu. Untuk gabungan, gunakan bahwa komplemen gabungan adalah irisan komplemen; untuk irisan berhingga, gunakan bahwa komplemennya adalah gabungan berhingga.
Ya. \(\tau_{FC}\) memuat \(X\) dan \(\emptyset\text{,}\) tertutup terhadap gabungan sebarang, dan tertutup terhadap irisan berhingga.
Karena \(X\setminus X=\emptyset\) berhingga, maka \(X\in\tau_{FC}\text{;}\) himpunan kosong dimasukkan berdasarkan definisi. Ambil keluarga \(\{O_i\}_{i\in I}\) dalam \(\tau_{FC}\text{.}\) Jika semua anggotanya kosong, gabungannya kosong. Jika ada anggota tak kosong, pilih satu, katakan \(O_{i_0}\text{.}\) Untuk semua anggota tak kosong, setiap \(X\setminus O_i\) berhingga dan \(X\setminus\bigcup_i O_i=\bigcap_i(X\setminus O_i)\) merupakan subhimpunan dari \(X\setminus O_{i_0}\text{,}\) sehingga berhingga. Jadi gabungan sebarang tetap berada dalam \(\tau_{FC}\text{.}\)
Untuk \(O_1,\ldots,O_n\in\tau_{FC}\text{,}\) jika salah satunya kosong, irisannya kosong. Jika semuanya tidak kosong, maka \(X\setminus\bigcap_{k=1}^n O_k=\bigcup_{k=1}^n(X\setminus O_k)\) adalah gabungan berhingga dari himpunan berhingga, jadi berhingga. Dengan demikian ketiga aksioma topologi terpenuhi.
Pemeriksaan L.10. Ketika topologi komplemen berhingga menjadi diskret.
Jelaskan mengapa \(\tau_{FC}\) merupakan topologi diskret ketika \(X\) berhingga.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk setiap \(O\subseteq X\text{,}\) komplemen \(X\setminus O\) adalah subhimpunan dari himpunan berhingga.
Setiap subhimpunan \(O\) memiliki komplemen berhingga, sehingga \(\tau_{FC}=\mathcal P(X)\text{,}\) yaitu topologi diskret.
Jika \(X\) berhingga dan \(O\subseteq X\text{,}\) maka \(X\setminus O\) juga berhingga. Jadi setiap subhimpunan \(O\) memenuhi syarat definisi topologi komplemen berhingga dan termasuk dalam \(\tau_{FC}\text{.}\) Sebaliknya, semua anggota \(\tau_{FC}\) adalah subhimpunan \(X\text{.}\) Maka \(\tau_{FC}=\mathcal P(X)\text{,}\) persis topologi diskret.
