Bagian Pemeriksaan penguasaan Bab 7
Enam soal berikut menggabungkan geometri bola, lingkungan, kekontinuan, dan contoh penyangkal. Setiap soal merupakan materi asli pendamping. Cobalah menyusun bukti lengkap sebelum membuka bantuan bertahap.
Pada \(\R^2\text{,}\) gambarkan dan nyatakan dengan pertidaksamaan bola berjari-jari \(1\) yang berpusat di \(0=(0,0)\) untuk metrik Euklides \(d_E\text{,}\) metrik maksimum \(d_M\text{,}\) metrik taksi \(d_T\text{,}\) dan metrik diskret \(d_D\text{.}\) Buktikan bahwa
\begin{equation*}
B_D(0,1)\subsetneq B_T(0,1)\subsetneq
B_E(0,1)\subsetneq B_M(0,1).
\end{equation*}
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tuliskan syarat jarak kurang dari \(1\) untuk setiap metrik. Untuk inklusi, gunakan \(\lVert x\rVert_\infty\leq\lVert x\rVert_2
\leq\lVert x\rVert_1\text{.}\) Untuk ketatnya inklusi, uji titik pada sumbu, lalu titik \((0.6,0.6)\) dan \((0.9,0.9)\text{.}\)
Untuk \(d_E\) bolanya ialah cakram \(x^2+y^2\lt1\text{;}\) untuk \(d_M\text{,}\) persegi terbuka \(\max\{|x|,|y|\}\lt1\text{;}\) untuk \(d_T\text{,}\) belah ketupat \(|x|+|y|\lt1\text{;}\) dan untuk \(d_D\text{,}\) singleton \(\{0\}\text{.}\) Semua inklusi yang ditampilkan bersifat ketat.
Dari definisi masing-masing metrik diperoleh
\begin{align*}
B_D(0,1)\amp=\{(0,0)\},\\
B_T(0,1)\amp=\{(x,y):|x|+|y|\lt1\},\\
B_E(0,1)\amp=\{(x,y):x^2+y^2\lt1\},\\
B_M(0,1)\amp=\{(x,y):\max\{|x|,|y|\}\lt1\}.
\end{align*}
Untuk setiap \(z\in\R^2\text{,}\) berlaku \(\lVert z\rVert_\infty\leq\lVert z\rVert_2
\leq\lVert z\rVert_1\text{.}\) Karena itu, syarat norma satu kurang dari \(1\) mengakibatkan syarat norma dua, dan syarat norma dua mengakibatkan syarat norma maksimum. Bola diskret jelas termuat dalam semuanya.
Inklusinya ketat: \((1/2,0)\) berada dalam bola taksi tetapi bukan dalam bola diskret; \((0.6,0.6)\) berada dalam bola Euklides karena \(0.6^2+0.6^2=0.72\lt1\text{,}\) tetapi tidak dalam bola taksi karena \(1.2\not\lt1\text{;}\) dan \((0.9,0.9)\) berada dalam bola maksimum, tetapi tidak dalam bola Euklides karena \(0.9^2+0.9^2=1.62\gt1\text{.}\)
Pemeriksaan G.42. Ruang yang tersisa di dalam bola terbuka.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, \(r\gt0\text{,}\) dan \(b\in B(a,r)\text{.}\) Nyatakan jari-jari residu alami yang berpusat di \(b\text{,}\) buktikan bahwa jari-jari tersebut positif, lalu buktikan bahwa bola yang dihasilkannya termuat dalam \(B(a,r)\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Ukur bagian jari-jari \(r\) yang belum dipakai oleh jarak \(d(a,b)\text{.}\) Untuk titik \(x\) dalam bola baru, terapkan pertidaksamaan segitiga pada \(d(x,a)\) dan pertahankan pertidaksamaan ketatnya.
Ambil \(s=r-d(a,b)\text{.}\) Karena \(b\in B(a,r)\text{,}\) berlaku \(s\gt0\text{,}\) dan \(B(b,s)\subseteq B(a,r)\text{.}\)
Keanggotaan \(b\in B(a,r)\) berarti \(d(a,b)\lt r\text{,}\) sehingga \(s=r-d(a,b)\gt0\text{.}\) Jika \(x\in B(b,s)\text{,}\) maka
\begin{align*}
d(x,a)\amp\leq d(x,b)+d(b,a)\\
\amp\lt s+d(a,b)\\
\amp=r.
\end{align*}
Jadi \(x\in B(a,r)\text{.}\) Karena \(x\) dipilih sebarang, \(B(b,s)\subseteq B(a,r)\text{.}\) Inilah alasan setiap bola terbuka merupakan lingkungan bagi setiap titiknya.
Pemeriksaan G.43. Tiga bentuk yang setara untuk kekontinuan.
Untuk fungsi \(f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)\) dan \(a\in X\text{,}\) buktikan kesetaraan ketiga syarat berikut: definisi epsilon-delta; untuk setiap \(\epsilon\gt0\) terdapat \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{;}\) dan prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Kemudian gunakan \(f(x)=x^2\) di \(a=2\) untuk menjelaskan mengapa prapeta bola tidak harus menjadi bola yang berpusat di \(a\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Kesetaraan dua syarat pertama hanyalah penerjemahan keanggotaan bola. Untuk lingkungan umum, sisipkan sebuah bola di dalam lingkungan. Untuk arah sebaliknya, gunakan fakta bahwa \(B(f(a),\epsilon)\) merupakan lingkungan bagi pusatnya. Pada contoh konkret, selesaikan \(3\lt x^2\lt5\text{.}\)
Ketiga syarat setara. Untuk \(f(x)=x^2\text{,}\) \(f^{-1}(B(4,1))=(-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5)\text{,}\) yang bukan satu interval dan karena itu bukan bola Euklides yang berpusat di \(2\text{.}\)
Untuk \(x\in X\text{,}\) keanggotaan \(x\in B(a,\delta)\) tepat berarti \(d_X(x,a)\lt\delta\text{,}\) sedangkan \(x\in f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\) tepat berarti \(d_Y(f(x),f(a))\lt\epsilon\text{.}\) Jadi implikasi epsilon-delta untuk semua \(x\) setara tepat dengan inklusi kedua bola tersebut.
Andaikan syarat inklusi bola berlaku dan \(N\) suatu lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Ada \(\epsilon\gt0\) dengan \(B(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{.}\) Pilih \(\delta\gt0\) dari syarat inklusi. Maka
\begin{equation*}
B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))
\subseteq f^{-1}(N),
\end{equation*}
sehingga \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan sifat prapeta lingkungan berlaku. Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) bola \(B(f(a),\epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Prapetanya karena itu merupakan lingkungan bagi \(a\text{,}\) sehingga memuat \(B(a,\delta)\) untuk suatu \(\delta\gt0\text{.}\) Ini menghasilkan syarat inklusi bola dan menutup siklus kesetaraan.
Pada contoh \(f(x)=x^2\text{,}\) bola sasaran ialah \(B(f(2),1)=(3,5)\text{.}\) Menyelesaikan \(3\lt x^2\lt5\) memberi dua interval terpisah \((-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5)\text{.}\) Prapeta ini memuat bola kecil di sekitar \(2\text{,}\) tetapi bukan dirinya sendiri sebuah bola yang berpusat di \(2\text{.}\)
Pemeriksaan G.44. Metrik graf berhingga yang lengkap.
Ambil lintasan berbobot \(a-b-c-d\) dengan bobot sisi berturut-turut \(1,2,1\text{,}\) dan definisikan jarak sebagai panjang lintasan terpendek. Daftarkan semua bola berbeda \(B(a,r)\) untuk \(r\gt0\text{,}\) cirikan semua lingkungan bagi \(a\text{,}\) lalu buktikan bahwa setiap fungsi dari ruang ini ke sembarang ruang metrik bersifat kontinu.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Hitung dahulu \(d(a,a),d(a,b),d(a,c),d(a,d)\) dan ingat bahwa syarat bola adalah jarak kurang dari jari-jari. Untuk kekontinuan, cari bola singleton di setiap simpul.
Jarak dari \(a\) ialah \(0,1,3,4\text{.}\) Bola-bolanya adalah \(\{a\}\) untuk \(0\lt r\leq1\text{,}\) \(\{a,b\}\) untuk \(1\lt r\leq3\text{,}\) \(\{a,b,c\}\) untuk \(3\lt r\leq4\text{,}\) dan seluruh ruang untuk \(r\gt4\text{.}\) Semua subhimpunan yang memuat \(a\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{,}\) dan setiap fungsi dari ruang tersebut kontinu.
Karena graf adalah lintasan, satu-satunya lintasan sederhana dari \(a\) ke setiap simpul memberi \(d(a,a)=0\text{,}\) \(d(a,b)=1\text{,}\) \(d(a,c)=1+2=3\text{,}\) dan \(d(a,d)=1+2+1=4\text{.}\) Membandingkan angka-angka ini dengan syarat \(d(a,x)\lt r\) menghasilkan tepat empat rezim bola yang dinyatakan pada jawaban.
Karena \(B(a,1)=\{a\}\text{,}\) setiap himpunan \(N\) yang memuat \(a\) juga memuat bola tersebut dan merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Sebaliknya, setiap lingkungan bagi \(a\) harus memuat pusatnya, jadi pencirian itu tepat.
Di setiap simpul \(p\text{,}\) jarak minimum dari \(p\) ke simpul lain bernilai positif. Pilih jari-jari sebesar jarak minimum tersebut; karena pertidaksamaan bola ketat, bola yang dihasilkan adalah \(\{p\}\text{.}\) Untuk fungsi sebarang \(f\) dan toleransi keluaran sebarang, gunakan bola singleton ini sebagai lingkungan masukan. Setiap \(x\) di dalamnya sama dengan \(p\text{,}\) sehingga jarak keluarannya nol. Jadi setiap fungsi kontinu di setiap simpul.
Pemeriksaan G.45. Irisan berhingga dan irisan tak berhingga.
Buktikan bahwa irisan setiap keluarga berhingga yang tak kosong dari lingkungan bagi titik \(a\) kembali merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Kemudian berikan contoh yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut dapat gagal untuk keluarga tak berhingga.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk banyak lingkungan berhingga, ambil minimum dari jari-jari saksi. Untuk menyangkal versi tak berhingga, gunakan interval terbuka yang menyusut ke \(0\) dalam \(\R\text{.}\)
Jika \(B(a,r_i)\subseteq N_i\) untuk \(i=1,\ldots,k\text{,}\) maka jari-jari \(r=\min_i r_i\gt0\) menyaksikan bahwa \(\bigcap_iN_i\) merupakan lingkungan. Untuk keluarga tak berhingga, setiap \(N_n=(-1/n,1/n)\) merupakan lingkungan bagi \(0\text{,}\) tetapi irisannya adalah \(\{0\}\text{,}\) yang bukan lingkungan bagi \(0\) dalam metrik Euklides.
Misalkan \(k\geq1\) dan \(N_1,\ldots,N_k\) lingkungan bagi \(a\text{.}\) Untuk setiap \(i\text{,}\) pilih \(r_i\gt0\) dengan \(B(a,r_i)\subseteq N_i\text{.}\) Karena hanya ada berhingga banyak jari-jari positif, \(r=\min\{r_1,\ldots,r_k\}\) tetap positif. Maka \(B(a,r)\subseteq B(a,r_i)\subseteq N_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) sehingga \(B(a,r)\subseteq\bigcap_{i=1}^kN_i\text{.}\)
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) tetapkan \(N_n=(-1/n,1/n)\text{.}\) Setiap \(N_n\) adalah bola terbuka dan karena itu lingkungan bagi \(0\text{.}\) Namun, satu-satunya bilangan real yang berada dalam semua interval tersebut ialah \(0\text{,}\) jadi \(\bigcap_{n=1}^{\infty}N_n=\{0\}\text{.}\) Setiap bola Euklides berjari-jari positif di sekitar \(0\) memuat titik selain \(0\text{,}\) sehingga tidak ada bola demikian yang termuat dalam \(\{0\}\text{.}\) Irisan itu bukan lingkungan.
Pemeriksaan G.46. Arah prapeta dan citra lingkungan.
Misalkan \(f:X\to Y\) kontinu di \(a\text{.}\) Buktikan bahwa prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Sangkal pernyataan serupa bahwa citra setiap lingkungan bagi \(a\) harus merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Terakhir, nyatakan satu hipotesis tambahan yang cukup agar pernyataan tentang citra menjadi benar.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan pencirian kekontinuan dengan lingkungan untuk prapeta. Untuk citra, uji fungsi konstan dari \(\R\) ke \(\R\text{.}\) Hipotesis tambahan yang berguna ialah bahwa \(f\) merupakan pemetaan terbuka: citra setiap himpunan terbuka harus terbuka.
Pernyataan prapeta benar menurut pencirian kekontinuan. Pernyataan citra salah: fungsi konstan \(f:\R\to\R\text{,}\) \(f(x)=0\text{,}\) memetakan setiap lingkungan ke singleton \(\{0\}\text{,}\) yang bukan lingkungan bagi \(0\) dalam metrik Euklides. Jika \(f\) kontinu dan juga merupakan pemetaan terbuka, maka citra setiap lingkungan bagi \(a\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\)
Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) teorema lingkungan menyatakan langsung bahwa untuk setiap lingkungan \(V\) bagi \(f(a)\text{,}\) himpunan \(f^{-1}(V)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Arah prapeta ini sesuai dengan urutan kuantor dalam definisi kekontinuan.
Untuk arah citra, ambil fungsi konstan \(f:\R\to\R\) dengan \(f(x)=0\text{.}\) Fungsi ini kontinu. Jika \(N=(-1,1)\text{,}\) maka \(N\) merupakan lingkungan bagi \(0\text{,}\) tetapi \(f(N)=\{0\}\text{.}\) Singleton tersebut tidak memuat bola Euklides berjari-jari positif di sekitar \(0\text{,}\) jadi bukan lingkungan.
Sekarang andaikan, sebagai tambahan, bahwa \(f\) merupakan pemetaan terbuka. Jika \(N\) lingkungan bagi \(a\text{,}\) pilih \(r\gt0\) dengan \(B(a,r)\subseteq N\text{.}\) Himpunan \(B(a,r)\) terbuka, sehingga \(f(B(a,r))\) terbuka karena \(f\) pemetaan terbuka. Himpunan itu memuat \(f(a)\) dan termuat dalam \(f(N)\text{.}\) Jadi \(f(N)\) memuat suatu lingkungan terbuka bagi \(f(a)\) dan karenanya merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\)
