Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Aksioma Separasi

Seperti telah kita lihat, barisan dalam ruang topologi pada umumnya tidak berperilaku seperti yang kita harapkan. Oleh karena itu, kita mencari syarat pada ruang topologi yang membuat barisan menunjukkan perilaku yang lebih teratur. Dalam kegiatan pendahuluan, kita melihat bahwa dalam ruang topologi, himpunan beranggota tunggal tidak harus tertutup. Dalam Kegiatan 13.4, kita juga melihat bahwa limit barisan dalam ruang topologi tidak harus tunggal. Perilaku seperti ini membatasi hasil yang dapat dibuktikan tentang ruang tersebut. Oleh karena itu, kita mendefinisikan kelas-kelas ruang topologi yang perilakunya lebih mendekati intuisi kita.

Kegiatan 13.7.

(a)

Tinjau suatu ruang metrik \((X,d)\text{,}\) dan misalkan \(x\) dan \(y\) titik-titik berbeda dalam \(X\text{.}\)
(i)
Jelaskan mengapa \(x\) dan \(y\) tidak mungkin sekaligus menjadi limit dari barisan yang sama jika terdapat bola terbuka saling lepas \(B(x,r)\) yang berpusat di \(x\) dan \(B(y,s)\) yang berpusat di \(y\) sedemikian sehingga \(B(x,r) \cap B(y,s) = \emptyset\text{.}\)
(ii)
Sekarang, tunjukkan bahwa kita dapat menemukan bola terbuka saling lepas \(B(x,r)\) yang berpusat di \(x\) dan \(B(y,s)\) yang berpusat di \(y\) sedemikian sehingga \(B(x,r) \cap B(y,s) = \emptyset\text{.}\)

(b)

Kembali ke contoh dalam Kegiatan 13.4 dengan \(X = \{a, b, c\}\) dan topologi
\begin{equation*} \tau~=~\{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, X\}\text{.} \end{equation*}
Kita telah melihat bahwa setiap titik dalam \(X\) merupakan limit dari barisan konstan \((c)\text{.}\) Jika \(x \neq c\) dalam \(X\text{,}\) jelaskan mengapa tidak ada himpunan terbuka saling lepas \(O_x\) yang memuat \(x\) dan \(O_c\) yang memuat \(c\text{.}\)
Fakta yang diuraikan dalam Kegiatan 13.7, yakni bahwa titik-titik berbeda dapat dipisahkan dengan himpunan terbuka saling lepas, membedakan ruang metrik dari ruang lain yang limitnya tidak tunggal. Jika kita membatasi perhatian pada ruang yang titik-titiknya dapat dipisahkan dengan cara ini, kita dapat mengharapkan limit yang tunggal. Ruang seperti itu disebut ruang Hausdorff.

Definisi 13.12.

Suatu ruang topologi \(X\) disebut ruang Hausdorff jika untuk setiap pasangan titik berbeda \(x\text{,}\) \(y\) dalam \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(O_x\) yang memuat \(x\) dan \(O_y\) yang memuat \(y\) sedemikian sehingga \(O_x \cap O_y = \emptyset\text{.}\)
Kegiatan 13.7 menunjukkan bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff. Ketika kita mulai memberlakukan syarat pada ruang topologi, kita membatasi ruang-ruang yang kita pertimbangkan.

Kegiatan 13.8.

(a)

Misalkan \(X\) sebarang himpunan dan \(\tau\) topologi diskret. Apakah \((X, \tau)\) Hausdorff? Berikan alasan untuk jawaban Anda.

(b)

Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi Hausdorff dengan \(X = \{x, x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) suatu himpunan berhingga. Apakah \(\{x\}\) merupakan himpunan terbuka? Jelaskan. Apa yang dapat disimpulkan tentang topologi \(\tau\text{?}\)
Petunjuk.
Apakah \(x\) merupakan titik limit dari \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\text{?}\)

Contoh 13.13.

Terdapat contoh ruang Hausdorff yang bukan ruang metrik baku. Sebagai contoh, misalkan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \text{ adalah bilangan bulat positif } \right\}\text{.}\) Kita menggunakan \(K\) untuk membentuk topologi pada \(\R\) dengan basis yang terdiri atas semua interval terbuka berbentuk \((a,b)\) dan semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \(a \lt b\) bilangan-bilangan real. Topologi ini menambahkan himpunan-himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\) pada interval terbuka baku untuk membentuk topologi baru. Topologi ini dikenal sebagai topologi \(K\) pada \(\R\text{.}\) Seperti dalam \((\R, d_E)\text{,}\) jika \(x\) dan \(y\) bilangan-bilangan real berbeda, kita dapat memisahkan \(x\) dan \(y\) dengan interval terbuka.
Kita mendefinisikan ruang Hausdorff karena ruang tersebut memiliki sifat-sifat yang akrab, seperti yang diperlihatkan oleh teorema-teorema berikut.

Bukti.

Misalkan \(X\) suatu ruang topologi Hausdorff, dan misalkan \(A = \{a\}\) untuk suatu \(a \in X\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(A\) tertutup, kita buktikan bahwa \(X \setminus A\) terbuka. Misalkan \(x \in X \setminus A\text{.}\) Maka \(x \neq a\text{.}\) Jadi, terdapat himpunan terbuka \(O_x\) yang memuat \(x\) dan \(O_a\) yang memuat \(a\) sedemikian sehingga \(O_x \cap O_a = \emptyset\text{.}\) Karena itu, \(a \notin O_x\) dan \(O_x \subseteq X \setminus A\text{.}\) Dengan demikian, setiap titik dalam \(X \setminus A\) merupakan titik interior dan \(X \setminus A\) merupakan himpunan terbuka. Hal ini membuktikan bahwa \(A\) merupakan himpunan tertutup.

Bukti.

Misalkan \(X\) suatu ruang topologi Hausdorff, dan misalkan \((x_n)\) suatu barisan dalam \(X\text{.}\) Andaikan \((x_n)\) konvergen ke \(a \in X\) dan ke \(b \in X\text{.}\) Andaikan \(a \neq b\text{.}\) Maka terdapat himpunan terbuka \(O_a\) yang memuat \(a\) dan \(O_b\) yang memuat \(b\) sedemikian sehingga \(O_a \cap O_b = \emptyset\text{.}\) Karena \((x_n)\) konvergen ke \(a\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(x_n \in O_a\) untuk semua \(n \geq N\text{.}\) Namun, hal ini mengakibatkan \(x_n \notin O_b\) untuk setiap \(n \geq N\text{.}\) Hal tersebut bertentangan dengan fakta bahwa \((x_n)\) konvergen ke \(b\text{.}\) Jadi, \(a=b\) dan barisan \((x_n)\) memiliki paling banyak satu limit dalam \(X\text{.}\)
Ruang Hausdorff penting karena kita dapat memisahkan titik-titik berbeda dengan himpunan terbuka saling lepas. Kita juga perlu mempertimbangkan jenis objek lain yang dapat dipisahkan dengan himpunan terbuka saling lepas. Sebagai contoh, topologi indiskret cukup buruk dalam arti bahwa himpunan-himpunan terbukanya tidak dapat membedakan titik-titik yang berbeda. Artinya, jika \(x\) dan \(y\) titik-titik berbeda dalam ruang dengan topologi indiskret, setiap himpunan terbuka yang memuat \(x\) juga memuat \(y\text{.}\) Sebaliknya, dalam ruang Hausdorff kita dapat memisahkan titik-titik berbeda dengan himpunan terbuka saling lepas. Ini merupakan contoh sifat “separasi”. Jenis sifat separasi lainnya mencirikan jenis ruang topologi yang berbeda. Sifat-sifat separasi ini menentukan jenis objek yang dapat kita pisahkan dengan himpunan terbuka saling lepas — misalnya, titik; titik dan himpunan tertutup; serta dua himpunan tertutup. Berikut adalah sifat-sifat separasi yang paling umum digunakan. Sifat-sifat ini menyingkirkan jenis perilaku yang tidak diinginkan dalam ruang topologi. Sebagai contoh, ingat bahwa limit barisan bersifat tunggal dalam ruang Hausdorff. (Secara tradisional, sifat-sifat separasi ini disebut “aksioma” karena kita umumnya mengandaikan bahwa ruang topologi kita memiliki sifat-sifat tersebut. Namun, sifat-sifat ini bukan aksioma dalam arti yang lazim, melainkan sifat.)

Definisi 13.16.

Misalkan \(X\) suatu ruang topologi.
  1. Ruang \(X\) disebut ruang T\(_1\) atau ruang Fréchet jika untuk setiap \(x\neq y\) dalam \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\) yang memuat \(y\) sedemikian sehingga \(x \notin U\text{.}\)
  2. Ruang \(X\) disebut ruang T\(_2\) atau ruang Hausdorff jika untuk setiap \(x\neq y\) dalam \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka saling lepas \(U\) dan \(V\) sedemikian sehingga \(x\in U\) dan \(y\in V\text{.}\)
  3. Ruang \(X\) disebut reguler jika untuk setiap himpunan tertutup \(C\) dalam \(X\) dan setiap titik \(x \in X \setminus C\text{,}\) terdapat himpunan terbuka saling lepas \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) sedemikian sehingga \(C \subseteq U\) dan \(x \in V\text{.}\) Ruang \(X\) disebut ruang T\(_3\) atau ruang Hausdorff reguler jika \(X\) merupakan ruang reguler \(T_1\text{.}\)
  4. Ruang \(X\) disebut ruang normal jika untuk setiap pasangan subhimpunan tertutup saling lepas \(C\) dan \(D\) dari \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka saling lepas \(U\) dan \(V\) sedemikian sehingga \(C \subseteq U\) dan \(D \subseteq V\text{.}\) Ruang \(X\) disebut ruang T\(_4\) atau ruang Hausdorff normal jika \(X\) merupakan ruang normal \(T_1\text{.}\)
Latihan 16 menunjukkan bahwa setiap ruang metrik bersifat reguler sekaligus normal. Penggunaan huruf \(T\) berasal dari istilah bahasa Jerman “Trennungsaxiome” untuk aksioma separasi. Sekali lagi, perhatikan bahwa secara teknis sifat-sifat ini bukan aksioma, melainkan sifat. Pertanyaan yang menarik adalah mengapa kita mensyaratkan ruang \(T_3\) dan \(T_4\) juga merupakan ruang \(T_1\text{.}\) Kita ingin aksioma-aksioma ini memberikan pemisahan yang lebih kuat ketika indeksnya bertambah. Tinjau suatu ruang \(X\) dengan topologi indiskret. Dalam ruang ini, tidak ada yang terpisahkan. Namun, ruang ini bersifat reguler dan normal secara trivial. Untuk menghindari ketidakselarasan ini, kita membatasi perhatian pada ruang \(T_1\text{.}\) Perhatikan bahwa ruang dengan topologi indiskret bukan ruang \(T_1\text{.}\)
Setiap ruang \(T_4\) merupakan ruang \(T_3\text{,}\) setiap ruang \(T_3\) merupakan ruang \(T_2\text{,}\) dan setiap ruang \(T_2\) merupakan ruang \(T_1\text{.}\) Pembuktian pernyataan-pernyataan ini diserahkan kepada Latihan 18. Sifat-sifat ini juga berbeda satu sama lain. Artinya, terdapat ruang \(T_1\) yang bukan ruang \(T_2\) dan ruang \(T_2\) yang bukan ruang \(T_3\text{.}\) Soal-soal tersebut diberikan dalam Latihan 19. Fakta bahwa terdapat ruang \(T_3\) yang bukan ruang \(T_4\) sedikit lebih sulit. Salah satu contohnya adalah bidang Niemytzki. Bidang Niemytzki adalah setengah bidang atas \(X = \{(x,y) \in \R^2 \mid y \geq 0\}\text{.}\) Misalkan \(L\) batas Euklides dari \(X\) dalam bidang koordinat. Artinya, \(L = \{(x,y) \in \R^2 \mid y = 0\}\text{.}\) Suatu basis untuk topologi pada \(X\) terdiri atas cakram terbuka baku yang berpusat di titik-titik dengan \(y \gt 0\) dan seluruhnya berada di atas garis batas, beserta cakram terbuka dalam \(X \setminus L\) yang menyinggung \(L\) bersama titik singgung masing-masing. Kita tidak akan membuktikan bahwa bidang Niemytzki merupakan ruang \(T_3\) tetapi bukan ruang \(T_4\text{.}\) Pembaca yang berminat dapat menemukan pembuktian yang mudah diikuti dalam artikel “Another Proof that the Niemytzki Plane is not Normal” karya David H. Vetterlein dalam Pi Mu Epsilon Journal, Vol. 10, No. 2 (SPRING 1995), hlm. 119–121.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>