Definisi 8.1.
Suatu subhimpunan \(O\) dari ruang metrik \(X\) disebut himpunan terbuka jika \(O\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya.
Bagian Pendahuluan
Perhatikan interval \((a,b)\) dalam \(\R\) dengan metrik Euklides. Jika \(m = \frac{a+b}{2}\text{,}\) maka \((a,b) = B\left(m,\frac{b-a}{2}\right)\text{,}\) sehingga setiap interval terbuka merupakan bola terbuka. Sebagai bola terbuka, interval terbuka \((a,b)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Hal ini mendasari definisi himpunan terbuka dalam ruang metrik.
Ingat bahwa kita mendefinisikan suatu subhimpunan \(N\) dari \(X\) sebagai lingkungan bagi titik \(a\) dalam ruang metrik \((X,d)\) jika \(N\) memuat suatu bola terbuka \(B(a, \epsilon)\) untuk suatu \(\epsilon \gt 0\text{.}\) Kita telah melihat bahwa setiap bola terbuka merupakan lingkungan bagi setiap titiknya, dan kini kita akan memperluas gagasan tersebut untuk mendefinisikan himpunan terbuka dalam ruang metrik.
Jadi, menurut definisi, setiap bola terbuka merupakan himpunan terbuka. Masih menurut definisi, himpunan terbuka merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Himpunan terbuka berbeda dari himpunan yang tidak terbuka. Sebagai contoh, \((0,1)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(\R\) dengan metrik Euklides, tetapi \([0,1)\) bukan himpunan terbuka. Himpunan \([0,1)\) bukan himpunan terbuka karena tidak ada bola terbuka berpusat di \(0\) yang seluruhnya termuat dalam \([0,1)\text{.}\) Jadi, \(0\) memiliki sifat yang berbeda dari titik-titik lain dalam \([0,1)\text{.}\) Himpunan \([0,1)\) merupakan lingkungan bagi setiap titik dalam \((0,1)\text{,}\) tetapi bukan lingkungan bagi \(0\text{.}\) Kita dapat memandang titik-titik dalam \((0,1)\) sebagai titik-titik yang berada di interior himpunan \([0,1)\text{.}\) Hal ini membawa kita ke definisi berikut.
Definisi 8.2.
Misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari ruang metrik \(X\text{.}\) Titik \(a \in A\) disebut titik interior dari \(A\) jika \(A\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Seperti yang akan segera kita lihat, himpunan terbuka dapat dicirikan melalui titik-titik interior.
Aktivitas Persiapan 8.1.
(a)
Tentukan apakah himpunan \(A\) merupakan himpunan terbuka dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Jelaskan alasan Anda.
(i)
\(X = \R\text{,}\) \(d = d_E\text{,}\) metrik Euklides, \(A = [0,0.5)\text{.}\)
(ii)
\(X = \{x \in \R \mid 0 \leq x \leq 1\}\text{,}\) \(d = d_E\text{,}\) metrik Euklides, \(A = [0,0.5)\text{.}\) Anggap bahwa metrik Euklides merupakan suatu metrik pada \(X\text{.}\)
(iii)
\(X = \{a,b,c,d\}\text{,}\) \(d\) adalah metrik diskret yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ if } x = y \\ 1 \amp \text{ if } x \neq y, \end{cases}
\end{equation*}
dan \(A = \{a,b\}\text{.}\)
(b)
(i)
Apa saja titik interior dari himpunan-himpunan berikut dalam \((\R, d_E)\text{?}\) Jelaskan.
\begin{equation*}
(0,1) \ \ \ (0,1] \ \ \ [0,1) \ \ \ [0,1]\text{.}
\end{equation*}
(ii)
Misalkan \(A = \{0, 1, 2\}\) dalam \((\R, d_E)\text{.}\) Apa saja titik interior dari \(A\text{?}\) Jelaskan.
(iii)
Misalkan \(\Q\) himpunan bilangan rasional dalam \((\R, d_E)\text{.}\) Apa saja titik interior dari \(\Q\text{?}\) Jelaskan.
