Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Ringkasan

Gagasan penting yang telah kita bahas dalam bagian ini meliputi hal-hal berikut.
  • Fungsi \(f\) dari himpunan tak kosong \(A\) ke himpunan \(B\) adalah suatu koleksi pasangan terurut \((a,b)\) sedemikian sehingga untuk setiap \(a \in A\) terdapat pasangan \((a,b)\) dalam \(f\text{,}\) dan jika \((a,b)\) serta \((a,b')\) berada dalam \(f\text{,}\) maka \(b=b'\text{.}\) Jika \(f\) suatu fungsi, kita menggunakan notasi \(f(a) = b\) untuk menyatakan bahwa \((a,b) \in f\text{.}\)
  • Jika \(f\) adalah fungsi dari \(A\) ke \(B\text{,}\) himpunan \(A\) merupakan domain fungsi tersebut.
  • Jika \(f\) adalah fungsi dari \(A\) ke \(B\text{,}\) himpunan \(B\) merupakan kodomain fungsi tersebut. Himpunan
    \begin{equation*} \{f(a) \mid a \in A\} \end{equation*}
    merupakan daerah hasil fungsi tersebut. Jadi, daerah hasil suatu fungsi adalah subhimpunan dari kodomainnya.
  • Fungsi \(f\) dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) merupakan injeksi jika kesamaan \(f(a) = f(a')\) untuk \(a\text{,}\) \(a' \in A\) selalu mengakibatkan \(a = a'\text{.}\) Fungsi \(f\) merupakan surjeksi jika, untuk setiap \(b \in B\text{,}\) terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a)=b\text{.}\)
  • Jika \(f\) adalah fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dan \(g\) adalah fungsi dari \(B\) ke himpunan \(C\text{,}\) komposit \(g \circ f\) merupakan fungsi dari \(A\) ke \(C\) yang didefinisikan oleh \((g \circ f)(a) = g(f(a))\) untuk setiap \(a \in A\text{.}\)
  • Fungsi \(f\) dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) merupakan bijeksi jika \(f\) sekaligus merupakan surjeksi dan injeksi. Jika \(f\) merupakan bijeksi dari \(A\) ke \(B\text{,}\) maka \(f\) mempunyai invers \(f^{-1}\) yang didefinisikan oleh \(f^{-1}(b) = a\) ketika \(f(a) = b\text{.}\)
  • Jika \(f\) adalah fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\text{,}\) dan jika \(C\) adalah subhimpunan dari \(A\text{,}\) citra \(C\) di bawah \(f\) adalah himpunan
    \begin{equation*} f(C) = \{f(c) \mid c \in C\}\text{,} \end{equation*}
    dan jika \(D\) adalah subhimpunan dari \(B\text{,}\) prapeta \(D\) adalah himpunan
    \begin{equation*} f^{-1}(D) = \{a \in A \mid f(a) \in D\}\text{.} \end{equation*}
  • Sifat-sifat penting yang menghubungkan citra dan prapeta himpunan dengan gabungan himpunan adalah sebagai berikut. Jika \(f\) adalah fungsi dari himpunan \(X\) ke himpunan \(Y\text{,}\) jika \(\{A_{\alpha}\}\) adalah suatu koleksi subhimpunan dari \(X\) yang diindeks oleh \(\alpha\) dalam himpunan indeks \(I\text{,}\) dan \(\{B_{\beta}\}\) adalah suatu koleksi subhimpunan dari \(Y\) yang diindeks oleh \(\beta\) dalam himpunan indeks \(J\text{,}\) maka
    1. \(f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) = \bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})\text{,}\) dan
    2. \(f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right) = \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>