1.
Tentukan dengan tepat ruang topologi berhingga mana saja yang merupakan ruang Hausdorff. Buktikan hasil Anda.
Latihan Latihan
2.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa \(\overline{A} = A \cup \Bdry(A)\text{.}\)
3.
Misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari suatu ruang topologi. Buktikan bahwa \(\Bdry(A) = \emptyset\) jika dan hanya jika \(A\) terbuka sekaligus tertutup.
4.
Misalkan \(X\) suatu himpunan tak kosong dengan sedikitnya dua unsur dan \(p\) suatu unsur tetap di \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) topologi titik tertentu dan \(\tau_{\overline{p}}\) topologi titik yang dikecualikan pada \(X\text{.}\) Artinya,
- \(\tau_{p}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri dari \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
- \(\tau_{\overline{p}}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri dari \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)
Fakta bahwa topologi titik tertentu dan topologi titik yang dikecualikan merupakan topologi menjadi pokok bahasan Latihan 9 dan Latihan 10. Misalkan \(A = (0,1]\) suatu subhimpunan dari \(\R\text{.}\) Tentukan, disertai bukti, \(\overline{A}\text{,}\) \(\Int(A)\text{,}\) dan \(\Bdry(A)\) ketika
(a)
\(\R\) memiliki topologi \(\tau_{p}\) dengan \(p = 0\)
(b)
\(\R\) memiliki topologi \(\tau_{\overline{p}}\) dengan \(p = 0\text{.}\)
5.
Misalkan \(\B = \{[a,b) \mid a \lt b \text{ di } \R\}\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \(\B\) merupakan basis untuk topologi \(\tau_{\ell \ell}\) pada \(\R\text{.}\) Topologi ini disebut topologi limit bawah pada \(\R\text{.}\) Garis \(\R\) dengan topologi \(\tau_{\ell \ell}\) kadang-kadang disebut garis Sorgenfrey (dinamai menurut matematikawan Robert Sorgenfrey).
(b)
Tunjukkan bahwa setiap interval terbuka \((a,b)\) juga merupakan himpunan terbuka dalam topologi limit bawah.
(c)
Jika \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) merupakan topologi pada suatu himpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) maka \(\tau_1\) dikatakan sebagai topologi yang lebih kasar daripada \(\tau_2\text{,}\) atau \(\tau_2\) dikatakan sebagai topologi yang lebih halus daripada \(\tau_1\text{.}\) Bagian (b) menunjukkan bahwa topologi limit bawah mungkin lebih halus daripada topologi metrik Euklides. Tentukan apakah hal ini benar, yaitu apakah topologi limit bawah benar-benar lebih halus daripada topologi metrik Euklides pada \(\R\text{.}\) Berikan alasan untuk jawaban Anda.
(d)
Misalkan \(a \lt b\text{,}\) dengan kedua bilangan tersebut merupakan unsur \(\R\text{.}\) Apakah himpunan \([a,b)\) merupakan himpunan buka-tutup (clopen) dalam \((\R, \tau_{\ell \ell})\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
6.
Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) dikatakan rapat dalam \(X\) jika \(\overline{A} = X\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \(\Q\) rapat dalam \(\R\) dengan topologi metrik Euklides.
(b)
Apakah \(\Z\) rapat dalam \(\R\) dengan topologi metrik Euklides? Buktikan jawaban Anda.
(c)
Misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{.}\) Buktikan bahwa \(A\) rapat dalam \(X\) jika dan hanya jika \(A \cap O \neq \emptyset\) untuk setiap himpunan terbuka tak kosong \(O\text{.}\)
7.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa himpunan-himpunan \(\Int(A)\text{,}\) \(\Bdry(A)\text{,}\) dan \(\Int(A^c)\) saling lepas (artinya, irisan sebarang dua himpunan tersebut adalah kosong).
(b)
Buktikan bahwa \(X = \Int(A) \cup \Bdry(A) \cup \Int(A^c)\text{.}\)
8.
Buktikan bahwa subruang dari suatu ruang Hausdorff juga merupakan ruang Hausdorff.
9.
Misalkan \(X\) suatu himpunan tak kosong dengan sedikitnya dua unsur dan \(p\) suatu unsur tetap di \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) topologi titik tertentu dan \(\tau_{\overline{p}}\) topologi titik yang dikecualikan pada \(X\text{.}\) Artinya,
- \(\tau_{p}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri dari \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
- \(\tau_{\overline{p}}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri dari \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)
Fakta bahwa topologi titik tertentu dan topologi titik yang dikecualikan merupakan topologi menjadi pokok bahasan Latihan 9 dan Latihan 10. Tentukan, disertai bukti, apakah \(X\) merupakan ruang Hausdorff ketika
(a)
\(X\) memiliki topologi \(\tau_{p}\)
(b)
\(X\) memiliki topologi \(\tau_{\overline{p}}\text{.}\)
10.
Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat batasnya.
11.
Ingat bahwa suatu titik \(a\) dalam subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) merupakan titik terasing dari \(A\) jika terdapat lingkungan \(N\) dari \(a\) di \(X\) sedemikian sehingga \(N \cap A = \{a\}\text{.}\) Kita dapat membuat definisi yang sama dalam sebarang ruang topologi.
Definisi. Suatu titik \(a\) dalam subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) merupakan titik terasing dari \(A\) jika terdapat lingkungan \(N\) dari \(a\) sedemikian sehingga \(N \cap A = \{a\}\text{.}\)
(a)
Jika \(A\) suatu subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{,}\) buktikan bahwa suatu titik \(a \in A\) merupakan titik terasing dari \(A\) jika dan hanya jika \(\{a\}\) merupakan himpunan terbuka di \(A\text{.}\)
(b)
Kita telah membuktikan bahwa dalam ruang metrik, setiap titik batas dari suatu himpunan \(A\) merupakan titik limit atau titik terasing dari \(A\text{.}\) (Lihat Latihan 12.) Apakah pernyataan yang sama berlaku dalam ruang topologi? Buktikan jawaban Anda.
12.
Untuk setiap bilangan bulat \(a\text{,}\) misalkan \(a\Z = \{ka \mid k \in \Z\}\text{.}\) Artinya, \(a\Z\) adalah himpunan semua kelipatan bulat dari \(a\text{.}\) Fakta bahwa \(\{a\Z \mid a \in \Z\}\) merupakan basis untuk topologi \(\tau\) pada \(\Z\) dibahas dalam Latihan 2. Dalam latihan ini, bekerjalah pada ruang topologi \((\Z, \tau)\)
(a)
Misalkan \(A = \mathbb{E}\text{,}\) yaitu himpunan bilangan bulat genap.
(i)
Tentukan, disertai alasan, \(\Int(A)\text{.}\)
(ii)
Tentukan, disertai alasan, \(\overline{A}\text{.}\)
(b)
Misalkan \(B = \mathbb{N} = \{n \in \Z \mid n \geq 1\}\text{.}\) Artinya, \(\mathbb{N}\) adalah himpunan bilangan asli.
(i)
Tentukan, disertai alasan, \(\Int(B)\text{.}\)
(ii)
Tentukan, disertai alasan, \(\overline{B}\text{.}\)
13.
Perhatikan topologi Titik Asal Ganda yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan \(X = \R^2 \cup \{0^*\}\text{,}\) dengan \(0^*\) dipandang sebagai titik yang tidak berada di \(\R^2\) (\(0^*\) adalah titik asal ganda kita). Sebagai basis untuk himpunan terbuka, kita gunakan bola-bola terbuka standar untuk setiap titik selain \(0\) dan \(0^*\text{.}\) Untuk setiap nilai parameter yang positif, pada titik \(0\) kita definisikan himpunan-himpunan terbukanya sebagai
\begin{equation*}
N(0,r) = \left\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \lt \frac{1}{r^2}, y \gt 0\right\} \cup \{0\}
\end{equation*}
dan untuk setiap nilai parameter yang positif, pada titik \(0^*\) kita definisikan himpunan-himpunan terbukanya sebagai
\begin{equation*}
N(0^*, r) = \left\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \lt \frac{1}{r^2}, y \lt 0\right\} \cup \{0^*\}\text{.}
\end{equation*}
Jadi, \(N(0,r)\) adalah setengah bagian atas dari cakram berjari-jari \(\frac{1}{r}\) yang berpusat di titik asal, dengan sumbu \(x\) dikecualikan tetapi titik asal disertakan, sedangkan \(N(0^*,r)\) adalah setengah bagian bawah dari cakram berjari-jari \(\frac{1}{r}\) yang berpusat di titik asal, dengan sumbu \(x\) dikecualikan dan titik \(0^*\) disertakan.
(a)
Tunjukkan bahwa koleksi himpunan yang dijelaskan sebagai basis untuk topologi Titik Asal Ganda benar-benar merupakan basis untuk suatu topologi.
(b)
Apakah \(X\) dengan topologi Titik Asal Ganda merupakan ruang Hausdorff? Buktikan jawaban Anda.
14.
(a)
Tunjukkan bahwa setiap himpunan berhingga merupakan himpunan tertutup dalam \(\R^n\) dengan topologi Zariski.
(b)
Tunjukkan bahwa \(\R^n\) dengan topologi Zariski bukan ruang Hausdorff. (Latihan 12 menunjukkan bahwa suatu basis untuk topologi Zariski pada \(\R^n\) adalah koleksi himpunan berbentuk \(\R^n \setminus Z(f)\text{,}\) dengan \(Z(f)\) adalah himpunan nol dari polinom \(f\) dalam \(n\) variabel.)
15.
Perhatikan topologi garis digital \(\tau_{dl}\) pada \(\Z\) dengan basis \(\{B(n)\}\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
B(n) = \begin{cases}\{n\} \amp \text{ jika \(n\) ganjil } , \\ \{n-1,n,n+1\} \amp \text{ jika \(n\) genap } . \end{cases}
\end{equation*}
(a)
Misalkan \(A = \{-1,0,1\}\) suatu subhimpunan dari \((\Z, \tau_{dl})\text{.}\)
(i)
Tentukan titik-titik limit dan titik-titik batas dari \(A\text{.}\) Buktikan dugaan Anda. Apakah setiap titik limit dari \(A\) merupakan titik batas dari \(A\text{?}\) Apakah setiap titik batas dari \(A\) merupakan titik limit dari \(A\text{?}\)
(ii)
Tentukan \(\overline{A}\) dan tuliskan \(\Z \setminus \overline{A}\) sebagai gabungan himpunan-himpunan terbuka.
(b)
Sekarang perhatikan subhimpunan \(B = \{0\}\) dari \((\Z, \tau_{dl})\text{.}\)
(i)
Tentukan titik-titik limit dan titik-titik batas dari \(B\text{.}\) Buktikan dugaan Anda. Apakah setiap titik limit dari \(B\) merupakan titik batas dari \(B\text{?}\) Apakah setiap titik batas dari \(B\) merupakan titik limit dari \(B\text{?}\)
(ii)
Tentukan \(\overline{B}\) dan tuliskan \(\Z \setminus \overline{B}\) sebagai gabungan himpunan-himpunan terbuka.
16.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik. Ingat dari Latihan 8 dalam Bab 10 bahwa jika \(C\) suatu subhimpunan tertutup tak kosong dari ruang metrik \(X\) dan \(x\) suatu unsur dari \(X\text{,}\) maka \(d(x,C) = 0\) jika dan hanya jika \(x \in C\text{.}\) Gunakan gagasan ini untuk mengerjakan hal-hal berikut.
(a)
Buktikan bahwa setiap ruang metrik bersifat reguler.
(b)
Buktikan bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang normal.
17.
Misalkan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \text{ adalah bilangan bulat positif} \right\}\text{.}\) Misalkan \(\B\) koleksi semua interval terbuka berbentuk \((a,b)\) dan semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \(a \lt b\) bilangan real seperti dalam Contoh 13.13. Koleksi \(\B\) merupakan basis bagi topologi \(\tau_K\) pada \(\R\text{.}\) Karena koleksi ini memuat semua interval terbuka biasa, \(\tau_K\) lebih halus daripada topologi Euklides.
(a)
Tunjukkan bahwa \((\R, \tau_K)\) merupakan ruang Hausdorff.
(b)
Latihan 16 menunjukkan bahwa setiap ruang metrik bersifat reguler. Pada bagian latihan ini, tunjukkan bahwa \((\R, \tau_K)\) bukan ruang reguler. Kita dapat menyimpulkan bahwa \((\R, \tau_K)\) tidak termetriskan.
Petunjuk.
Perhatikan \(0\) dan \(K\text{.}\)
18.
(a)
Buktikan bahwa suatu ruang topologi \(X\) merupakan ruang \(T_1\) jika dan hanya jika setiap himpunan beranggota tunggal bersifat tertutup.
(b)
Tunjukkan bahwa setiap ruang \(T_2\) merupakan ruang \(T_1\text{,}\) setiap ruang \(T_3\) merupakan ruang \(T_2\text{,}\) dan setiap ruang \(T_4\) merupakan ruang \(T_3\text{.}\)
19.
Dalam latihan ini, kita memberikan contoh ruang yang merupakan ruang \(T_1\) tetapi bukan ruang \(T_2\text{,}\) serta ruang \(T_2\) yang bukan ruang \(T_3\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \(\R\) dengan topologi komplemen berhingga merupakan ruang \(T_1\) tetapi bukan ruang \(T_2\text{.}\)
(b)
Definisikan ruang \(\R_K\) seperti dalam Contoh 13.13 sebagai himpunan bilangan real dengan topologi \(\tau\) yang memiliki basis berupa interval-interval terbuka standar dalam \(\R\) beserta semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \((a,b)\) sebarang interval terbuka dan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \in \Z^+\right\}\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\R_K\) merupakan ruang \(T_2\) tetapi bukan ruang \(T_3\text{.}\)
20.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Setiap titik limit dari suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) juga merupakan titik batas dari \(A\text{.}\)
(b)
Setiap titik batas dari suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) juga merupakan titik limit dari \(A\text{.}\)
(c)
Jika \(X\) suatu ruang topologi dan \(A \subseteq X\) sedemikian sehingga \(\Int(A)=\overline{A}\text{,}\) maka \(A\) terbuka sekaligus tertutup.
(d)
Jika \(X\) suatu ruang topologi dan \(A\) serta \(B\) merupakan subhimpunan dari \(X\) dengan \(\overline{A}=\overline{B}\) dan \(\Int(A) = \Int(B)\text{,}\) maka \(A = B\text{.}\)
(e)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{,}\) maka \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}\text{.}\)
(f)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{,}\) maka \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\text{.}\)
