Bagian Interval
Kita akan mulai dengan salah satu jenis himpunan paling dasar yang akan kita jumpai — interval. Interval terbuka akan berperan penting karena membentuk suatu basis bagi topologi standar pada \(\R\text{.}\) Kita mungkin sudah mengenal interval dari aljabar dan kalkulus, misalnya himpunan seperti \((0,1)\) dan \([2,3)\text{.}\) Agar benar-benar memahami interval, kita memerlukan definisi yang ketat.
Definisi 1.1.
Suatu himpunan bagian \(I\) dari \(\R\) disebut interval jika untuk setiap \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) dalam \(\R\) (dalam notasi interval tak berbatas yang diperkenalkan di bawah, \(a\) atau \(b\) juga dapat diganti secara formal dengan \(\pm \infty\)) yang memenuhi \(a \lt c \lt b\text{,}\) apabila \(a\) dan \(b\) berada dalam \(I\text{,}\) maka \(c\) juga berada dalam \(I\text{.}\)
Dengan definisi ini, himpunan semua bilangan real \(x\) yang memenuhi \(0 \lt x \lt 1\) merupakan interval yang kita nyatakan dengan \((0,1)\) (penting untuk memperhatikan konteks — notasi \((0,1)\) juga kita gunakan untuk menyatakan pasangan terurut). Notasi umum yang kita gunakan untuk interval adalah sebagai berikut:
\((a,b) = \{t \in \R \mid a \lt t \lt b\}\) (\(a\) atau \(b\) dapat berupa \(\pm \infty\))
\([a,b) = \{t \in \R \mid a \leq t \lt b\}\) (\(b\) dapat berupa \(\pm \infty\))
\((a,b] = \{t \in \R \mid a \lt t \leq b\}\) (\(a\) dapat berupa \(\pm \infty\))
\([a,b] = \{t \in \R \mid a \leq t \leq b\}\text{.}\)
Dalam notasi ini, \(\R = (-\infty, \infty)\text{.}\) Interval berbentuk \((a,b)\) disebut interval terbuka, interval berbentuk \([a,b]\) disebut interval tertutup, sedangkan interval berbentuk \([a,b)\) atau \((a,b]\) disebut interval setengah terbuka (atau setengah tertutup). Alasan penggunaan istilah ini akan menjadi lebih jelas ketika nanti kita memperkenalkan himpunan terbuka dan tertutup.
Perhatikan bahwa tidak ada bagian dalam definisi yang mengharuskan \(a \lt b\) pada notasi interval. Hal ini berarti bahwa \((1,1)\) merupakan interval. Karena tidak ada bilangan real yang sekaligus lebih besar daripada \(1\) dan lebih kecil daripada \(1\text{,}\) \(\emptyset = (1,1)\) merupakan interval. Kita juga dapat memiliki interval berbentuk \([a,a]\text{,}\) dengan \(a\) sebarang bilangan real. Artinya, \(\{a\} = [a,a]\text{,}\) dan setiap himpunan yang hanya terdiri atas satu titik merupakan interval. Interval \(\emptyset\) dan \([a,a]\) untuk sebarang bilangan real \(a\) disebut interval degenerat.
Ada satu catatan terakhir mengenai interval. Sebagian orang mensyaratkan bahwa \(a\) harus lebih kecil daripada \(b\) dalam definisi interval, sehingga interval degenerat tidak ada. Hal ini merupakan persoalan konvensi yang tidak akan kita perdebatkan. Dalam hampir seluruh pembahasan kita, kita hanya akan mempertimbangkan interval nondegenerat, sehingga persoalan ini tidak akan menjadi masalah.
