Bagian Kekompakan dan Kekontinuan
Dalam kegiatan pratinjau, kita telah mempelajari kekompakan — padanan interval tertutup dalam \(\R\) bagi ruang topologi. Ingat bahwa suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) bersifat kompak jika setiap selimut buka bagi \(A\) memiliki subselimut berhingga. Seperti yang akan kita lihat, definisi kekompakan tepat memenuhi apa yang kita perlukan untuk menjamin hasil sejenis berikut: fungsi kontinu bernilai real dengan domain berupa ruang topologi mencapai nilai maksimum dan minimum pada himpunan kompak.
Kita mungkin menduga bahwa himpunan kompak memiliki sifat-sifat tertentu, tetapi kita harus berhati-hati terhadap sifat yang kita andaikan.
Kegiatan 17.2.
Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan lengkapi \(X\) dengan topologi \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, X\}\text{.}\)
(a)
Jelaskan mengapa setiap subhimpunan berhingga dari suatu ruang topologi pasti kompak.
(b)
Jika mungkin, temukan suatu subhimpunan dari \(X\) yang kompak dan terbuka. Jika subhimpunan semacam itu tidak ada, jelaskan alasannya.
(c)
Jika \(A\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{,}\) haruskah \(A\) terbuka? Jelaskan.
(d)
Jika mungkin, temukan suatu subhimpunan dari \(X\) yang kompak dan tertutup. Jika subhimpunan semacam itu tidak ada, jelaskan alasannya.
(e)
Jika \(A\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{,}\) haruskah \(A\) tertutup? Jelaskan.
Pesan dari
Kegiatan 17.2 adalah bahwa kekompakan itu sendiri tidak berkaitan dengan himpunan tertutup ataupun terbuka. Namun, kita akan melihat nanti bahwa dalam beberapa keadaan yang wajar, himpunan kompak dan himpunan tertutup saling berkaitan. Untuk saat ini, kita mengambil jalan memutar sejenak dan menanyakan apakah kekompakan merupakan sifat topologi.
Kegiatan 17.3.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, serta misalkan \(f: X \to Y\) kontinu. Andaikan \(A\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{.}\) Dalam kegiatan ini, kita ingin menentukan apakah \(f(A)\) harus merupakan subhimpunan kompak dari \(Y\text{.}\)
(a)
Apa yang perlu kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(f(A)\) merupakan subhimpunan kompak dari \(Y\text{?}\) Dari mana kita mulai?
(b)
Jika kita mempunyai selimut buka bagi \(f(A)\) dalam \(Y\text{,}\) bagaimana kita dapat menemukan selimut buka \(\{U_{\alpha}\}\) bagi \(A\text{?}\) Pastikan untuk memverifikasi bahwa apa yang Anda nyatakan benar-benar merupakan selimut buka bagi \(A\text{.}\)
(c)
Apa yang kita ketahui tentang setiap selimut buka bagi \(A\text{?}\)
(d)
Lengkapilah bukti teorema berikut.
Teorema 17.4.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, serta misalkan \(f: X \to Y\) kontinu. Jika \(A\) merupakan subhimpunan kompak dari \(X\text{,}\) maka \(f(A)\) merupakan subhimpunan kompak dari \(Y\text{.}\)
Salah satu akibat dari
Kegiatan 17.3 adalah bahwa kekompakan merupakan sifat topologi.
Corollary 17.5.
Misalkan f suatu homeomorfisme dari \((X, \tau_X)\) ke \((Y, \tau_Y)\text{.}\) Maka suatu subhimpunan \(A\) dari \(X\) kompak jika dan hanya jika \(f(A)\) kompak dalam \(Y\text{.}\)
