Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian pertama

Tiga belas panduan berikut berkorespondensi, dalam urutan sumber, dengan tiga belas perintah pertama pada bagian latihan penutup Bab 8. ID panduan berlanjut dari o003-c90-ch08-guide-31 sampai o003-c90-ch08-guide-43. Materi pendamping ini merupakan uraian asli untuk pembelajaran mandiri, bukan jawaban yang disediakan oleh penulis karya sumber.
Pada perintah pertama latihan penutup, \((X,d)\) memakai metrik diskret. Buktikan bahwa setiap subhimpunan \(A\subseteq X\) terbuka. Rubrik. Periksa kasus \(A=\emptyset\text{;}\) untuk \(A\neq\emptyset\text{,}\) mulai dari titik sebarang \(x\in A\) dan berikan satu bola berpusat di \(x\) yang termuat dalam \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Langkah 1. Dalam metrik diskret, hitung \(B(x,1)\) dengan mengingat bahwa syarat bola memakai pertidaksamaan ketat.
Langkah 2. Jika \(x\in A\text{,}\) bandingkan bola itu dengan \(A\text{;}\) keterbukaan himpunan kosong berlaku secara hampa.
Jawaban.
Benar. Untuk setiap \(x\in A\text{,}\) berlaku \(B(x,1)=\{x\}\subseteq A\text{;}\) jadi setiap titik \(A\) adalah titik interior.
Solusi.
Jika \(A=\emptyset\text{,}\) syarat bahwa setiap titiknya mempunyai bola yang termuat dalam \(A\) benar secara hampa, sehingga \(A\) terbuka. Sekarang andaikan \(A\neq\emptyset\) dan ambil sebarang \(x\in A\text{.}\) Pada metrik diskret, \(d(x,y)=0\) jika \(y=x\) dan \(d(x,y)=1\) jika \(y\neq x\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*} B(x,1)=\{y\in X\mid d(x,y)\lt1\}=\{x\}. \end{equation*}
Maka \(B(x,1)=\{x\}\subseteq A\text{.}\) Titik \(x\) sebarang, jadi setiap titik \(A\) merupakan titik interior. Dengan demikian \(A\) terbuka.
Pada perintah kedua latihan penutup, domain \((X,d)\) bermetrik diskret dan \((Y,d_Y)\) adalah ruang metrik sebarang. Buktikan bahwa setiap fungsi \(f:X\to Y\) kontinu. Rubrik. Terapkan karakterisasi kekontinuan melalui prapeta himpunan terbuka dan gunakan hasil perintah sebelumnya.
Petunjuk.
Langkah 1. Ambil himpunan terbuka sebarang \(O\subseteq Y\) dan amati bahwa \(f^{-1}(O)\) hanyalah suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
Langkah 2. Semua subhimpunan dari ruang diskret terbuka; masukkan fakta ini ke kriteria prapeta-terbuka.
Jawaban.
Ya. Untuk setiap himpunan terbuka \(O\subseteq Y\text{,}\) prapetanya \(f^{-1}(O)\) merupakan subhimpunan ruang diskret \(X\text{,}\) maka terbuka. Jadi \(f\) kontinu.
Solusi.
Misalkan \(O\) suatu himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\) Apa pun nilai-nilai fungsi \(f\text{,}\) himpunan \(f^{-1}(O)\) adalah suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Menurut hasil perintah pertama, setiap subhimpunan dari \(X\) terbuka karena \(X\) memakai metrik diskret. Jadi \(f^{-1}(O)\) terbuka dalam \(X\) untuk setiap himpunan terbuka \(O\subseteq Y\text{.}\) Karakterisasi kekontinuan melalui prapeta himpunan terbuka sekarang memberi bahwa \(f:X\to Y\) kontinu.
Pada perintah ketiga latihan penutup, tentukan apakah setiap fungsi \(f:Y\to X\) menuju ruang diskret \(X\) juga harus kontinu. Jika tidak, berikan ruang metrik \(Y\text{,}\) fungsi konkret, dan himpunan terbuka di kodomain yang prapetanya tidak terbuka. Rubrik. Sebuah ruang diskret dua titik dan satu fungsi yang membedakan satu titik garis real dari semua titik lain sudah cukup.
Petunjuk.
Langkah 1. Ambil \(Y=(\R,d_E)\) dan \(X=\{0,1\}\) dengan metrik diskret.
Langkah 2. Definisikan \(f(0)=0\) dan \(f(t)=1\) untuk \(t\neq0\text{,}\) lalu hitung \(f^{-1}(\{0\})\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Untuk fungsi di atas, \(\{0\}\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sedangkan \(f^{-1}(\{0\})=\{0\}\) tidak terbuka dalam \((\R,d_E)\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(Y=(\R,d_E)\) dan \(X=\{0,1\}\) dengan metrik diskret. Definisikan
\begin{equation*} f(t)=\begin{cases}0,\amp t=0,\\1,\amp t\neq0.\end{cases} \end{equation*}
Karena \(X\) diskret, himpunan satu titik \(\{0\}\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Akan tetapi, \(f^{-1}(\{0\})=\{0\}\text{.}\) Himpunan ini tidak terbuka dalam garis real bermetrik Euklides: untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) titik \(r/2\) berada dalam \(B(0,r)\) tetapi tidak dalam \(\{0\}\text{.}\) Jadi prapeta suatu himpunan terbuka tidak terbuka, sehingga \(f\) tidak kontinu. Dengan demikian pernyataan universal pada sumber salah.
Pada perintah keempat latihan penutup, buktikan pernyataan bikondisional: suatu subhimpunan \(O\) dari ruang metrik \(X\) terbuka jika dan hanya jika \(O=\Int(O)\text{.}\) Rubrik. Buktikan kedua arah secara terpisah dan jangan lupa bahwa \(\Int(O)\subseteq O\) selalu berlaku.
Petunjuk.
Langkah 1. Jika \(O\) terbuka, setiap \(x\in O\) mempunyai bola terbuka yang termuat dalam \(O\text{.}\)
Langkah 2. Untuk arah sebaliknya, gunakan fakta bahwa interior suatu himpunan adalah himpunan terbuka.
Jawaban.
Benar. Keterbukaan \(O\) memberi \(O\subseteq\Int(O)\text{,}\) sedangkan inklusi sebaliknya selalu benar. Jika \(O=\Int(O)\text{,}\) maka \(O\) terbuka karena interior terbuka.
Solusi.
Andaikan dahulu \(O\) terbuka. Untuk setiap \(x\in O\text{,}\) ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\subseteq O\text{.}\) Jadi setiap \(x\in O\) merupakan titik interior dan \(O\subseteq\Int(O)\text{.}\) Dari definisi interior selalu berlaku \(\Int(O)\subseteq O\text{,}\) maka \(O=\Int(O)\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(O=\Int(O)\text{.}\) Interior setiap himpunan merupakan himpunan terbuka. Karena \(O\) sama dengan interiornya, \(O\) sendiri terbuka. Kedua implikasi telah dibuktikan.
Pada perintah kelima latihan penutup, diketahui \(A\subseteq B\subseteq X\text{.}\) Buktikan atau sangkal \(\Int(A)\subseteq\Int(B)\text{.}\) Rubrik. Mulailah dari titik interior sebarang dari \(A\) dan pertahankan bola saksinya ketika memperbesar himpunan.
Petunjuk.
Langkah 1. Jika \(x\in\Int(A)\text{,}\) ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\subseteq A\text{.}\)
Langkah 2. Rangkaikan inklusi bola itu dengan \(A\subseteq B\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Bola yang menunjukkan bahwa \(x\) interior bagi \(A\) juga termuat dalam \(B\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang \(x\in\Int(A)\text{.}\) Menurut definisi, terdapat \(r\gt0\) sedemikian sehingga \(B(x,r)\subseteq A\text{.}\) Karena \(A\subseteq B\text{,}\) diperoleh
\begin{equation*} B(x,r)\subseteq A\subseteq B. \end{equation*}
Maka \(x\) merupakan titik interior dari \(B\text{,}\) yaitu \(x\in\Int(B)\text{.}\) Karena \(x\) sebarang, \(\Int(A)\subseteq\Int(B)\text{.}\) Jadi pernyataan tersebut benar.
Pada perintah keenam latihan penutup, buktikan atau sangkal \(\Int(\Int(A))=\Int(A)\) untuk setiap subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\text{.}\) Rubrik. Identifikasi sifat topologis \(\Int(A)\text{,}\) lalu terapkan karakterisasi pada perintah keempat.
Petunjuk.
Langkah 1. Himpunan \(\Int(A)\) selalu terbuka.
Langkah 2. Setiap himpunan terbuka sama dengan interiornya sendiri.
Jawaban.
Benar. Karena \(\Int(A)\) terbuka, interior dari \(\Int(A)\) sama dengan \(\Int(A)\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan \(U=\Int(A)\text{.}\) Berdasarkan sifat dasar interior, \(U\) merupakan himpunan terbuka. Hasil perintah keempat menyatakan bahwa himpunan terbuka sama dengan interiornya, sehingga
\begin{equation*} \Int(\Int(A))=\Int(U)=U=\Int(A). \end{equation*}
Jadi pernyataan tersebut benar untuk setiap \(A\subseteq X\text{,}\) termasuk \(A=\emptyset\text{.}\)
Pada perintah ketujuh latihan penutup, misalkan \(a,b\in\R\) dengan \(a\lt b\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((a,b]\) tidak terbuka dalam \((\R,d_E)\text{.}\) Rubrik. Pilih satu titik anggota yang menjadi titik batas dan, untuk setiap radius positif, bangun titik bola yang keluar dari interval.
Petunjuk.
Langkah 1. Titik \(b\) berada dalam \((a,b]\text{.}\)
Langkah 2. Untuk \(r\gt0\text{,}\) periksa titik \(b+r/2\text{.}\)
Jawaban.
Himpunan itu tidak terbuka. Setiap bola \(B(b,r)\) memuat \(b+r/2\text{,}\) yang lebih besar daripada \(b\) dan karena itu tidak berada dalam \((a,b]\text{.}\)
Solusi.
Titik \(b\) adalah anggota \((a,b]\text{.}\) Ambil sebarang \(r\gt0\) dan tetapkan \(y=b+r/2\text{.}\) Karena \(d_E(y,b)=|y-b|=r/2\lt r\text{,}\) berlaku \(y\in B(b,r)\text{.}\) Namun \(y\gt b\text{,}\) sehingga \(y\notin(a,b]\text{.}\) Jadi tidak ada bola terbuka berpusat di \(b\) yang termuat dalam \((a,b]\text{.}\) Titik \(b\) bukan titik interior, maka \((a,b]\) bukan himpunan terbuka.
Pada perintah kedelapan latihan penutup, tentukan apakah \(A=\{(x,y)\in\R^2\mid1\lt x\lt3,\ 0\lt y\lt1\}\) terbuka dalam \((\R^2,d_E)\text{,}\) lalu buktikan jawaban Anda. Rubrik. Untuk titik sebarang dalam \(A\text{,}\) gunakan jarak terkecil ke empat sisi sebagai radius.
Petunjuk.
Langkah 1. Untuk \(p=(x,y)\in A\text{,}\) tetapkan \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\) dan periksa bahwa \(r\gt0\text{.}\)
Langkah 2. Jika \(q=(u,v)\) dan \(d_E(p,q)\lt r\text{,}\) maka \(|u-x|\lt r\) serta \(|v-y|\lt r\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Untuk setiap \(p=(x,y)\in A\text{,}\) radius \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\) memenuhi \(B_{d_E}(p,r)\subseteq A\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(p=(x,y)\in A\text{.}\) Keempat bilangan \(x-1\text{,}\) \(3-x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(1-y\) positif. Jadi \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\gt0\text{.}\) Jika \(q=(u,v)\in B_{d_E}(p,r)\text{,}\) maka
\begin{equation*} |u-x|\leq d_E(p,q)\lt r, \qquad |v-y|\leq d_E(p,q)\lt r. \end{equation*}
Karena \(r\leq x-1\) dan \(r\leq3-x\text{,}\) pertidaksamaan pertama memberi \(1\lt u\lt3\text{.}\) Karena \(r\leq y\) dan \(r\leq1-y\text{,}\) pertidaksamaan kedua memberi \(0\lt v\lt1\text{.}\) Maka \(q\in A\text{,}\) sehingga \(B_{d_E}(p,r)\subseteq A\text{.}\) Karena \(p\) sebarang, \(A\) terbuka dalam metrik Euklides.
Pada perintah kesembilan latihan penutup, tentukan apakah persegi panjang \(A=\{(x,y)\in\R^2\mid1\lt x\lt3,\ 0\lt y\lt1\}\) terbuka dalam \((\R^2,d_T)\text{,}\) lalu buktikan jawaban Anda. Rubrik. Gunakan radius jarak minimum ke sisi dan turunkan batas perubahan masing-masing koordinat dari jarak taksi.
Petunjuk.
Langkah 1. Untuk \(p=(x,y)\in A\text{,}\) gunakan kembali \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\text{.}\)
Langkah 2. Dari \(|u-x|+|v-y|\lt r\text{,}\) simpulkan secara terpisah bahwa \(|u-x|\lt r\) dan \(|v-y|\lt r\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Radius minimum ke empat sisi menghasilkan \(B_{d_T}((x,y),r)\subseteq A\) bagi setiap \((x,y)\in A\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(p=(x,y)\in A\) dan tetapkan \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\gt0\text{.}\) Jika \(q=(u,v)\in B_{d_T}(p,r)\text{,}\) maka
\begin{equation*} |u-x|+|v-y|=d_T(p,q)\lt r. \end{equation*}
Kedua suku tak negatif, sehingga masing-masing kurang daripada \(r\text{.}\) Seperti pada metrik Euklides, batas \(|u-x|\lt r\) memberi \(1\lt u\lt3\text{,}\) sedangkan \(|v-y|\lt r\) memberi \(0\lt v\lt1\text{.}\) Jadi \(q\in A\text{.}\) Dengan demikian \(B_{d_T}(p,r)\subseteq A\) dan \(A\) terbuka dalam metrik taksi.
Pada perintah kesepuluh latihan penutup, tentukan apakah persegi panjang \(A=\{(x,y)\in\R^2\mid1\lt x\lt3,\ 0\lt y\lt1\}\) terbuka dalam \((\R^2,d_M)\text{,}\) lalu buktikan jawaban Anda. Rubrik. Hubungkan langsung syarat bola maksimum dengan dua pertidaksamaan koordinat.
Petunjuk.
Langkah 1. Untuk \(p=(x,y)\in A\text{,}\) pilih \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\text{.}\)
Langkah 2. Syarat \(\max\{|u-x|,|v-y|\}\lt r\) menyatakan bahwa kedua selisih koordinat kurang daripada \(r\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Untuk setiap \(p=(x,y)\in A\text{,}\) bola maksimum dengan radius \(\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\) termuat dalam \(A\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(p=(x,y)\in A\) dan tetapkan \(r=\min\{x-1,3-x,y,1-y\}\gt0\text{.}\) Jika \(q=(u,v)\in B_{d_M}(p,r)\text{,}\) maka
\begin{equation*} \max\{|u-x|,|v-y|\}=d_M(p,q)\lt r. \end{equation*}
Jadi \(|u-x|\lt r\) dan \(|v-y|\lt r\text{.}\) Pilihan \(r\) kemudian memberikan \(1\lt u\lt3\) serta \(0\lt v\lt1\text{.}\) Maka \(q\in A\text{,}\) sehingga \(B_{d_M}(p,r)\subseteq A\text{.}\) Karena setiap titik \(A\) mempunyai bola demikian, \(A\) terbuka dalam metrik maksimum.
Pada perintah kesebelas latihan penutup, \(S\) adalah himpunan berhingga titik-titik di \(\R^2\text{.}\) Tentukan, disertai bukti, apakah \(\R^2\setminus S\) terbuka dalam \((\R^2,d_E)\text{.}\) Rumus ini mempertahankan perbaikan sumber yang telah disetujui: komplemennya adalah \(S\text{,}\) bukan variabel \(A\) yang tidak didefinisikan. Rubrik. Untuk titik di luar \(S\text{,}\) ambil minimum dari sejumlah berhingga jarak positif; bahas pula kemungkinan \(S\) kosong.
Petunjuk.
Langkah 1. Jika \(S\neq\emptyset\) dan \(p\notin S\text{,}\) tetapkan \(r=\min\{d_E(p,s)\mid s\in S\}\text{.}\)
Langkah 2. Buktikan \(r\gt0\) dan bahwa tidak ada \(s\in S\) di dalam \(B_{d_E}(p,r)\text{.}\) Jika \(S\) kosong, komplemennya adalah seluruh ruang.
Jawaban.
Ya. Jika \(S\) tidak kosong, jarak minimum dari \(p\in\R^2\setminus S\) ke \(S\) positif dan bolanya dengan radius itu menghindari \(S\text{;}\) kasus \(S=\emptyset\) langsung.
Solusi.
Jika \(S=\emptyset\text{,}\) maka \(\R^2\setminus S=\R^2\text{,}\) yang terbuka. Andaikan sekarang \(S\neq\emptyset\) dan ambil sebarang \(p\in\R^2\setminus S\text{.}\) Untuk setiap \(s\in S\text{,}\) berlaku \(d_E(p,s)\gt0\text{.}\) Karena \(S\) berhingga dan tidak kosong, minimum
\begin{equation*} r=\min\{d_E(p,s)\mid s\in S\} \end{equation*}
ada dan positif.
Jika suatu \(s\in S\) berada dalam \(B_{d_E}(p,r)\text{,}\) maka \(d_E(p,s)\lt r\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan definisi \(r\leq d_E(p,s)\text{.}\) Jadi bola itu tidak beririsan dengan \(S\text{,}\) atau \(B_{d_E}(p,r)\subseteq\R^2\setminus S\text{.}\) Setiap titik komplemen adalah titik interior, maka komplemen tersebut terbuka.
Pada perintah kedua belas latihan penutup, untuk fungsi \(f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)\text{,}\) buktikan bahwa \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(\Int(B))\subseteq\Int(f^{-1}(B))\) untuk setiap \(B\subseteq Y\text{.}\) Rubrik. Pada arah maju gunakan bahwa \(\Int(B)\) terbuka; pada arah balik substitusikan himpunan terbuka \(O\) sebagai \(B\) dan buktikan prapetanya terbuka.
Petunjuk.
Langkah 1. Jika \(f\) kontinu, maka \(f^{-1}(\Int(B))\) adalah himpunan terbuka yang termuat dalam \(f^{-1}(B)\text{.}\)
Langkah 2. Jika inklusi diasumsikan dan \(O\) terbuka, gunakan \(\Int(O)=O\) serta \(\Int(f^{-1}(O))\subseteq f^{-1}(O)\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan bikondisional itu benar. Arah maju mengikuti sifat interior sebagai himpunan terbuka terbesar; arah balik membuat setiap prapeta himpunan terbuka sama dengan interiornya sendiri.
Solusi.
Andaikan \(f\) kontinu dan ambil sebarang \(B\subseteq Y\text{.}\) Himpunan \(\Int(B)\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) sehingga \(f^{-1}(\Int(B))\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \(\Int(B)\subseteq B\text{,}\) berlaku \(f^{-1}(\Int(B))\subseteq f^{-1}(B)\text{.}\) Setiap himpunan terbuka yang termuat dalam \(f^{-1}(B)\) termuat dalam interiornya. Maka
\begin{equation*} f^{-1}(\Int(B))\subseteq\Int(f^{-1}(B)). \end{equation*}
Sebaliknya, andaikan inklusi tersebut berlaku untuk setiap \(B\subseteq Y\text{.}\) Ambil himpunan terbuka sebarang \(O\subseteq Y\) dan pilih \(B=O\text{.}\) Karena \(\Int(O)=O\text{,}\) hipotesis memberi \(f^{-1}(O)\subseteq\Int(f^{-1}(O))\text{.}\) Inklusi sebaliknya selalu berlaku dari definisi interior, jadi \(f^{-1}(O)=\Int(f^{-1}(O))\text{.}\) Dengan hasil perintah keempat, \(f^{-1}(O)\) terbuka. Prapeta setiap himpunan terbuka terbuka, maka \(f\) kontinu.
Pada perintah ketiga belas latihan penutup, \(Q\) memuat bilangan rasional dalam bentuk paling sederhana, dengan penyebut positif, dan \(d(a/b,u/v)=\max\{|a-u|,|b-v|\}\text{.}\) Deskripsikan tepat \(B(2/5,2)\text{.}\) Rubrik. Ubah pertidaksamaan jarak menjadi dua syarat pada pembilang dan penyebut bulat, lalu sisakan hanya pasangan yang relatif prima.
Petunjuk.
Langkah 1. Syarat \(\max\{|2-u|,|5-v|\}\lt2\) memberi \(u\in\{1,2,3\}\) dan \(v\in\{4,5,6\}\text{.}\)
Langkah 2. Dari sembilan pasangan itu, coret \((2,4)\text{,}\) \((2,6)\text{,}\) dan \((3,6)\) karena pecahannya tidak dalam bentuk paling sederhana.
Jawaban.
Bola yang diminta adalah \(B(2/5,2)=\{1/4,1/5,1/6,2/5,3/4,3/5\}\text{.}\)
Solusi.
Tuliskan titik sebarang di \(Q\) sebagai \(u/v\) dalam bentuk paling sederhana dengan \(v\gt0\text{.}\) Titik itu berada dalam bola tepat ketika
\begin{equation*} \max\{|2-u|,|5-v|\}\lt2. \end{equation*}
Karena \(u\) dan \(v\) bilangan bulat, syarat ini ekuivalen dengan \(u\in\{1,2,3\}\) dan \(v\in\{4,5,6\}\text{.}\) Ada sembilan pasangan kandidat.
Pasangan \((2,4)\text{,}\) \((2,6)\text{,}\) dan \((3,6)\) tidak relatif prima, sehingga bukan representasi paling sederhana dan bukan titik \(Q\) dalam koordinat yang mendefinisikan metrik ini. Enam pasangan lainnya relatif prima. Oleh karena itu
\begin{equation*} B(2/5,2)= \left\{\frac14,\frac15,\frac16,\frac25,\frac34,\frac35\right\}. \end{equation*}
Misalnya, pecahan \(2/4\) tidak boleh dimasukkan sebagai nama lain bagi \(1/2\text{;}\) bentuk kanonis \(1/2\) justru mempunyai jarak \(\max\{|2-1|,|5-2|\}=3\) dari \(2/5\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>