Bagian Panduan untuk kegiatan pendahuluan
Tentukan apakah setiap himpunan bagian dari \(\R\) mempunyai batas bawah, lalu benarkan jawaban dengan contoh atau argumen umum. Rubrik: gunakan definisi batas bawah dan, jika jawabannya negatif, berikan satu himpunan bagian yang tidak terbatas di bawah.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Carilah himpunan yang, untuk setiap calon batas bawah \(b\text{,}\) masih memuat suatu bilangan yang lebih kecil daripada \(b\text{.}\)
Tidak. Sebagai contoh, \(\R\) sendiri tidak mempunyai batas bawah.
Andaikan \(b\in\R\) merupakan batas bawah untuk \(\R\text{.}\) Menurut definisi, harus berlaku \(b\leq x\) untuk setiap \(x\in\R\text{.}\) Akan tetapi, bilangan \(b-1\) juga anggota \(\R\) dan memenuhi \(b-1<b\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan syarat bahwa \(b\) adalah batas bawah. Jadi \(\R\) tidak mempunyai batas bawah, sehingga tidak setiap himpunan bagian dari \(\R\) terbatas di bawah.
Pemeriksaan E.2. Tugas 2: pertidaksamaan kuadrat.
Untuk \(S=\{x\in\R\mid 3x^2-12x+3<0\}\text{,}\) tentukan apakah \(S\) terbatas di bawah dan, jika demikian, tentukan infimumnya. Rubrik: selesaikan pertidaksamaan, nyatakan himpunannya sebagai interval, dan jelaskan mengapa titik ujung bawah adalah batas bawah terbesarnya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Langkah 1. Bagilah pertidaksamaan dengan \(3\) dan tentukan akar-akar \(x^2-4x+1\text{.}\)
Langkah 2. Karena koefisien \(x^2\) positif, polinom bernilai negatif tepat di antara kedua akarnya.
\(S=(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})\text{;}\) himpunan ini terbatas di bawah dan \(\inf S=2-\sqrt{3}\text{.}\)
Karena \(3>0\text{,}\) pertidaksamaan semula setara dengan \(x^2-4x+1<0\text{.}\) Akar-akarnya adalah
\begin{equation*}
x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
\end{equation*}
Parabola membuka ke atas, sehingga nilainya negatif tepat untuk \(2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}\text{.}\) Jadi \(S=(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})\text{.}\)
Setiap anggota \(S\) lebih besar daripada \(2-\sqrt{3}\text{,}\) maka \(2-\sqrt{3}\) adalah batas bawah. Jika \(k>2-\sqrt{3}\text{,}\) pilih \(x\) di antara \(2-\sqrt{3}\) dan \(\min\{k,2+\sqrt{3}\}\text{;}\) maka \(x\in S\) tetapi \(x<k\text{,}\) sehingga \(k\) bukan batas bawah. Dengan demikian \(\inf S=2-\sqrt{3}\text{,}\) meskipun titik itu tidak termasuk dalam \(S\) karena pertidaksamaannya ketat.
Pemeriksaan E.3. Tugas 3: citra fungsi kubik.
Untuk \(S=\{3x^3-1\mid x\in\R\}\text{,}\) tentukan apakah \(S\) terbatas di bawah dan apakah \(S\) mempunyai infimum di \(\R\text{.}\) Rubrik: tentukan citra fungsi kubik tersebut, bukan hanya beberapa nilainya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk sembarang \(y\in\R\text{,}\) coba selesaikan persamaan \(3x^3-1=y\) terhadap \(x\text{.}\)
\(S=\R\text{.}\) Karena itu \(S\) tidak terbatas di bawah dan tidak mempunyai infimum yang merupakan bilangan real.
Ambil sembarang \(y\in\R\) dan tetapkan \(x=\sqrt[3]{(y+1)/3}\text{.}\) Bilangan \(x\) ini real dan memenuhi \(3x^3-1=y\text{.}\) Jadi setiap bilangan real merupakan anggota \(S\text{,}\) sedangkan berdasarkan definisinya \(S\subseteq\R\text{;}\) maka \(S=\R\text{.}\) Untuk setiap calon batas bawah \(b\in\R\text{,}\) bilangan \(b-1\in S\) lebih kecil daripada \(b\text{.}\) Jadi \(S\) tidak terbatas di bawah dan tidak mempunyai infimum di \(\R\text{.}\)
Pemeriksaan E.4. Tugas 4: jumlah dua perpangkatan.
Dengan konvensi \(\Z^+=\{1,2,3,\ldots\}\text{,}\) tentukan apakah \(S=\{2^r+3^s\mid r,s\in\Z^+\}\) terbatas di bawah dan tentukan infimumnya. Rubrik: buktikan satu batas bawah berlaku untuk semua pasangan eksponen dan periksa apakah batas itu dicapai.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Karena eksponen positif terkecil adalah \(1\text{,}\) bandingkan \(2^r\) dengan \(2^1\) dan \(3^s\) dengan \(3^1\text{.}\)
Himpunan \(S\) terbatas di bawah dan \(\inf S=5\text{;}\) bahkan \(5\) adalah nilai minimumnya.
Untuk \(r,s\in\Z^+\) menurut konvensi yang dinyatakan, berlaku \(r\geq1\) dan \(s\geq1\text{.}\) Karena perpangkatan dengan basis lebih besar daripada satu meningkat terhadap eksponennya, \(2^r\geq2\) dan \(3^s\geq3\text{.}\) Akibatnya \(2^r+3^s\geq5\) untuk setiap anggota \(S\text{,}\) sehingga \(5\) adalah batas bawah.
Dengan memilih \(r=s=1\text{,}\) kita memperoleh \(2^1+3^1=5\in S\text{.}\) Tidak ada batas bawah yang lebih besar daripada suatu anggota himpunan, khususnya daripada \(5\text{.}\) Oleh sebab itu \(5\) adalah batas bawah terbesar, minimum, dan infimum \(S\text{.}\)
Pemeriksaan E.5. Tugas 5: batas atas terkecil.
Rumuskan definisi batas atas terkecil untuk suatu himpunan bagian \(S\) dari \(\R\text{.}\) Rubrik: nyatakan baik syarat menjadi batas atas maupun syarat bahwa batas atas tersebut tidak melebihi batas atas lain mana pun.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Balik arah pertidaksamaan dalam dua butir definisi batas bawah terbesar: anggota \(S\) berada di bawah calon batas, dan calon itu berada di bawah setiap batas atas lainnya.
Untuk \(S\neq\varnothing\) yang terbatas di atas, bilangan \(M\in\R\) adalah batas atas terkecil jika \(s\leq M\) untuk setiap \(s\in S\) dan \(M\leq U\) untuk setiap batas atas \(U\) dari \(S\text{.}\) Bilangan ini disebut supremum \(S\) dan ditulis \(\sup S\text{.}\)
Misalkan \(S\) adalah himpunan bagian tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di atas. Bilangan \(M\in\R\) disebut batas atas terkecil dari \(S\) apabila memenuhi dua syarat berikut.
- \(s\leq M\) untuk setiap \(s\in S\text{,}\) sehingga \(M\) adalah batas atas \(S\text{;}\)
- jika \(U\) adalah batas atas \(S\text{,}\) maka \(M\leq U\text{.}\)
Syarat kedua menyatakan bahwa tidak ada batas atas yang lebih kecil daripada \(M\text{.}\) Bilangan tersebut juga disebut supremum, dan dinotasikan dengan \(\sup S\text{.}\) Aksioma kelengkapan bilangan real menjamin keberadaannya bagi setiap himpunan bagian tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di atas.
