Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Untuk vektor tak nol \(v\in\R^3\text{,}\) garisnya adalah \(L_v=\{tv:t\in\R\}\text{.}\) Normalisasi memberi \(u=v/\lVert v\rVert\in S^2\text{.}\) Titik potong garis dengan \(S^2\) tepat \(u\) dan \(-u\text{.}\) Jika \(w=kv\) dengan \(k\ne0\text{,}\) normalisasi \(w\) menghasilkan \(u\) atau \(-u\text{;}\) jadi kelas antipodal tidak bergantung pada vektor pembangkit garis.

Sebaliknya, kelas \([u]=\{u,-u\}\) menentukan garis \(\R u\text{.}\) Kedua konstruksi saling invers. Pemetaan normalisasi dari \(\R^3\setminus\{0\}\) ke \(S^2\) kontinu dan menghormati kelas skalar, sehingga turun ke pemetaan kontinu pada kuosien. Konstruksi invers juga berasal dari pemetaan kuosien \(u\mapsto\R u\text{.}\) Maka korespondensi bijektif tersebut adalah homeomorfisme.

Jika \((x,y,z)\in S^2\) dan \(z\ne0\text{,}\) tepat satu dari titik itu dan antipodalnya mempunyai koordinat \(z>0\text{.}\) Jadi setiap kelas antipodal yang tidak menyentuh ekuator mempunyai tepat satu wakil di interior hemisfer atas. Jika \(z=0\text{,}\) kedua wakil berada pada ekuator dan tetap harus diidentifikasi.

Proyeksi \((x,y,z)\mapsto(x,y)\) memetakan hemisfer atas tertutup homeomorfik ke \(D^2\text{.}\) Ekuator menjadi \(\partial D^2\text{,}\) dan pasangan \((x,y,0)\) serta \((-x,-y,0)\) menjadi pasangan antipodal pada batas. Selanjutnya pilih empat titik batas yang membagi lingkaran menjadi empat busur dan deformasi cakram menjadi persegi. Antipodalitas memasangkan setiap busur dengan busur berhadapan, tetapi parameter sepanjang busur berjalan terbalik. Maka modelnya adalah persegi dengan kedua pasangan sisi berhadapan direkatkan dalam arah berlawanan.

Potongan diagonal tidak mengubah topologi pita: melalui deformasi di dalam persegi, daerah berarsir dapat diluruskan menjadi \([0,1]\times[-\varepsilon,\varepsilon]\text{.}\) Kedua ujung pendeknya berasal dari bagian sisi berhadapan pada model persegi bidang proyektif. Anak panah identifikasi menunjukkan bahwa \((0,t)\) dipasangkan dengan \((1,-t)\text{,}\) bukan dengan \((1,t)\text{.}\) Kuosien persegi panjang menurut \((0,t)\sim(1,-t)\) tepat pita Möbius. Sisi panjang pita tidak direkatkan satu sama lain dan menjadi satu komponen batas pita Möbius.

Peta \(f\) pada gambar memindahkan salah satu komponen poligonal melalui translasi dan rotasi, lalu menyambungkannya pada sisi yang mempunyai label dan arah identifikasi sama. Operasi ini adalah pemotongan sepanjang ruas dan perekatan kembali menurut peta linear, sehingga menghasilkan ruang homeomorfik dengan \(S\text{.}\) Peta \(g\) kemudian meluruskan sisi-sisi luar dan menggunakan pasangan \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\) untuk menutup sambungan yang bukan bagian dari potongan pita. Hasil akhirnya adalah satu cakram.

Dua sisi potongan yang berlabel \(x\) dan \(y\) bersama-sama menjadi lingkaran batas cakram. Pada sisi lain, kedua sisi panjang pita persegi panjang menjadi satu lingkaran batas setelah ujung pendeknya direkatkan berlawanan arah. Kedua lingkaran inilah bekas antarmuka pemotongan. Merekatkannya kembali dengan korespondensi asal merekonstruksi model persegi \(\mathbb{R}P^2\text{.}\) Jadi bidang proyektif adalah gabungan sebuah pita Möbius dan sebuah cakram yang direkatkan sepanjang batasnya.

Pemetaan koordinat \(\pi_1(x,y)=x\) dan \(\pi_2(x,y)=y\) kontinu. Fungsi kuadrat pada \(\R\) kontinu, dan jumlah fungsi kontinu kontinu. Maka \(f=\pi_1^2+\pi_2^2\) kontinu sebagai fungsi ke \(\R\) dan juga sebagai fungsi ke subruang \(Y=[0,\infty)\text{,}\) sebab citranya berada dalam \(Y\text{.}\) Jika \(t\in Y\text{,}\) akar \(\sqrt t\) terdefinisi dan \(f(\sqrt t,0)=t\text{.}\) Jadi setiap titik kodomain mempunyai prapeta.

Kelas ekuivalensi tepat serat-serat \(f\text{,}\) sehingga rumus \(\bar f([(x,y)])=f(x,y)\) terdefinisi dengan baik. Surjektivitas \(f\) membuat \(\bar f\) surjektif, sedangkan kesamaan nilai \(\bar f\) berarti kedua kelas berasal dari serat yang sama; jadi \(\bar f\) injektif.

Tinggal membuktikan \(f\) terbuka. Ambil himpunan terbuka \(U\subseteq\R^2\) dan titik \(z=f(x_0,y_0)\in f(U)\text{.}\) Pilih bola kecil di sekitar \((x_0,y_0)\) yang termuat dalam \(U\text{.}\) Jika \((x_0,y_0)\ne(0,0)\text{,}\) ruas radial kecil di dalam bola itu menghasilkan selang terbuka di sekitar \(z\text{.}\) Jika titiknya asal, bola berjari-jari \(\varepsilon\) menghasilkan \([0,\varepsilon^2)\text{,}\) yang terbuka relatif dalam \([0,\infty)\text{.}\) Jadi \(f(U)\) terbuka relatif dan \(f\) pemetaan terbuka, maka pemetaan kuosien.

Jika \(q:\R^2\to X^*\) proyeksi kanonis, maka \(f=\bar f\circ q\text{.}\) Sifat universal kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{.}\) Untuk \(W\) terbuka dalam \(X^*\text{,}\) \(q^{-1}(W)\) terbuka dan \(\bar f(W)=f(q^{-1}(W))\) terbuka. Jadi \(\bar f\) bijektif, kontinu, dan terbuka; karena itu homeomorfisme.

Karena \(X\) tak kosong, pilih \(a\in X\text{.}\) Subruang \(\{a\}\) mempunyai satu-satunya topologi \(\{\emptyset,\{a\}\}\text{.}\) Fungsi \(r:X\to\{a\}\) yang didefinisikan oleh \(r(x)=a\) kontinu: prapeta himpunan terbuka hanya \(\emptyset\) atau \(X\text{.}\) Selain itu, pembatasan \(r\) pada \(\{a\}\) adalah identitas karena \(r(a)=a\text{.}\) Maka \(r\) retraksi dan \(\{a\}\) retrak dari \(X\text{.}\)

Karena \(r(a)=a\) untuk semua \(a\in A\text{,}\) fungsi \(r\) surjektif. Kekontinuannya merupakan bagian definisi retraksi. Jadi jika \(U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) maka \(r^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)

Definisikan \(F=i\circ r:X\to X\text{.}\) Jika \(a\in A\text{,}\) maka \(F(a)=i(r(a))=a\text{.}\) Sebaliknya, jika \(F(x)=x\text{,}\) maka \(x=i(r(x))\) berada dalam \(A\text{.}\) Jadi himpunan titik tetap \(F\) tepat \(A\text{.}\)