Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Ringkasan

Gagasan penting yang telah kita bahas dalam bab ini antara lain sebagai berikut.
  • Metrik pada suatu ruang \(X\) adalah fungsi yang mengukur jarak antara unsur-unsur ruang tersebut. Secara lebih formal, metrik pada ruang \(X\) adalah fungsi \(d: X \times X \to \R^+ \cup \{0\}\) sedemikian sehingga
    1. \(d(x,y) \geq 0\) untuk setiap \(x,y \in X\text{,}\)
    2. \(d(x,y) = 0\) jika dan hanya jika \(x = y\) di dalam \(X\text{,}\)
    3. \(d(x,y) = d(y,x)\) untuk setiap \(x, y \in X\text{,}\) dan
    4. \(d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)\) untuk setiap \(x,y,z \in X\text{.}\)
    Ruang metrik adalah suatu ruang beserta metrik yang didefinisikan pada ruang tersebut.
  • Metrik Euklides, metrik taksi, dan metrik maksimum semuanya merupakan metrik pada \(\R^n\text{,}\) sehingga ketiganya memberikan cara untuk mengukur jarak antara titik-titik di \(\R^n\text{.}\) Ketiga metrik ini berbeda dalam cara mendefinisikan jarak.
    • Metrik Euklides adalah metrik standar yang telah kita gunakan sepanjang pengalaman kita mempelajari matematika. Untuk unsur \(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) di \(\R^n\text{,}\) metrik Euklides \(d_E\) didefinisikan oleh
      \begin{align*} d_E(x,y) \amp = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2}\\ \amp = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\text{.} \end{align*}
      Dengan metrik ini, lingkaran satuan di \(\R^2\) (himpunan titik yang berjarak \(1\) dari titik asal) adalah lingkaran satuan standar yang kita kenal dari geometri Euklides.
    • Metrik taksi \(d_T\) didefinisikan oleh
      \begin{align*} d_T(x,y) \amp = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n|\\ \amp = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\text{.} \end{align*}
      Lingkaran satuan di \(\R^2\) dengan metrik taksi, apabila dilihat dalam geometri Euklides, adalah persegi dengan titik sudut \((1,0)\text{,}\) \((0,1)\text{,}\) \((-1,0)\text{,}\) dan \((0,-1)\text{.}\)
    • Metrik maksimum \(d_M\) didefinisikan oleh
      \begin{align*} d_M(x,y) \amp = \max\{| x_1-y_1 |, | x_2-y_2 |, |x_3-y_3|, \ldots, |x_n-y_n| \}\\ \amp = \max_{1 \leq i \leq n} \{|x_i-y_i|\}\text{.} \end{align*}
      Dengan metrik maksimum, lingkaran satuan di \(\R^2\text{,}\) apabila dilihat dalam geometri Euklides, adalah persegi dengan titik sudut \((1,1)\text{,}\) \((-1,1)\text{,}\) \((-1,-1)\text{,}\) dan \((1,-1)\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>