Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Dua titik biasa yang berbeda dapat dipisahkan oleh bola Euklides kecil yang saling lepas dan tidak berpusat di titik asal. Titik \(0\) dan \(0^*\) dipisahkan oleh \(N(0,r)\) dan \(N(0^*,s)\text{,}\) sebab yang pertama hanya memuat titik planar dengan \(y\gt0\) beserta \(0\text{,}\) sedangkan yang kedua hanya memuat titik planar dengan \(y\lt0\) beserta \(0^*\text{.}\)

Tinggal pasangan satu titik asal dan titik biasa \(q\in\R^2\setminus\{0\}\text{.}\) Tetapkan \(\delta=\|q\|\gt0\text{.}\) Pilih \(r\) dengan \(1/r\lt\delta/3\text{.}\) Bola Euklides \(B(q,\delta/3)\) terpisah dari cakram berjari-jari \(1/r\) di sekitar \(0\text{,}\) sehingga terpisah dari \(N(0,r)\text{;}\) argumen yang sama memakai \(N(0^*,r)\) untuk \(0^*\text{.}\) Semua pasangan titik berbeda mempunyai lingkungan terbuka saling lepas, jadi ruang itu Hausdorff.

Untuk \(a=(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\text{,}\) definisikan \(f_a(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2\text{.}\) Karena bekerja di atas \(\R\text{,}\) berlaku \(f_a(x)=0\) jika dan hanya jika \(x_i=a_i\) untuk setiap \(i\text{.}\) Jadi \(Z(f_a)=\{a\}\text{,}\) sehingga setiap himpunan beranggota tunggal merupakan himpunan tertutup Zariski. Jika \(F=\{a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\}\text{,}\) maka \(F\) adalah gabungan berhingga himpunan-himpunan beranggota tunggal yang tertutup dan karena itu tertutup. Himpunan kosong juga tertutup, misalnya sebagai \(Z(1)=\emptyset\text{.}\)

Ambil himpunan terbuka Zariski tak kosong \(U,V\text{.}\) Masing-masing memuat unsur basis tak kosong, katakan \(D(f)\subseteq U\) dan \(D(g)\subseteq V\text{.}\) Karena kedua unsur basis tak kosong, \(f\) dan \(g\) bukan polinom nol. Gelanggang polinom \(\R[x_1,\ldots,x_n]\) merupakan daerah integral, sehingga \(fg\) bukan polinom nol. Polinom real bukan nol tidak lenyap di seluruh \(\R^n\text{;}\) akibatnya \(D(fg)\) tak kosong. Karena \(D(fg)=D(f)\cap D(g)\text{,}\) diperoleh \(U\cap V\neq\emptyset\text{.}\)

Untuk \(n\geq1\text{,}\) ruang \(\R^n\) mempunyai dua titik berbeda. Jika ruang itu Hausdorff, kedua titik tersebut mempunyai lingkungan terbuka tak kosong yang saling lepas, bertentangan dengan hasil di atas. Jadi ruang Zariski ini bukan Hausdorff.

Setiap titik ganjil \(n\) mempunyai lingkungan terbuka \(\{n\}\text{,}\) sehingga tidak ada titik ganjil yang menjadi titik limit \(A\text{.}\) Untuk titik genap, lingkungan basis minimalnya adalah \(B(n)\text{.}\) Himpunan ini bertemu \(A\setminus\{n\}\) tepat untuk \(n=-2,0,2\text{:}\) pada \(-2\) pertemuannya memuat \(-1\text{,}\) pada \(0\) memuat \(-1\) dan \(1\text{,}\) dan pada \(2\) memuat \(1\text{.}\) Jadi titik limitnya adalah \(\{-2,0,2\}\text{.}\)

Untuk menjadi titik batas, lingkungan minimal harus bertemu \(A\) dan \(A^c\text{.}\) Himpunan \(B(-2)\) dan \(B(2)\) memenuhi kedua syarat. Sebaliknya, \(B(0)=A\) tidak bertemu \(A^c\text{,}\) sedangkan himpunan beranggota tunggal di \(-1\) dan \(1\) juga termuat dalam \(A\text{;}\) semua lingkungan minimal lainnya tidak bertemu \(A\text{.}\) Maka \(\Bdry(A)=\{-2,2\}\text{.}\) Titik \(0\) menyangkal implikasi dari titik limit ke titik batas, sedangkan kedua titik batas yang ada memang titik limit.

Titik \(A\) tentu berada dalam penutupannya. Di luar \(A\text{,}\) tepat \(-2\) dan \(2\) yang setiap lingkungan basisnya bertemu \(A\text{.}\) Jadi \(\overline{A}=\{-2,-1,0,1,2\}\text{.}\) Komplemennya adalah semua bilangan bulat dengan nilai mutlak sedikitnya \(3\text{.}\) Untuk \(|k|\geq2\text{,}\) himpunan basis \(B(2k)=\{2k-1,2k,2k+1\}\) termuat dalam komplemen. Sebaliknya, setiap bilangan bulat bernilai mutlak sedikitnya \(3\) berada dalam salah satu himpunan tersebut. Karena setiap \(B(2k)\) terbuka, formula gabungan pada jawaban juga membuktikan bahwa komplemen penutupan terbuka.

Titik ganjil mempunyai lingkungan beranggota tunggal, jadi bukan titik limit \(B\text{.}\) Untuk titik genap \(n\neq0\text{,}\) himpunan \(B(n)=\{n-1,n,n+1\}\) tidak memuat \(0\text{;}\) untuk \(n=0\text{,}\) tidak mungkin ada pertemuan dengan \(B\setminus\{0\}=\emptyset\text{.}\) Jadi \(B\) tidak mempunyai titik limit.

Lingkungan minimal \(B(0)=\{-1,0,1\}\) bertemu \(B\) di \(0\) dan bertemu \(B^c\) di \(-1,1\text{,}\) sehingga \(0\in\Bdry(B)\text{.}\) Setiap titik lain mempunyai lingkungan basis yang tidak memuat \(0\text{,}\) sehingga bukan titik batas. Maka \(\Bdry(B)=\{0\}\text{,}\) yang memberi kedua jawaban implikasi tersebut.

Titik \(0\) berada dalam penutupan \(B\text{.}\) Jika \(n\) ganjil, lingkungan terbuka \(\{n\}\) tidak bertemu \(B\text{.}\) Jika \(n\) genap dan tak nol, maka \(|n|\geq2\) dan \(B(n)=\{n-1,n,n+1\}\) juga tidak memuat \(0\text{.}\) Jadi setiap titik selain \(0\) mempunyai lingkungan terbuka yang menghindari \(B\text{,}\) sehingga \(\overline{B}=\{0\}\text{.}\) Gabungan pada jawaban memuat tepat semua titik ganjil dan semua titik genap tak nol; setiap sukunya merupakan unsur terbuka, sehingga merupakan penyajian terbuka dari komplemen.

Misalkan \(C\) tertutup dan \(x\notin C\text{.}\) Jika \(C\) kosong, pemisahan langsung. Jika tidak, tetapkan \(\delta=d(x,C)\gt0\text{.}\) Definisikan \(U=B(x,\delta/3)\) dan \(V=\bigcup_{c\in C}B(c,\delta/3)\text{.}\) Keduanya terbuka, \(x\in U\text{,}\) dan \(C\subseteq V\text{.}\) Jika \(z\in U\cap V\text{,}\) ada \(c\in C\) dengan \(d(z,c)\lt\delta/3\text{,}\) sehingga \(d(x,c)\leq d(x,z)+d(z,c)\lt2\delta/3\text{.}\) Ini bertentangan dengan \(\delta\leq d(x,c)\text{.}\) Maka \(U\cap V=\emptyset\text{.}\)

Selain itu, setiap himpunan beranggota tunggal bersifat tertutup dalam ruang metrik: untuk \(y\neq x\text{,}\) bola \(B(y,d(x,y)/2)\) menghindari \(x\text{,}\) sehingga \(X\setminus\{x\}\) terbuka. Jadi pembuktian memenuhi pula konvensi bahwa ruang reguler harus bersifat \(T_1\text{.}\)

Basis \(\tau_K\) memuat semua interval terbuka biasa, sehingga \(\tau_K\) lebih halus daripada topologi Euklides. Untuk \(x\neq y\text{,}\) pilih interval Euklides terbuka saling lepas \(U\) dan \(V\) yang masing-masing memuat \(x\) dan \(y\text{.}\) Kedua interval itu juga terbuka dalam \(\tau_K\text{.}\) Jadi pasangan titik berbeda dapat dipisahkan dalam topologi \(\tau_K\text{,}\) dan ruang tersebut Hausdorff.