Diperkenalkan oleh Felix Hausdorff pada awal abad ke-20 sebagai cara untuk mengukur jarak antara himpunan, metrik Hausdorff (juga disebut metrik Pompeiu-Hausdorff) sejak saat itu telah dipelajari secara luas dan memiliki banyak penerapan. Sebagai contoh, militer Amerika Serikat telah menggunakan jarak Hausdorff dalam prosedur pengenalan sasaran. Selain itu, metrik Hausdorff telah digunakan dalam pencocokan citra dan pengenalan visual oleh robot, kedokteran, analisis citra, dan astronomi.
Gagasan dasar dalam penerapan-penerapan ini adalah bahwa kita memerlukan suatu cara untuk membandingkan dua bentuk. Sebagai contoh, jika sebuah produsen perlu mengerjakan suatu produk tertentu dengan mesin berdasarkan sebuah templat, biasanya terdapat toleransi tertentu yang diperbolehkan. Jadi, produsen tersebut memerlukan suatu cara untuk membandingkan komponen-komponen hasil pengerjaan mesin dengan templat guna menentukan apakah toleransi tersebut telah dipenuhi atau dilampaui.
Metrik Hausdorff juga dikenal oleh para penggemar fraktal karena digunakan untuk mendeskripsikan kekonvergenan barisan himpunan kompak menuju atraktornya dalam sistem fungsi teriterasi. Beragamnya penerapan metrik ini menjadikannya layak untuk dipelajari.
Untuk mendefinisikan metrik Hausdorff, kita mulai dengan jarak dari sebuah titik \(x\) dalam ruang metrik \(X\) ke sebuah subhimpunan \(A\) dari \(X\text{,}\) yaitu
\begin{equation*}
d(x,A) = \inf\{d(x,a) \mid a \in A\}\text{.}
\end{equation*}
Karena citra akan direpresentasikan sebagai himpunan kompak, kita membatasi pembahasan pada subhimpunan kompak dari suatu ruang metrik. Dalam kasus ini, infimum menjadi minimum dan kita memperoleh
\begin{equation*}
d(x,A) = \min\{d(x,a) \mid a \in A\}\text{.}
\end{equation*}
Sekarang kita memperluas gagasan tersebut untuk mendefinisikan jarak dari satu subhimpunan \(X\) ke subhimpunan lainnya. Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah subhimpunan kompak tak kosong dari \(X\text{.}\) Untuk mencari jarak dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\text{,}\) tampaknya masuk akal untuk mempertimbangkan seberapa jauh setiap titik di \(A\) dari himpunan \(B\text{.}\) Dengan demikian, jarak dari \(A\) ke \(B\) seharusnya mengukur seberapa jauh kita harus bergerak dari sebarang titik di \(A\) untuk mencapai \(B\text{.}\)
Definisi17.15.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik dan misalkan \(A\) dan \(B\) adalah subhimpunan kompak tak kosong dari \(X\text{.}\) Maka jarak \(d(A,B)\) dari \(A\) ke \(B\) adalah
Catatan: karena \(A\) dan \(B\) kompak, \(d(A,B)\) dijamin ada.
Kegiatan17.8.
(a)
Salah satu masalah pada \(d\) sebagaimana dalam Definisi 17.15 adalah bahwa \(d\) tidak simetris. Carilah contoh subhimpunan kompak \(A\) dan \(B\) dari \(\R^n\) dengan metrik Euklides sedemikian sehingga \(d(A,B) \neq d(B,A)\text{.}\)
Meskipun fungsi \(d\) dalam Definisi 17.15 bukan suatu metrik, kita dapat mendefinisikan jarak Hausdorff dalam kaitannya dengan \(d\) sebagai berikut.
Definisi17.16.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik dan \(A\) serta \(B\) adalah subhimpunan kompak tak kosong dari \(X\text{.}\) Maka jarak Hausdorff antara \(A\) dan \(B\) adalah
Misalkan \(A\) adalah lingkaran di \(\R^2\) yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 1, misalkan \(B\) adalah persegi yang tersisip di dalamnya, dan misalkan \(C = \{(1,0), (-1,0)\}\) sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 17.17.
Gambar17.17.Himpunan \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(C\text{.}\)
Tentukan \(h(A,B)\text{,}\)\(h(A,C)\text{,}\) dan \(h(B,C)\text{,}\) serta verifikasikan bahwa \(h(A,C) \leq h(A,B) + h(B,C)\text{.}\)
Mungkin mengejutkan bahwa \(h\) sebagaimana dalam Definisi 17.16 ternyata benar-benar merupakan suatu metrik, tetapi memang demikian. Ruang yang mendasarinya adalah koleksi subhimpunan kompak tak kosong dari \(X\) yang kita nyatakan dengan \(\mathcal{H}(X)\text{.}\) Teorema berikut merangkum fakta tersebut.
Teorema17.18.
Misalkan \(X\) adalah ruang metrik. Fungsi jarak Hausdorff adalah suatu metrik pada \(\mathcal{H}(X)\text{.}\)
Kegiatan17.10.
(a)
Buktikan teorema di atas.
(b)
Salah satu penerapan menarik dari metrik Hausdorff terdapat dalam geometri fraktal. Anda mungkin mengenal objek seperti segitiga Sierpinski atau kurva Koch. Objek-objek ini merupakan limit dari barisan himpunan dalam \(\mathcal{H}(\R^2)\text{.}\) Kita mengilustrasikannya dengan segitiga Sierpinski. Mulailah dengan tiga titik \(v_1\text{,}\)\(v_2\text{,}\) dan \(v_3\) yang membentuk simpul-simpul sebuah segitiga sama sisi \(S_0\text{.}\) Untuk \(i\)=1,2, atau 3, misalkan \(v_i = \begin{bmatrix}a_i \\ b_i \end{bmatrix}\text{.}\) Untuk \(i\)=1,2, atau 3, kita mendefinisikan \(\omega_i : \R^2 \to \R^2\) dengan
Maka \(\omega_i\text{,}\) ketika diterapkan pada \(S_0\text{,}\) memperkecil \(S_0\) dengan faktor 1/2 dan kemudian mentranslasikan citra \(S_0\) sehingga simpul \(i^{\text{ ke- } }\) dari \(S_0\) berimpit dengan simpul ke-\(i\) dari citra \(S_0\text{.}\) Pemetaan semacam itu disebut pemetaan kontraksi dengan faktor kontraksi sebesar \(\frac{1}{2}\text{.}\) Definisikan \(S_{1,i}\) sebagai \(\omega_i(S_0)\text{.}\) Maka \(S_{1,i}\) adalah himpunan semua titik yang berada di pertengahan antara sebarang titik dalam \(S_0\) dan \(v_i\text{,}\) atau \(S_{1,i}\) adalah sebuah segitiga yang berukuran setengah dari segitiga semula dan ditranslasikan ke simpul \(i^{\text{ ke- } }\) dari segitiga semula. Misalkan \(S_1 = \bigcup_{i=1}^3 S_{1,i}\text{.}\) Baik \(S_0\) maupun \(S_1\) ditunjukkan dalam Gambar 17.19. Kita dapat melanjutkan prosedur ini dengan mengganti \(S_0\) dengan \(S_1\text{.}\) Dengan kata lain, untuk \(i\) = 1, 2, dan 3, misalkan \(S_{2,i} = \omega_i(S_1)\text{.}\) Kemudian misalkan \(S_2 = \bigcup_{i=1}^3 S_{2,i}\text{.}\) Gambar \(S_2\) ditunjukkan dalam Gambar 17.19. Kita dapat melanjutkan prosedur ini, dengan mengganti \(S_{j-1}\) dengan \(S_j\) setiap kalinya. Gambar \(S_8\) ditunjukkan dalam Gambar 17.19.
\begin{equation*}
S_0
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_1
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_2
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_8
\end{equation*}
Gambar17.19.\(S_i\) untuk \(i\) sama dengan 0, 1, 2, dan 8.
Untuk melanjutkan proses ini, kita perlu mengambil suatu limit. Namun, \(S_i\) adalah himpunan dalam \(\mathcal{H}(\R^2)\text{,}\) sehingga limit tersebut diambil terhadap metrik Hausdorff.
(i)
Asumsikan panjang sisi \(S_0\) adalah \(1\text{.}\) Tentukan \(h(S_0,S_1)\text{.}\) Kemudian carilah \(h(S_k, S_{k+1})\) untuk sebarang bilangan bulat positif \(k\text{.}\)
(ii)
Segitiga Sierpinski akan ada jika barisan \((S_n)\) konvergen ke suatu himpunan \(S\) (yang akan menjadi segitiga Sierpinski). Pertanyaan mengenai kekonvergenan ini bukanlah pertanyaan yang sederhana.
(A)
Perhatikan barisan \((a_n)\text{,}\) dengan \(a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) untuk \(n \in \Z^+\text{.}\) Perhatikan bahwa setiap \(a_n\) adalah bilangan rasional. Jelaskan mengapa suku-suku dalam barisan ini menjadi sedekat yang diinginkan satu sama lain, tetapi barisan tersebut tidak konvergen dalam \(\Q\text{.}\) Jelaskan mengapa barisan \((a_n)\) konvergen dalam \(\R\text{.}\)
(B)
Suatu barisan \((x_n)\) dalam ruang metrik \((X,d)\) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap \(\epsilon \gt 0\) terdapat \(N \in \Z^+\) sedemikian sehingga \(d(x_n, x_m) \lt \epsilon\) setiap kali \(n, m \geq N\text{.}\) Setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy. Ruang metrik \(X\) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam \(X\) konvergen ke suatu elemen dalam \(X\text{.}\) Sebagai contoh, \((\R, d_E)\) lengkap, sedangkan \((\Q, d_E)\) tidak lengkap. Meskipun kita tidak akan membuktikannya, ruang metrik \((\mathcal{H}(\R^2), h)\) lengkap. Tunjukkan bahwa barisan \((S_n)\) merupakan barisan Cauchy dalam \(\mathcal{H}(\R^2)\text{.}\) Limit barisan ini adalah segitiga Sierpinski yang terkenal. Gambar \(S_8\) dalam Gambar 17.19 merupakan pendekatan yang dekat terhadap segitiga Sierpinski.
