Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Setelah mendefinisikan himpunan terbuka di ruang metrik, wajar jika kita bertanya apakah terdapat himpunan tertutup. Ingat bahwa interval tertutup penting dalam kalkulus karena setiap fungsi kontinu pada interval tertutup mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada interval tersebut. Jika terdapat himpunan tertutup di ruang metrik, kita dapat menanyakan apakah ada hasil serupa bagi fungsi kontinu pada himpunan tertutup. Pada bagian ini kita memperkenalkan gagasan himpunan tertutup di ruang metrik dan menemukan beberapa sifatnya.

Setiap interval berbentuk \([a,b]\) dalam \(\R\) merupakan himpunan tertutup terhadap metrik Euklides. Yang membedakan interval-interval tertutup ini dari interval terbuka adalah bahwa interval terbuka tidak memuat satu pun titik ujungnya — hal inilah yang menjadikan interval terbuka suatu lingkungan bagi setiap titiknya. Secara umum, himpunan terbuka bersifat terbuka karena tidak memuat batasnya. Jika suatu himpunan terbuka tidak memuat batasnya, maka sebagai kebalikannya, komplemennya semestinya memuat batas tersebut. Hal ini mengantarkan kita pada definisi himpunan tertutup.

Kita mengatakan bahwa himpunan terbuka bersifat terbuka karena tidak memuat batasnya dan himpunan tertutup bersifat tertutup karena memuat batasnya. Namun, kita belum mendefinisikan apa yang dimaksud dengan batas. Titik \(a\) pada “batas” interval terbuka berbentuk \(O=(a,b)\) dalam \(\R\) dengan metrik Euklides memiliki sifat bahwa setiap bola terbuka yang memuat \(a\) juga memuat titik-titik di \(O\) dan titik-titik yang tidak berada di \(O\text{.}\) Hal inilah yang membuat titik \(a\) terletak pada batas. Kita juga dapat memandang titik \(a\) sebagai berada tepat pada batas himpunan \(O\text{.}\) Hal ini memotivasi definisi berikut.

Sebagai contoh, dalam \(A=(0,1)\) sebagai subhimpunan dari \((\R, d_E)\text{,}\) bilangan 0 merupakan titik batas dari \(A\) karena setiap interval terbuka dalam \(\R\) yang memuat \(0\) juga memuat titik-titik di \(A\) dan titik-titik yang tidak berada di \(A\text{.}\) Titik batas dapat muncul dengan cara lain. Jika \(A = \{0,1\}\) sebagai subhimpunan dari \((\R, d_E)\text{,}\) maka 0 kembali merupakan titik batas karena setiap interval terbuka dalam \(\R\) yang memuat \(0\) juga memuat suatu titik (\(0\)) di \(A\) dan titik-titik yang tidak berada di \(A\text{.}\) Namun, \(0\) merupakan satu-satunya titik di \(A\) yang termuat dalam setiap interval terbuka yang memuat \(0\text{.}\) Dalam hal ini kita menyebut \(0\) sebagai titik terasing dari \(A\text{,}\) sedangkan untuk himpunan \(A = (0,1)\) kita menyebut \(0\) sebagai titik akumulasi atau titik limit dari \(A\) (penggunaan kata “limit” di sini akan menjadi jelas nanti).

Anda mungkin bertanya-tanya tentang penggunaan istilah “titik limit” dan bagaimana titik limit berkaitan dengan limit. Seperti akan kita lihat nanti, titik limit merupakan limit barisan, tetapi definisi yang telah kita berikan ini kelak dapat diterapkan secara langsung pada ruang topologi.

Perhatikan bahwa setiap titik batas merupakan titik limit atau titik terasing. Buktinya diserahkan sebagai latihan.