Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Permutasi yang menetapkan \(a\) dan menukar \(b\) dengan \(c\) membawa himpunan terbuka \(\{a\},\{b\},\{a,b\}\) dari \(\tau_{20}\) berturut-turut ke \(\{a\},\{c\},\{a,c\}\text{.}\) Jadi permutasi itu merupakan homeomorfisme dari \(\tau_{20}\) ke \(\tau_{21}\text{.}\) Setiap topologi dalam orbit ini mempunyai tepat lima himpunan terbuka: dua singleton terbuka dan satu himpunan terbuka beranggota dua, selain \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Pemeriksaan daftar 29 topologi menunjukkan bahwa hanya nomor 20, 21, dan 22 yang mempunyai profil tersebut. Maka kelas yang dinyatakan di atas tepat.

Siklus \(a\mapsto b\text{,}\) \(b\mapsto c\text{,}\) \(c\mapsto a\) membawa \(\{a\},\{b\},\{a,b\}\) ke \(\{b\},\{c\},\{b,c\}\text{,}\) sehingga membawa \(\tau_{20}\) tepat ke \(\tau_{22}\text{.}\) Jadi kedua ruang homeomorfik. Seperti pada unit sebelumnya, profil kardinalitas himpunan terbukanya adalah dua singleton dan satu pasangan, dengan total lima himpunan terbuka. Nomor 20, 21, dan 22 adalah seluruh topologi dalam daftar yang memiliki profil ini, sehingga tidak ada anggota kelas lain.

Setiap permutasi titik menghasilkan homeomorfisme dari \((X,\tau_{23})\) ke ruang yang koleksi himpunan terbukanya merupakan citra \(\tau_{23}\text{.}\) Keenam permutasi menghasilkan enam koleksi berbeda, yakni nomor 23 sampai 28. Masing-masing mempunyai tepat enam himpunan terbuka, dengan dua singleton dan dua himpunan beranggota dua selain \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Dalam daftar 29 topologi, hanya keenam topologi tersebut yang mempunyai enam himpunan terbuka. Karena homeomorfisme mempertahankan banyaknya himpunan terbuka, tidak ada topologi lain yang dapat masuk ke orbit ini. Jadi kelas yang dituliskan pada jawaban tepat.

Transposisi \(a\leftrightarrow b\) membawa himpunan terbuka tak trivial \(\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\}\) dari \(\tau_{23}\) ke \(\{b\},\{a\},\{a,b\},\{b,c\}\text{,}\) yaitu tepat himpunan terbuka tak trivial \(\tau_{24}\text{.}\) Maka transposisi itu adalah homeomorfisme. Seluruh orbitnya adalah nomor 23–28; orbit tersebut lengkap karena keenamnya adalah satu-satunya topologi dalam daftar yang memiliki enam himpunan terbuka.

Transposisi \(b\leftrightarrow c\) membawa \(\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\}\) ke \(\{a\},\{c\},\{a,c\},\{a,b\}\text{.}\) Jadi citra \(\tau_{23}\) adalah \(\tau_{25}\text{,}\) dan permutasi itu merupakan homeomorfisme. Kelengkapan kelas nomor 23–28 kembali mengikuti fakta bahwa keenam topologi inilah seluruh topologi dengan enam himpunan terbuka dalam daftar.

Permutasi \(a\mapsto c\text{,}\) \(b\mapsto a\text{,}\) \(c\mapsto b\) membawa singleton terbuka \(\{a\},\{b\}\) ke \(\{c\},\{a\}\) dan membawa pasangan terbuka \(\{a,b\},\{a,c\}\) ke \(\{a,c\},\{b,c\}\text{.}\) Karena itu koleksi citranya adalah tepat \(\tau_{26}\text{.}\) Argumen jumlah himpunan terbuka menunjukkan bahwa orbit nomor 23–28 ini tidak mempunyai anggota tambahan.

Siklus yang diberikan membawa \(\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\}\) ke \(\{b\},\{c\},\{b,c\},\{a,b\}\text{.}\) Maka siklus itu memetakan \(\tau_{23}\) ke \(\tau_{27}\) dan merupakan homeomorfisme. Keenam topologi nomor 23–28 membentuk seluruh kelas karena semuanya, dan hanya mereka, mempunyai enam himpunan terbuka dalam daftar.

Transposisi \(a\leftrightarrow c\) membawa \(\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\}\) ke \(\{c\},\{b\},\{b,c\},\{a,c\}\text{.}\) Ini adalah koleksi himpunan terbuka tak trivial \(\tau_{28}\text{,}\) sehingga transposisi tersebut merupakan homeomorfisme dari \(\tau_{23}\text{.}\) Argumen jumlah himpunan terbuka membuktikan bahwa kelasnya tepat nomor 23–28.

Topologi diskret pada tiga titik memuat semua \(2^3=8\) himpunan bagian sebagai himpunan terbuka. Homeomorfisme membawa koleksi himpunan terbuka secara bijektif ke koleksi himpunan terbuka ruang sasaran, sehingga ruang yang homeomorfik dengannya juga harus mempunyai delapan himpunan terbuka. Di antara 29 topologi pada himpunan tetap \(X\text{,}\) hanya \(\tau_{29}=\mathcal P(X)\) yang mempunyai delapan himpunan terbuka. Jadi orbitnya merupakan singleton.

Misalkan \(h:X\to Y\) suatu homeomorfisme. Karena \(h^{-1}\) kontinu, \(h\) membawa setiap himpunan terbuka di \(X\) ke himpunan terbuka di \(Y\text{.}\) Dengan mengambil komplemen, \(h\) juga membawa himpunan tertutup ke himpunan tertutup.

Jika \(X\) bersifat \(T_1\) dan \(y_1\neq y_2\) di \(Y\text{,}\) terapkan sifat \(T_1\) pada \(h^{-1}(y_1)\neq h^{-1}(y_2)\text{.}\) Citra oleh \(h\) dari himpunan terbuka pemisah yang diperoleh memberikan himpunan terbuka di \(Y\) yang memuat satu titik tetapi tidak memuat titik lainnya. Jika \(X\) bersifat \(T_2\text{,}\) cara yang sama membawa dua lingkungan terbuka saling lepas di \(X\) ke dua lingkungan terbuka saling lepas di \(Y\text{.}\)

Selanjutnya, andaikan \(X\) reguler. Untuk himpunan tertutup \(C\subseteq Y\) dan titik \(y\notin C\text{,}\) himpunan \(h^{-1}(C)\) tertutup dan \(h^{-1}(y)\notin h^{-1}(C)\text{.}\) Pisahkan keduanya dengan himpunan terbuka saling lepas di \(X\text{;}\) citranya adalah himpunan terbuka saling lepas di \(Y\) yang memuat \(C\) dan \(y\text{.}\) Jadi \(Y\) reguler. Jika \(X\) normal, tarik kembali dua himpunan tertutup saling lepas di \(Y\text{,}\) pisahkan keduanya di \(X\text{,}\) lalu ambil citra himpunan terbuka pemisah. Ini membuktikan bahwa \(Y\) normal.

Menurut definisi sumber, \(T_3\) berarti reguler sekaligus \(T_1\text{,}\) dan \(T_4\) berarti normal sekaligus \(T_1\text{.}\) Karena setiap komponen syarat dipertahankan, \(T_3\) dan \(T_4\) juga dipertahankan. Menerapkan argumen yang sama pada homeomorfisme invers \(h^{-1}\) memberi implikasi sebaliknya. Jadi untuk setiap \(i=1,2,3,4\text{,}\) \(X\) bersifat \(T_i\) jika dan hanya jika \(Y\) bersifat \(T_i\text{;}\) inilah arti sifat topologis.