Bagian Pemeriksaan eksplorasi dan aktivitas
Audit kelima tugas eksplorasi pembuka: buktikan empat aksioma untuk \(d_T\) pada \(\R^2\text{,}\) lalu tentukan lingkaran satuannya dalam koordinat Euklides. Rubrik lengkap: setiap aksioma harus dinyatakan; bukti pertidaksamaan segitiga harus berlaku koordinat demi koordinat; gambar lingkaran harus disertai persamaan atau pertidaksamaan yang menjelaskan keempat sisinya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Gunakan \(|u+v|\leq |u|+|v|\) pada masing-masing selisih koordinat.
Petunjuk 2. Lingkaran satuan memenuhi \(|x_1|+|x_2|=1\text{.}\)
Fungsi \(d_T\) merupakan metrik. Lingkaran satuannya adalah \(\{(x_1,x_2):|x_1|+|x_2|=1\}\text{,}\) yakni persegi yang tampak sebagai belah ketupat dengan titik sudut \((1,0)\text{,}\) \((0,1)\text{,}\) \((-1,0)\text{,}\) dan \((0,-1)\) dalam gambar Euklides.
Nilai mutlak tak negatif, jadi \(d_T(x,y)\geq0\text{.}\) Jumlah dua nilai mutlak bernilai nol tepat ketika kedua selisih koordinat nol, yaitu tepat ketika \(x=y\text{.}\) Karena \(|x_i-y_i|=|y_i-x_i|\text{,}\) fungsi ini simetris. Untuk titik ketiga \(z\text{,}\) tulis \(x_i-y_i=(x_i-z_i)+(z_i-y_i)\text{.}\) Pertidaksamaan nilai mutlak memberi \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\) untuk \(i=1,2\text{.}\) Menjumlahkan kedua pertidaksamaan menghasilkan \(d_T(x,y)\leq d_T(x,z)+d_T(z,y)\text{.}\)
Jarak titik \((x_1,x_2)\) dari asal ialah \(|x_1|+|x_2|\text{.}\) Pada setiap kuadran, persamaan \(|x_1|+|x_2|=1\) menjadi sebuah ruas garis; keempat ruas bertemu pada empat titik sudut yang dinyatakan pada jawaban.
Pemeriksaan C.2. Pemeriksaan 2: empat calon ruang metrik.
Periksa seluruh butir pada aktivitas Kegiatan 3.2. Rubrik: untuk calon yang gagal, berikan aksioma dan titik konkret yang gagal; untuk calon yang berhasil, buktikan semua aksioma yang belum langsung; deskripsikan lingkaran satuan relatif terhadap unsur nol.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Uji \(d(1,1)\) pada calon pertama.
Petunjuk 2. Untuk integral, gunakan pertidaksamaan segitiga titik demi titik dan kekontinuan \(|f-g|\text{.}\)
Calon (a) bukan metrik karena \(d(1,1)=1\text{.}\) Calon (b) adalah metrik diskret dan lingkaran satuan berpusat di \(0\) ialah \(\R\setminus\{0\}\text{.}\) Calon (c) adalah metrik maksimum; lingkaran satuannya ialah batas persegi \(\max\{|x_1|,|x_2|\}=1\text{.}\) Calon (d) adalah metrik pada \(C[0,1]\text{;}\) lingkaran satuannya terdiri atas fungsi kontinu \(f\) dengan \(\int_0^1|f(x)|\,dx=1\text{.}\)
Pada (a), aksioma identitas titik sudah gagal: jarak suatu titik dari dirinya seharusnya nol. Pada (b), nilai hanya \(0\) atau \(1\text{;}\) identitas dan simetri langsung, dan jika \(x\ne y\text{,}\) sedikitnya satu dari \(d(x,z)\) dan \(d(z,y)\) bernilai \(1\text{,}\) sehingga pertidaksamaan segitiga berlaku. Jarak dari nol sama dengan satu tepat bagi semua titik bukan nol.
Pada (c), tak-negatif, identitas, dan simetri mengikuti nilai mutlak. Untuk tiap koordinat, \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\leq d_M(x,z)+d_M(z,y)\text{;}\) mengambil maksimum atas \(i\) membuktikan aksioma keempat. Pada (d), integral tak negatif dan simetris. Jika integral \(|f-g|\) nol, fungsi kontinu tak negatif \(|f-g|\) tidak dapat positif di satu titik tanpa positif pada suatu interval; jadi \(f=g\text{.}\) Pertidaksamaan \(|f(x)-g(x)|\leq|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|\) yang diintegralkan memberi pertidaksamaan segitiga. Deskripsi lingkaran mengikuti dengan mengambil jarak dari fungsi nol.
Pemeriksaan C.3. Pemeriksaan 3: tiga aksioma pertama metrik Euklides.
Lengkapi empat tugas aktivitas pertama pada bagian metrik Euklides di \(\R^n\text{.}\) Rubrik: jelaskan mengapa akar kuadrat terdefinisi, buktikan kedua arah dari syarat jarak nol, dan jangan memakai gambar sebagai bukti.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk. Jumlah kuadrat tak negatif, dan jumlah bilangan tak negatif bernilai nol tepat ketika setiap sukunya nol.
Untuk semua \(x,y\in\R^n\text{,}\) berlaku \(d_E(x,y)\geq0\text{,}\) \(d_E(x,y)=d_E(y,x)\text{,}\) dan \(d_E(x,y)=0\) tepat ketika \(x=y\text{.}\)
Setiap \((x_i-y_i)^2\) tak negatif, sehingga jumlahnya dan akar kuadratnya tak negatif. Karena \((x_i-y_i)^2=(y_i-x_i)^2\) untuk setiap \(i\text{,}\) menukar \(x\) dan \(y\) tidak mengubah jarak. Jika \(x=y\text{,}\) semua selisih nol dan jaraknya nol. Sebaliknya, jika jaraknya nol, maka \(\sum_i(x_i-y_i)^2=0\text{.}\) Semua suku tak negatif, jadi setiap suku nol; maka \(x_i=y_i\) untuk seluruh \(i\text{,}\) yakni \(x=y\text{.}\)
Pemeriksaan C.4. Pemeriksaan 4: dua uji numerik Cauchy–Schwarz.
Hitung kedua ruas Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz pada dua pasangan vektor dalam aktivitas. Rubrik: tampilkan hasil kali titik, kedua norma, dan perbandingan numeriknya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk. Ruas kiri adalah \(\sum_i x_i y_i\text{;}\) ruas kanan adalah \(\sqrt{\sum_i x_i^2}\sqrt{\sum_i y_i^2}\text{.}\)
Untuk \((1,4)\) dan \((3,2)\text{,}\) diperoleh \(11\leq\sqrt{221}\text{.}\) Untuk \((1,2,-3)\) dan \((-4,0,-1)\text{,}\) diperoleh \(-1\leq\sqrt{238}\text{.}\)
Pada pasangan pertama, hasil kali titiknya \(1\cdot3+4\cdot2=11\text{.}\) Kuadrat normanya masing-masing \(17\) dan \(13\text{,}\) sehingga ruas kanan \(\sqrt{17}\sqrt{13}=\sqrt{221}\text{;}\) karena \(121\leq221\text{,}\) perbandingan berlaku. Pada pasangan kedua, hasil kali titiknya \(-4+0+3=-1\text{,}\) sedangkan kuadrat normanya \(14\) dan \(17\text{.}\) Jadi ruas kanan \(\sqrt{238}\) positif dan jelas lebih besar daripada \(-1\text{.}\) Bentuk standar dengan nilai mutlak juga terpenuhi karena \(1\leq\sqrt{238}\text{.}\)
Pemeriksaan C.5. Pemeriksaan 5: dua uji numerik pertidaksamaan jumlah.
Verifikasikan akibat Cauchy–Schwarz Corollary 3.10 pada dua pasangan vektor yang diberikan. Rubrik: hitung norma jumlah serta jumlah kedua norma tanpa membulatkan akar.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk. Hitung \(x+y\) terlebih dahulu, lalu kuadratkan kedua ruas jika perlu.
Pasangan pertama memberi \(2\sqrt{13}\leq\sqrt{17}+\sqrt{13}\text{.}\) Pasangan kedua memberi \(\sqrt{29}\leq\sqrt{14}+\sqrt{17}\text{.}\)
Untuk \(x=(1,4)\) dan \(y=(3,2)\text{,}\) jumlahnya \((4,6)\text{,}\) sehingga normanya \(\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{;}\) norma masing-masing vektor adalah \(\sqrt{17}\) dan \(\sqrt{13}\text{.}\) Setelah mengurangi \(\sqrt{13}\text{,}\) cukup memeriksa \(\sqrt{13}\leq\sqrt{17}\text{.}\) Untuk pasangan kedua, jumlahnya \((-3,2,-4)\) dengan norma \(\sqrt{29}\text{,}\) sedangkan jumlah norma awal ialah \(\sqrt{14}+\sqrt{17}\text{.}\) Menguadratkan ruas kanan menghasilkan \(31+2\sqrt{238}>29\text{,}\) jadi pertidaksamaan berlaku.
Pemeriksaan C.6. Pemeriksaan 6: pertidaksamaan segitiga Euklides.
Lengkapi aktivitas terakhir pada bagian Euklides dengan menurunkan \(d_E(x,y)\leq d_E(x,z)+d_E(z,y)\) langsung dari Corollary 3.10. Rubrik: vektor yang dimasukkan ke akibat harus disebutkan dan jumlahnya harus disederhanakan menjadi \(x-y\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk. Ambil \(u=x-z\) dan \(v=z-y\text{.}\)
Terapkan Corollary 3.10 pada \(u=x-z\) dan \(v=z-y\text{;}\) karena \(u+v=x-y\text{,}\) hasilnya tepat pertidaksamaan segitiga bagi \(d_E\text{.}\)
Notasi norma Euklides memberi \(d_E(x,y)=\|x-y\|_2\text{.}\) Dengan \(u=x-z\) dan \(v=z-y\text{,}\) akibat Cauchy–Schwarz menyatakan \(\|u+v\|_2\leq\|u\|_2+\|v\|_2\text{.}\) Karena \(u+v=(x-z)+(z-y)=x-y\text{,}\) ruas kiri ialah \(d_E(x,y)\text{,}\) sedangkan dua suku ruas kanan ialah \(d_E(x,z)\) dan \(d_E(z,y)\text{.}\) Jadi aksioma keempat terbukti untuk semua \(x,y,z\in\R^n\text{.}\)
