1.
Misalkan \(f: \R \to \R\) didefinisikan oleh \(f(x) = |x|\text{,}\) dengan metrik Euklides pada domain maupun kodomain. Apakah \(f\) kontinu di \(x=0\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
Latihan Latihan
2.
Misalkan \(f: \R \to \R\) didefinisikan oleh \(f(x) = \begin{cases}\frac{x}{|x|} \amp \text{ jika } x \neq 0 \\ 1 \amp \text{ jika } x=0. \end{cases}\) Apakah \(f\) kontinu di \(x=0\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
3.
Misalkan \((Y, d_Y) = (\R, d_E)\text{,}\) dengan \(d_E\) sebagai metrik Euklides.
(a)
Misalkan \((X,d_X) = (\R^2, d_E)\text{.}\) Buktikan atau berikan contoh tandingan: fungsi \(f:X \to Y\) yang didefinisikan oleh \(f((x_1,x_2)) = x_1 + x_2\) bersifat kontinu.
(b)
Misalkan \((X,d_X) = (\R^2, d_M)\text{,}\) dengan \(d_M\) sebagai metrik maksimum. Buktikan atau berikan contoh tandingan: fungsi \(f:X \to Y\) yang didefinisikan oleh \(f((x_1,x_2)) = x_1 + x_2\) bersifat kontinu.
4.
Misalkan \(X\) sebarang himpunan dan definisikan \(d : X \times X \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x=y \\ 1 \amp \text{ jika } x \neq y. \end{cases}
\end{equation*}
Latihan 1 meminta kita menunjukkan bahwa \(d\) merupakan metrik (metrik diskret) pada \(X\text{.}\) Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) merupakan ruang metrik, dengan \(d_X\) sebagai metrik diskret. Tentukan semua fungsi kontinu \(f\) dari \(X\) ke \(Y\text{.}\)
5.
Misalkan \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi kontinu dari \((\R,d_E)\) ke \((\R, d_E)\text{.}\)
(a)
Misalkan \(k \in \R\) dengan \(k \neq 0\) dan definisikan \(kf : \R \to \R\) dengan \((kf)(x) = kf(x)\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(kf\) merupakan fungsi kontinu.
(b)
Definisikan \(f+g : \R \to \R\) dengan \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f+g\) merupakan fungsi kontinu.
6.
Misalkan \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi kontinu dari \((\R, d_E)\) ke \((\R,d_E)\text{.}\) Dalam soal ini, kita akan membuktikan bahwa \(fg\) merupakan fungsi kontinu dari \(\R\) ke \(\R\text{.}\) Misalkan \(a\) berada di \(\R\text{,}\) dan ikuti langkah-langkah berikut untuk menunjukkan bahwa \(fg\) kontinu di \(x=a\text{.}\) Misalkan \(\epsilon\) suatu bilangan positif.
(a)
Mula-mula, kita akan menyatakan \(f(x)g(x) - f(a)g(a)\) dalam bentuk yang lebih berguna. Gunakan fakta bahwa \(f(x) = f(a) + (f(x)-f(a))\) dan \(g(x) = g(a) + (g(x)-g(a))\) untuk menunjukkan bahwa
\begin{align*}
f(x)g(x)-f(a)g(a) = f(a)(g(x)-g(a)) \amp + g(a)(f(x)-f(a))\\
\amp + (f(x)-f(a))(g(x)-g(a))\text{.}
\end{align*}
(b)
Jelaskan mengapa terdapat bilangan-bilangan positif \(\delta_1\text{,}\) \(\delta_2\text{,}\) \(\delta_3\text{,}\) dan \(\delta_4\) sedemikian sehingga
\begin{align*}
|f(x)-f(a)| \lt \sqrt{\frac{\epsilon}{3}} \amp \text{ jika } |x-a| \lt \delta_1\\
|g(x)-g(a)| \lt \sqrt{\frac{\epsilon}{3}} \amp \text{ jika } |x-a| \lt \delta_2\\
|f(x)-f(a)| \lt \frac{\epsilon}{3(1+|g(a)|)} \amp \text{ jika } |x-a| \lt \delta_3\\
|g(x)-g(a)| \lt \frac{\epsilon}{3(1+|f(a)|)} \amp \text{ jika } |x-a| \lt \delta_4\text{.}
\end{align*}
(c)
Gunakan hasil dari (a) dan (b) untuk menunjukkan bahwa \(fg\) kontinu di \(x=a\text{.}\) (Petunjuk: \(1+|f(a)| \gt |f(a)|\text{.}\))
7.
Misalkan \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi dari \((\R,d_E)\) ke \((\R,d_E)\text{.}\)
(a)
Benarkah bahwa jika \(f+g\) merupakan fungsi kontinu, maka \(f\) dan \(g\) juga merupakan fungsi kontinu? Buktikan jawaban Anda.
(b)
Benarkah bahwa jika \(fg\) merupakan fungsi kontinu, maka \(f\) dan \(g\) juga merupakan fungsi kontinu? Buktikan jawaban Anda.
8.
Misalkan \(f(x) = 2x^2+1\) memetakan \(\R\) ke \(\R\text{,}\) dengan metrik Euklides pada domain maupun kodomain.
(a)
Misalkan \(\epsilon = \frac{1}{4}\text{.}\) Carilah nilai \(\delta\) sedemikian sehingga \(|x-1| \lt \delta\) mengakibatkan \(|f(x)-f(1)| \lt \epsilon\text{.}\) Anda dapat menggunakan Laboratorium epsilon-delta O003 2 untuk memeriksa nilai \(\delta\) Anda secara numerik.
(b)
Buktikan bahwa \(f\) kontinu di \(x=1\text{.}\)
9.
Definisikan \(d: \R \times \R \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d(x,y) = \min\{|x-y|,1\}\text{.}
\end{equation*}
Buktikan bahwa \(d\) merupakan metrik.
10.
Misalkan \(f : \R \to \R\) merupakan fungsi kontinu, dengan metrik Euklides pada kedua salinan \(\R\text{.}\) Andaikan \(f(x) = 0\) setiap kali \(x\) rasional. Buktikan bahwa \(f(x) = 0\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\)
11.
Misalkan \(f: \R \to \R\) didefinisikan oleh \(f(x) = 0\) jika \(x\) irasional dan \(f(x) = 1\) jika \(x\) rasional. Gunakan metrik Euklides pada kedua salinan \(\R\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f\) tidak kontinu di titik mana pun dalam \(\R\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan Latihan 7 dan Latihan 10.
12.
Misalkan \(g: \R \to \R\) didefinisikan oleh \(g(x) = 0\) jika \(x\) irasional dan \(g(x) = x\) jika \(x\) rasional. Gunakan metrik Euklides pada kedua salinan \(\R\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(g\) hanya kontinu di \(0\text{.}\)
13.
Misalkan \(a\lt b\) dan \(X\) himpunan semua fungsi kontinu \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\text{.}\) Misalkan \(d^*\) fungsi jarak pada \(X\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d^*(f,g)= \int_a^b \la f(t)-g(t) \ra \, dt\text{,}
\end{equation*}
untuk \(f, g \in X\text{.}\) Untuk setiap \(f \in X\text{,}\) tetapkan
\begin{equation*}
I(f) = \int_a^b f(t) \, dt\text{.}
\end{equation*}
(a)
Tentukan nilai \(d^*(f,g)\) ketika \(f(x) = x^2\text{,}\) \(g(x) = 3-2x\text{,}\) dan \([a,b] = [-3,3]\text{.}\)
(b)
Tentukan nilai \(I(f)\) jika \(f(x) = 2x\) dan \([a,b] = [0,2]\text{.}\)
(c)
Buktikan bahwa fungsi \(I : (X, d^*) \to (\R,d)\) bersifat kontinu, dengan \(d\) sebagai metrik Euklides.
Petunjuk.
Sebelum mencoba membuktikan pernyataan ini, akan membantu jika Anda terlebih dahulu menuliskan secara eksplisit apa artinya \(I\) kontinu dalam metrik \(d^*\) dan \(d\text{.}\)
14.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan itu selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi, dengan \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) sebagai ruang metrik. Jika \(d_X\) merupakan metrik diskret dan \(d_Y\) sebarang metrik, maka \(f\) kontinu.
(b)
Misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi, dengan \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) sebagai ruang metrik. Jika \(d_Y\) merupakan metrik diskret dan \(d_X\) sebarang metrik, maka \(f\) kontinu.
(c)
Misalkan \(d_1\) dan \(d_2\) dua metrik pada suatu himpunan \(X\text{.}\) Fungsi identitas \(i_X : (X,d_1) \to (X,d_2)\) yang didefinisikan oleh \(i_X(x) = x\) untuk setiap \(x \in X\) bersifat kontinu.
(d)
Misalkan \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi kontinu dari \((\R^2, d_T)\) (metrik taksi) ke \((\R,d_E)\text{.}\) Maka fungsi \(f+g\) dari \((\R^2, d_T)\) ke \((\R,d_E)\) yang didefinisikan oleh \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) untuk setiap \(x \in \R^2\) merupakan fungsi kontinu.
(e)
Jika \((X, d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) merupakan ruang metrik dengan \(y \in Y\text{,}\) maka fungsi konstan \(f: X \to Y\) yang didefinisikan oleh \(f(x) = y\) untuk setiap \(x \in X\) merupakan fungsi kontinu.
external/o003-epsilon-delta-lab.html
