Teorema 5.4. Sifat Archimedes.
Untuk setiap bilangan real \(x\text{,}\) terdapat bilangan asli \(N\) sedemikian sehingga \(N \gt x\text{.}\)
Latihan Latihan
Lima teorema berikut merupakan sasaran pembuktian dalam latihan-latihan di bawah. Bacalah pernyataannya terlebih dahulu, lalu kembangkan setiap pembuktian melalui urutan tugas yang terkait.
Teorema 5.5.
Untuk setiap bilangan real \(x\) dan \(y\) dengan \(x \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan asli \(N\) sedemikian sehingga \(Nx \gt y\text{.}\)
Teorema 5.6.
Jika \(x\) suatu bilangan real positif, maka terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(\frac{1}{N} \lt x\text{.}\)
Teorema 5.7.
Untuk sebarang dua bilangan real yang berbeda \(x\) dan \(y\text{,}\) terdapat bilangan rasional yang terletak di antaranya.
Teorema 5.8.
Untuk sebarang dua bilangan real yang berbeda \(x\) dan \(y\text{,}\) terdapat bilangan irasional yang terletak di antaranya.
1.
Misalkan \(S\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di bawah. Misalkan \(a \in \R\text{,}\) dan definisikan \(a+S\) sebagai \(a+S = \{a+s \mid s \in S\}\text{.}\)
(a)
Jelaskan mengapa \(a+\inf(S)\) merupakan batas bawah bagi \(a+S\text{.}\) Jelaskan mengapa \(a+S\) memiliki infimum.
(b)
Misalkan \(b\) suatu batas bawah bagi \(a+S\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(a + \inf(S) \geq b\text{.}\) Lalu jelaskan mengapa \(a+\inf(S) = \inf(a+S)\text{.}\)
2.
Misalkan \(S\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(\R\text{.}\)
(a)
Andaikan \(S\) terbatas di atas, dan misalkan \(t = \sup(S)\text{.}\) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(r \lt t\text{,}\) terdapat bilangan \(s \in S\) sedemikian sehingga \(r \lt s \leq t\text{.}\)
(b)
Andaikan \(S\) terbatas di bawah, dan misalkan \(t = \inf(S)\text{.}\) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(r \gt t\text{,}\) terdapat bilangan \(s \in S\) sedemikian sehingga \(t \leq s \lt r\text{.}\)
3.
Misalkan \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di atas dan di bawah. Misalkan \(A+B = \{a+b \mid a \in A, b \in B\}\text{.}\)
(a)
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menunjukkan bahwa \(\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)\text{.}\)
(i)
Misalkan \(x = \sup(A)\) dan \(y = \sup(B)\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(x+y\) merupakan batas atas bagi \(A+B\text{.}\)
(ii)
Bagian sebelumnya menunjukkan bahwa \(A+B\) terbatas di atas sehingga memiliki supremum. Misalkan \(z = \sup(A+B)\text{.}\) Jelaskan mengapa \(z \leq x+y\text{.}\)
(iii)
Untuk menunjukkan bahwa \(z = x+y\text{,}\) kita harus membuktikan bahwa \(z\) tidak mungkin lebih kecil daripada \(x+y\text{.}\) Andaikan, demi memperoleh kontradiksi, bahwa \(z \lt x+y\text{.}\) Misalkan \(\epsilon = x+y-z\text{.}\) Gunakan hasil Latihan 2 untuk memperoleh kontradiksi.
(b)
Buktikan bahwa \(\inf(A+B) = \inf(A) + \inf(B)\text{.}\)
(c)
Buktikan atau bantah: \(\sup(A \cup B) = \max\{\sup(A), \sup(B)\}\)
(d)
Buktikan atau bantah: \(\inf(A \cup B) = \min\{\inf(A), \inf(B)\}\)
4.
Misalkan \(X = C[a,b]\text{,}\) dengan \(a,b \in \R,\ a \lt b\text{,}\) adalah himpunan semua fungsi kontinu dari \([a,b]\) ke \(\R\text{.}\) Definisikan \(d: X \times X \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d(f,g) = \sup\{|f(x)-g(x)| \mid x \in [a,b]\}\text{.}
\end{equation*}
(a)
Berapakah \(d(x^2,1-2x)\) pada \([0,1]\text{?}\)
(b)
Buktikan bahwa \(d\) merupakan metrik pada \(X\text{.}\) Deskripsikan secara geometris bagaimana metrik ini mengukur jarak antara fungsi \(f\) dan \(g\text{.}\) (Metrik ini disebut metrik supremum atau metrik seragam pada \(X\text{.}\))
5.
Dalam latihan ini, kita membuktikan sifat Archimedes bilangan asli. Perhatikan bahwa himpunan bilangan asli, yang dinotasikan dengan \(\N\) atau \(\Z^+\text{,}\) adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Misalkan \(x\) suatu bilangan real.
(a)
Andaikan tidak terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(N > x\text{.}\) Jelaskan bagaimana kita dapat menyimpulkan bahwa \(\Z^+\) terbatas di atas.
(b)
Dengan mengandaikan bahwa \(\Z^+\) terbatas di atas, jelaskan mengapa \(\Z^+\) harus memiliki batas atas terkecil \(M\text{.}\)
(c)
Jelaskan mengapa \(M\) tidak mungkin menjadi batas atas terkecil bagi \(\Z^+\text{.}\) Jelaskan mengapa hal ini membuktikan sifat Archimedes.
6.
Dalam latihan ini, kita membuktikan dua pernyataan yang ekuivalen dengan sifat Archimedes (lihat Latihan 5). Kedua pernyataan tersebut dicantumkan dalam pendahuluan kumpulan latihan ini.
(a)
Misalkan \(x\) dan \(y\) bilangan real dengan \(x \gt 0\text{.}\)
(i)
Tunjukkan bahwa jika sifat Archimedes benar, maka Teorema 5.5 juga benar.
(ii)
Tunjukkan bahwa jika Teorema 5.5 benar, maka sifat Archimedes juga benar. Simpulkan bahwa Teorema 5.5 ekuivalen dengan sifat Archimedes.
(b)
Buktikan bahwa Teorema 5.6 ekuivalen dengan sifat Archimedes.
7.
Kita dapat menggunakan batas bawah terbesar untuk membuktikan teorema tentang kerapatan bilangan rasional yang dicantumkan dalam pendahuluan kumpulan latihan ini. Teorema ini menunjukkan suatu fakta penting — bilangan rasional bersifat rapat dalam himpunan bilangan real. Kita membuktikan teorema ini dalam latihan ini. Misalkan \(x\) dan \(y\) bilangan real dan andaikan \(x \lt y\text{.}\) Berdasarkan sifat Archimedes bilangan asli (lihat Latihan 5 dan Latihan 6), terdapat bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga \(n(y-x) \gt 1\text{.}\) Misalkan \(S = \{k \in \Z \mid k \gt nx \}\text{.}\) Sifat Archimedes juga menjamin adanya bilangan bulat positif yang memenuhi syarat pembentuk himpunan tersebut; oleh karena itu, himpunan itu tidak kosong.
(a)
Tunjukkan bahwa \(S\) terbatas di bawah dalam \(\R\text{.}\)
(b)
Jelaskan mengapa \(S\) memuat suatu bilangan bulat \(m\) sedemikian sehingga jika \(q \in \Z\) dengan \(q \lt m\text{,}\) maka \(q \leq nx\text{.}\) Prinsip Pengurutan Baik berikut mungkin berguna:
Setiap subhimpunan tak kosong dari bilangan bulat yang terbatas di bawah memuat infimumnya.
(Prinsip Pengurutan Baik merupakan salah satu dari banyak aksioma yang ekuivalen dengan Prinsip Induksi Matematika. Prinsip-prinsip ini diterima sebagai aksioma dan dianggap benar.)
(c)
Jelaskan mengapa \(m \gt nx\) dan \(m-1 \leq nx\text{.}\) Gunakan pertidaksamaan ini bersama dengan \(n(y-x) \gt 1\) untuk menunjukkan bahwa \(nx \lt m \lt ny\text{.}\) Kemudian, temukan suatu bilangan rasional yang terletak di antara \(x\) dan \(y\text{.}\)
8.
Tunjukkan bahwa setiap bola terbuka dalam \((\R^2,d_E)\) memuat suatu titik \(x = (x_1,x_2)\) dengan \(x_1\) dan \(x_2\) keduanya rasional.
9.
Kita sudah terbiasa menyelesaikan persamaan kuadrat \(x^2-2 = 0\) dan memperoleh penyelesaian \(\pm \sqrt{2}\text{.}\) Namun, apakah kita benar-benar mengetahui bahwa bilangan \(\sqrt{2}\) ada? Kita membahas pertanyaan tersebut dalam latihan ini dan menunjukkan keberadaan bilangan \(\sqrt{2}\) dengan menggunakan batas bawah terbesar. Di sini, \(\R^+ = \{r \in \R \mid r \gt 0\}\) adalah himpunan bilangan real positif.
(a)
Sebagai langkah awal, misalkan \(S = \{x \in \R^+ \mid x^2 \gt 2\}\text{.}\) Jelaskan mengapa \(S\) harus memiliki batas bawah terbesar \(m\text{.}\)
(b)
Selanjutnya, kita menunjukkan bahwa \(m^2 = 2\text{,}\) sehingga \(m = \sqrt{2}\text{.}\) Kita meninjau kasus \(m^2 \lt 2\) dan \(m^2 \gt 2\text{.}\)
(i)
Andaikan \(m^2 \lt 2\text{.}\) Tunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
\left(m+\frac{1}{n}\right)^2~\lt ~2\text{.}
\end{equation*}
Jelaskan mengapa hal ini juga tidak mungkin terjadi.
(ii)
Andaikan \(m^2 \gt 2\text{.}\) Tunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
\left(m-\frac{1}{n}\right)^2~\gt~2\text{.}
\end{equation*}
Jelaskan mengapa hal ini juga tidak mungkin terjadi.
(c)
Jelaskan bagaimana kita telah menunjukkan keberadaan \(\sqrt{2}\text{.}\)
10.
Serupa dengan Latihan 7, kita dapat membuktikan teorema tentang kerapatan bilangan irasional yang dicantumkan dalam pendahuluan kumpulan latihan ini.
(a)
Langkah pertama adalah menunjukkan keberadaan suatu bilangan irasional. Kita akan melakukannya dengan membuktikan bahwa \(\sqrt{2}\) irasional. Gunakan pembuktian dengan kontradiksi dan andaikan bahwa \(\sqrt{2}\) merupakan bilangan rasional. Artinya, \(\sqrt{2} = \frac{r}{s}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(r\) dan \(s\) tidak memiliki faktor persekutuan positif selain 1.
(i)
Jelaskan mengapa \(r^2=2s^2\text{.}\) Karena \(2\) prima, diperoleh bahwa \(2\) membagi \(r\text{.}\)
(ii)
Tunjukkan bahwa \(2\) membagi \(s\text{.}\) Jelaskan bagaimana hal ini membuktikan bahwa \(\sqrt{2}\) merupakan bilangan irasional.
(b)
Misalkan \(x\) dan \(y\) dua bilangan real berbeda. Tunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat \(q\) dan bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(z=\frac{q\sqrt{2}}{2^N}\) merupakan bilangan irasional di antara \(x\) dan \(y\text{.}\)
11.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Untuk \(x,y \in X\text{,}\) buktikan bahwa \(d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,A)\text{.}\)
12.
Buktikan bahwa jika \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(B\) serta \(C\) subhimpunan tak kosong dari \(X\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d(a, B \cup C) = \min\{d(a,B), d(a,C)\}
\end{equation*}
untuk setiap \(a \in X\text{.}\)
13.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawab benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawab salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya. Sepanjang latihan ini, misalkan \(S\) dan \(T\) subhimpunan tak kosong dan terbatas dari \(\R\) (suatu subhimpunan dari \(\R\) disebut terbatas jika terbatas di atas dan di bawah).
(a)
Setiap subhimpunan tak kosong dari \(S\) terbatas.
(b)
Jika \(S + T = \{s+t \mid s \in S, t \in T\}\text{,}\) maka \(\sup(S + T) = \max\{\sup(S), \sup(T)\}\text{.}\)
(c)
Jika \(S + T = \{s+t \mid s \in S, t \in T\}\text{,}\) maka \(\inf(S + T) = \min\{\inf(S), \inf(T)\}\text{.}\)
(d)
Jika \(U\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(S\text{,}\) maka \(\sup(U) \leq \sup(S)\text{.}\)
(e)
Jika \(U\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(S\text{,}\) maka \(\inf(S) \leq \inf(U)\text{.}\)
(f)
Jika \(A\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(\R\) dan \(x \in \R\) dengan \(d_E(x,A) = 0\) dalam metrik Euklides, maka \(x \in A\text{.}\)
