Bagian Panduan konsep dan tugas sumber, bagian pertama
Sembilan panduan berikut mengikuti seluruh tugas sumber dalam pendahuluan subruang dan bagian tentang himpunan terbuka serta tertutup di subruang: enam tugas pendahuluan dan tiga langkah implikasi sebaliknya. Kerjakan dahulu butir pada bab utama, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Setiap pernyataan memparafrasakan sasaran sumber dan menyertakan rubrik keberhasilan. Teks panduan asli ini merupakan komponen terpisah yang tersedia di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
Sepanjang panduan ini, bola \(B_A(a,r)\) dihitung dengan metrik pembatasan pada \(A\text{,}\) sedangkan \(B_X(a,r)\) dihitung di ruang ambien \(X\text{.}\) Keterbukaan di \(A\) dan keterbukaan di \(X\) karena itu selalu dibedakan secara eksplisit.
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dan \(A\subseteq X\text{.}\) Untuk \(a_1,a_2\in A\text{,}\) definisikan \(d'(a_1,a_2)=d(a_1,a_2)\text{.}\) Buktikan bahwa \(d'\) merupakan metrik pada \(A\text{.}\) Rubrik: periksa kodomain, definit positif, simetri, dan pertidaksamaan segitiga; jelaskan mengapa sifat-sifat itu tetap berlaku setelah domain dipersempit.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: ambil \(a_1,a_2,a_3\in A\text{;}\) ketiganya juga unsur \(X\text{.}\) Tahap 2: tuliskan setiap aksioma untuk \(d'\text{,}\) lalu ganti setiap nilai \(d'\) dengan nilai \(d\) yang sama.
Fungsi \(d'\) adalah metrik pada \(A\) karena semua aksioma metrik diwarisi langsung dari \(d\text{.}\) Jadi \((A,d')=(A,d_A)\) merupakan subruang metrik dari \((X,d)\text{.}\)
Karena \(d\) bernilai real taknegatif, demikian pula \(d'(a_1,a_2)=d(a_1,a_2)\text{.}\) Selanjutnya, \(d'(a_1,a_2)=0\) jika dan hanya jika \(d(a_1,a_2)=0\text{,}\) yang menurut definit positif bagi \(d\) ekuivalen dengan \(a_1=a_2\text{.}\) Simetri memberi
\begin{equation*}
d'(a_1,a_2)=d(a_1,a_2)=d(a_2,a_1)=d'(a_2,a_1).
\end{equation*}
Untuk \(a_1,a_2,a_3\in A\text{,}\) pertidaksamaan segitiga bagi \(d\) di \(X\) memberi
\begin{equation*}
d'(a_1,a_3)=d(a_1,a_3)
\leq d(a_1,a_2)+d(a_2,a_3)
=d'(a_1,a_2)+d'(a_2,a_3).
\end{equation*}
Jadi keempat syarat metrik terpenuhi pada \(A\text{.}\) Walaupun \(d\) dan \(d'\) mempunyai nilai yang sama pada pasangan titik di \(A\text{,}\) keduanya merupakan fungsi berbeda karena domain \(d'\) ialah \(A\times A\text{,}\) bukan \(X\times X\text{.}\)
Pemeriksaan K.2. Interval setengah terbuka dalam ruang ambien dan subruang.
Ambil \(X=(\R,d_E)\text{,}\) \(A=[0,1]\text{,}\) dan \(0\lt a\lt1\text{.}\) Tentukan secara terpisah apakah \([0,a)\) terbuka di \(X\) dan apakah himpunan yang sama terbuka di subruang \(A\text{.}\) Rubrik: uji titik \(0\) menggunakan bola ambien, lalu untuk setiap titik di \([0,a)\) bangun bola relatif yang tetap berada dalam himpunan tersebut.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: setiap bola di \(\R\) yang berpusat di \(0\) memuat bilangan negatif. Tahap 2: jika \(x\in[0,a)\text{,}\) coba radius \(r=(a-x)/2\) untuk bola \(B_A(x,r)\) dalam subruang.
Himpunan \([0,a)\) tidak terbuka di \(X=\R\text{,}\) tetapi terbuka di subruang \(A=[0,1]\text{.}\)
Di ruang ambien \(X\text{,}\) titik \(0\in[0,a)\) tidak mempunyai bola terbuka yang termuat dalam \([0,a)\text{.}\) Memang, untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) titik \(-r/2\) berada di \(B_X(0,r)\) tetapi tidak berada di \([0,a)\text{.}\) Jadi \([0,a)\) tidak terbuka di \(X\text{.}\)
Sekarang ambil sembarang \(x\in[0,a)\) dan tetapkan \(r=(a-x)/2\gt0\text{.}\) Jika \(y\in B_A(x,r)\text{,}\) maka \(y\in A\text{,}\) sehingga \(y\geq0\text{,}\) dan
\begin{equation*}
y\lt x+r=x+\frac{a-x}{2}=\frac{a+x}{2}\lt a.
\end{equation*}
Maka \(y\in[0,a)\text{,}\) sehingga \(B_A(x,r)\subseteq[0,a)\text{.}\) Setiap titik himpunan mempunyai bola relatif seperti itu; karena itu \([0,a)\) terbuka di \(A\text{.}\) Perbedaan jawaban muncul karena bola subruang dipotong oleh \(A\) dan tidak memuat bilangan negatif.
Pemeriksaan K.3. Semua subhimpunan bilangan bulat terbuka secara relatif.
Pandang \(A=\Z\) sebagai subruang dari \((\R,d_E)\text{.}\) Tentukan semua subhimpunan \(A\) yang terbuka di \(A\text{.}\) Rubrik: hitung bola subruang berjari-jari kurang dari \(1\) di setiap bilangan bulat, lalu tangani subhimpunan sebarang dan himpunan kosong.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: untuk \(n\in\Z\text{,}\) tentukan \(B_A(n,1/2)\text{.}\) Tahap 2: nyatakan subhimpunan \(S\subseteq A\) sebagai gabungan bola-bola satu titik tersebut.
Setiap subhimpunan \(S\subseteq\Z\text{,}\) termasuk \(\emptyset\text{,}\) terbuka di subruang \(\Z\text{.}\) Dengan demikian, metrik terinduksi pada \(\Z\) menghasilkan topologi diskret.
Jika \(n\in\Z\text{,}\) setiap bilangan bulat lain berjarak sedikitnya \(1\) dari \(n\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
B_A(n,1/2)=B_{\R}(n,1/2)\cap\Z=\{n\}.
\end{equation*}
Untuk subhimpunan tak kosong \(S\subseteq\Z\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
S=\bigcup_{n\in S}B_A(n,1/2),
\end{equation*}
sehingga \(S\) merupakan gabungan bola-bola terbuka di \(A\) dan karenanya terbuka di \(A\text{.}\) Himpunan kosong terbuka menurut definisi. Jadi seluruh himpunan kuasa \(\Z\) adalah keluarga himpunan terbuka subruang ini; sebagai akibat tambahan, setiap subhimpunan juga tertutup karena komplemennya terbuka.
Pemeriksaan K.4. Sumbu horizontal tertutup di bidang Euklides.
Dalam \(X=(\R^2,d_E)\text{,}\) misalkan \(A=\{(x,0)\mid x\in\R\}\text{.}\) Buktikan bahwa \(A\) tertutup di \(X\text{.}\) Rubrik: ambil titik sebarang di luar sumbu, pilih radius dari jarak vertikalnya ke sumbu, dan buktikan bahwa bola itu tidak memotong \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: tulis titik luar sebagai \(p=(u,v)\) dengan \(v\neq0\text{.}\) Tahap 2: gunakan \(r=|v|/2\) dan fakta bahwa jarak Euklides dari \(p\) ke setiap titik sumbu sedikitnya \(|v|\text{.}\)
Untuk setiap \(p=(u,v)\notin A\text{,}\) bola \(B_X(p,|v|/2)\) termuat dalam \(X\setminus A\text{.}\) Jadi \(X\setminus A\) terbuka dan \(A\) tertutup di \(X\text{.}\)
Ambil \(p=(u,v)\in X\setminus A\text{.}\) Karena \(p\) tidak berada pada sumbu horizontal, \(v\neq0\text{,}\) sehingga \(r=|v|/2\gt0\text{.}\) Untuk setiap \(q=(s,0)\in A\text{,}\)
\begin{equation*}
d_E(p,q)=\sqrt{(u-s)^2+v^2}\geq |v|\gt r.
\end{equation*}
Jadi tidak ada titik \(A\) di \(B_X(p,r)\text{,}\) atau \(B_X(p,r)\subseteq X\setminus A\text{.}\) Karena setiap titik komplemen mempunyai bola ambien yang termuat dalam komplemen, \(X\setminus A\) terbuka. Berdasarkan definisi, \(A\) tertutup di \(X\text{.}\)
Pemeriksaan K.5. Segmen terbuka sebagai himpunan terbuka di sumbu.
Dengan \(A=\{(x,0)\mid x\in\R\}\) dan \(Z=\{(x,0)\mid0\lt x\lt1\}\text{,}\) buktikan bahwa \(Z\) terbuka di subruang \(A\text{.}\) Rubrik: untuk titik sebarang \((x,0)\in Z\text{,}\) pilih radius positif yang lebih kecil daripada jaraknya ke kedua ujung dan uji setiap titik bola relatif.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: ambil \(r=\frac12\min\{x,1-x\}\text{.}\) Tahap 2: jika \((y,0)\in B_A((x,0),r)\text{,}\) gunakan \(|y-x|\lt r\) untuk membuktikan \(0\lt y\lt1\text{.}\)
Setiap \((x,0)\in Z\) mempunyai bola relatif \(B_A((x,0),\frac12\min\{x,1-x\})\) yang termuat dalam \(Z\text{.}\) Maka \(Z\) terbuka di \(A\text{.}\)
Ambil \(p=(x,0)\in Z\text{.}\) Karena \(0\lt x\lt1\text{,}\) bilangan \(r=\frac12\min\{x,1-x\}\) positif. Jika \(q=(y,0)\in B_A(p,r)\text{,}\) maka \(|y-x|=d_E(p,q)\lt r\text{.}\) Karena \(r\leq x/2\text{,}\) kita memperoleh \(y\gt x-r\geq x/2\gt0\text{.}\) Karena \(r\leq(1-x)/2\text{,}\) kita juga memperoleh \(y\lt x+r\leq(1+x)/2\lt1\text{.}\) Jadi \(q\in Z\text{,}\) sehingga \(B_A(p,r)\subseteq Z\text{.}\) Konstruksi ini berlaku di setiap titik \(Z\text{;}\) oleh sebab itu \(Z\) terbuka di subruang \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.6. Segmen sumbu tidak terbuka di bidang.
Untuk himpunan \(Z\) pada panduan 5, tentukan apakah \(Z\) terbuka di ruang ambien \(X=\R^2\) dan buktikan keputusan Anda. Rubrik: ambil titik di \(Z\) dan radius sebarang, lalu temukan titik di dalam bola ambien yang keluar dari sumbu.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: gunakan \(p=(1/2,0)\in Z\text{.}\) Tahap 2: untuk \(r\gt0\text{,}\) periksa titik \(q=(1/2,r/2)\text{.}\)
Himpunan \(Z\) tidak terbuka di \(X=\R^2\text{.}\) Setiap bola ambien yang berpusat di \((1/2,0)\) memuat titik di luar sumbu dan karena itu tidak termuat dalam \(Z\text{.}\)
Titik \(p=(1/2,0)\) berada di \(Z\text{.}\) Ambil radius sebarang \(r\gt0\) dan tetapkan \(q=(1/2,r/2)\text{.}\) Jaraknya ialah
\begin{equation*}
d_E(p,q)=r/2\lt r,
\end{equation*}
sehingga \(q\in B_X(p,r)\text{.}\) Namun koordinat kedua \(q\) tidak nol, jadi \(q\notin A\) dan khususnya \(q\notin Z\text{.}\) Dengan demikian, tidak ada bola terbuka di \(X\) yang berpusat di \(p\) dan termuat dalam \(Z\text{.}\) Maka \(Z\) tidak terbuka di \(X\text{,}\) meskipun panduan 5 membuktikan bahwa \(Z\) terbuka di subruang \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.7. Bola ambien dari keterbukaan himpunan pemotong.
Misalkan \(A\subseteq X\text{,}\) \(O_X\) terbuka di ruang metrik \(X\text{,}\) dan \(O_A=A\cap O_X\text{.}\) Untuk \(a\in O_A\text{,}\) buktikan bahwa terdapat \(\delta\gt0\) dengan \(B_X(a,\delta)\subseteq O_X\text{.}\) Rubrik: uraikan keanggotaan dalam irisan, lalu terapkan definisi keterbukaan di ruang ambien yang tepat.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: dari \(a\in A\cap O_X\text{,}\) simpulkan dua fakta keanggotaan. Tahap 2: hanya fakta \(a\in O_X\) dan keterbukaan \(O_X\) di \(X\) yang diperlukan untuk memperoleh bola ambien.
Karena \(a\in O_A=A\cap O_X\text{,}\) berlaku \(a\in O_X\text{.}\) Karena \(O_X\) terbuka di \(X\text{,}\) ada \(\delta\gt0\) sehingga \(B_X(a,\delta)\subseteq O_X\text{.}\)
Keanggotaan \(a\in A\cap O_X\) berarti sekaligus \(a\in A\) dan \(a\in O_X\text{.}\) Definisi himpunan terbuka di \(X\) menyatakan bahwa setiap titik \(O_X\) menjadi pusat suatu bola terbuka ambien yang termuat di \(O_X\text{.}\) Oleh karena itu, terdapat \(\delta\gt0\) dengan \(B_X(a,\delta)\subseteq O_X\text{.}\) Pada tahap ini bolanya berada di \(X\text{;}\) kita belum menyatakan bahwa bola itu merupakan bola di subruang \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.8. Memotong bola ambien menjadi bola subruang.
Lanjutkan panduan 7. Sumber meminta kandidat bola terbuka di \(A\) yang berpusat di \(a\) dan termuat dalam \(A\text{.}\) Identifikasi kandidat itu dan buktikan pernyataan yang lebih kuat yang diperlukan oleh pembuktian, yaitu bahwa bola tersebut termuat dalam \(O_A\text{.}\) Rubrik: gunakan definisi metrik pembatasan untuk membuktikan kesamaan bola, lalu gunakan dua inklusi yang sudah diketahui.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: kandidatnya adalah \(B_A(a,\delta)\) dan \(B_A(a,\delta)=A\cap B_X(a,\delta)\text{.}\) Tahap 2: gabungkan \(B_X(a,\delta)\subseteq O_X\) dengan \(O_A=A\cap O_X\text{.}\)
Kandidatnya ialah \(B_A(a,\delta)=A\cap B_X(a,\delta)\text{.}\) Karena bola ambien termuat dalam \(O_X\text{,}\) berlaku \(B_A(a,\delta)\subseteq A\cap O_X=O_A\text{.}\)
Karena \(d_A\) adalah pembatasan \(d\) ke \(A\times A\text{,}\) untuk setiap \(x\in A\) berlaku
\begin{equation*}
x\in B_A(a,\delta)
\iff d_A(x,a)\lt\delta
\iff d(x,a)\lt\delta
\iff x\in B_X(a,\delta).
\end{equation*}
Dengan tetap mengingat syarat \(x\in A\text{,}\) ekuivalensi ini memberi \(B_A(a,\delta)=A\cap B_X(a,\delta)\text{.}\)
Panduan 7 memberi \(B_X(a,\delta)\subseteq O_X\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
B_A(a,\delta)
=A\cap B_X(a,\delta)
\subseteq A\cap O_X
=O_A.
\end{equation*}
Jadi kandidat itu bukan hanya termuat dalam \(A\text{,}\) sebagaimana diminta secara harfiah oleh tugas sumber, melainkan termuat dalam \(O_A\text{.}\) Inklusi yang lebih kuat inilah yang diperlukan untuk membuktikan keterbukaan \(O_A\) di \(A\text{.}\)
Pemeriksaan K.9. Menyelesaikan implikasi sebaliknya.
Dari panduan 7 dan 8, tarik kesimpulan tentang \(O_A\) sebagai subhimpunan dari subruang \(A\text{,}\) lalu nyatakan implikasi sebaliknya yang telah dibuktikan. Rubrik: kuantifikasikan argumen untuk setiap \(a\in O_A\) dan sebutkan ruang tempat setiap bola serta setiap keterbukaan dihitung.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: untuk setiap \(a\in O_A\text{,}\) panduan sebelumnya menghasilkan \(\delta_a\gt0\) dengan \(B_A(a,\delta_a)\subseteq O_A\text{.}\) Tahap 2: cocokkan pernyataan ini dengan definisi himpunan terbuka di ruang metrik \(A\text{.}\)
Himpunan \(O_A\) terbuka di \(A\text{.}\) Jadi, jika \(O_A=A\cap O_X\) untuk suatu \(O_X\) yang terbuka di \(X\text{,}\) maka \(O_A\) terbuka dalam topologi subruang \(A\text{.}\)
Ambil sembarang \(a\in O_A\text{.}\) Karena \(a\in O_X\) dan \(O_X\) terbuka di \(X\text{,}\) panduan 7 memberi \(\delta_a\gt0\) dengan \(B_X(a,\delta_a)\subseteq O_X\text{.}\) Panduan 8 kemudian memberi
\begin{equation*}
B_A(a,\delta_a)
=A\cap B_X(a,\delta_a)
\subseteq A\cap O_X
=O_A.
\end{equation*}
Jadi setiap titik \(O_A\) mempunyai bola terbuka di \(A\) yang termuat dalam \(O_A\text{.}\) Menurut definisi, \(O_A\) terbuka di \(A\text{.}\) Ini membuktikan implikasi sebaliknya dari karakterisasi himpunan terbuka dalam subruang.
Untuk membaca arah maju karakterisasi tersebut dengan lingkup yang tepat, radius \(\delta_a\) hanya perlu dipilih, dan hanya dijamin ada, bagi \(a\in O_A\text{;}\) tidak diperlukan pilihan bagi semua \(a\in A\text{.}\) Pembedaan kuantor ini juga menjaga agar keterbukaan di \(A\) tidak tertukar dengan keterbukaan di \(X\text{.}\)
