Bagian Ringkasan
Gagasan penting yang kita bahas dalam bagian ini meliputi hal-hal berikut.
- Suatu fungsi \(f\) dari ruang topologi \(X\) ke ruang topologi \(Y\) bersifat kontinu jika \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\) setiap kali \(O\) merupakan himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\)
- Dua ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ekuivalen secara metrik jika terdapat bijeksi \(f : X \to Y\) sedemikian sehingga\begin{align*} d_X(x,y) \amp = d_Y(f(x),f(y))\\ d_Y(u,v) \amp = d_X(f^{-1}(u), f^{-1}(v)) \end{align*}untuk semua \(x,y \in X\) dan \(u,v \in Y\text{.}\) Artinya, \(X\) dan \(Y\) ekuivalen secara metrik jika terdapat isometri \(f\) dari \(X\) ke \(Y\) sedemikian sehingga \(f^{-1}\) juga merupakan isometri. Ekuivalensi topologis merupakan syarat yang lebih lemah. Dua ruang topologi \(X\) dan \(Y\) ekuivalen secara topologis jika terdapat fungsi kontinu \(f\) dari \(X\) ke \(Y\) sedemikian sehingga \(f^{-1}\) juga kontinu. Dengan kata lain, \(X\) dan \(Y\) ekuivalen secara topologis jika terdapat homeomorfisme antara \(X\) dan \(Y\text{.}\)
- Homeomorfisme antara ruang topologi \(X\) dan \(Y\) adalah fungsi kontinu \(f\) dari \(X\) ke \(Y\) sedemikian sehingga \(f^{-1}\) juga kontinu. Dua ruang topologi \(X\) dan \(Y\) homeomorfik jika terdapat homeomorfisme \(f : X \to Y\text{.}\)
- Invarian topologis adalah sifat apa pun yang dimiliki ruang topologi \(X\) dan juga harus dimiliki oleh setiap ruang topologi yang homeomorfik dengan \(X\text{.}\) Kadang-kadang kita dapat menggunakan invarian topologis untuk menentukan bahwa dua ruang topologi tidak homeomorfik.
