Bagian Fungsi Kontinu antara Ruang-Ruang Metrik
Dalam aktivitas pendahuluan, kita telah melihat cara mendefinisikan secara formal arti suatu fungsi \(f : \R \to \R\) kontinu di suatu titik.
Perhatikan bahwa
Definisi 6.2 hanya bergantung pada kemampuan untuk mengukur kedekatan antartitik. Karena persis itulah yang dilakukan oleh metrik, kita dapat memperluas gagasan kekontinuan ini untuk mendefinisikan kekontinuan fungsi antara ruang-ruang metrik. Kekontinuan merupakan gagasan penting dalam topologi, dan kita akan banyak menggunakan gagasan ini sepanjang semester.
Jika \(d_E : \R \times \R \to \R\) didefinisikan oleh \(d_E(x,y) = | x - y |\text{,}\) maka kita telah melihat bahwa \(d_E\) merupakan metrik pada \(\R\) (perhatikan bahwa \(d_E\) adalah metrik Euklides pada \(\R\)). Dengan menggunakan metrik ini, kita dapat merumuskan kembali arti suatu fungsi \(f : \R \to \R\) kontinu di suatu titik.
Definisi 6.3. Definisi Alternatif.
Suatu fungsi \(f : \R \to \R\) kontinu di titik \(a\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_E(x,a) \lt \delta\) mengakibatkan \(d_E(f(x), f(a)) \lt \epsilon\text{.}\)
Definisi alternatif ini bergantung pada metrik \(d_E\text{.}\) Kita dapat dengan mudah mengganti metrik \(d_E\) dengan metrik lain yang kita pilih. Hal ini memungkinkan kita mendefinisikan kekontinuan di suatu titik bagi fungsi antara ruang-ruang metrik.
Definisi 6.4.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik. Suatu fungsi \(f:X \to Y\) kontinu di \(a \in X\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a)\lt \delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x), f(a)) \lt \epsilon\text{.}\)
Setelah mendefinisikan kekontinuan di suatu titik, kita dapat mendefinisikan fungsi kontinu.
Definisi 6.5.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik. Suatu fungsi \(f:X \to Y\) kontinu jika \(f\) kontinu di setiap titik dalam \(X\text{.}\)
Contoh 6.6.
Secara umum, untuk membuktikan bahwa fungsi \(f:X \to Y\) kontinu, dengan \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik, kita mulai dengan memilih unsur sembarang \(a\) dalam \(X\text{.}\) Kemudian kita ambil suatu bilangan \(\epsilon\) yang lebih besar dari \(0\) dan menunjukkan bahwa terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_Y(f(x),f(a)) \lt \epsilon\) setiap kali \(d_X(x,a) \lt \delta\text{.}\) Nilai \(\delta\) yang kita perlukan tidak boleh bergantung pada \(x\) (karena \(x\) belum diketahui), tetapi boleh bergantung pada nilai \(a\) yang kita pilih, dan kemungkinan juga akan bergantung pada \(\epsilon\text{.}\) Dengan kata lain, terdapat fungsi \(C\) yang hanya bergantung pada variabel bebas \(a\) dan \(\epsilon\) dan menghasilkan \(\delta\text{,}\) yakni \(\delta = C(a,\epsilon)\text{.}\) Sebagai contoh, misalkan \(X = \R\) dan \(d_X\) didefinisikan sebagai
\begin{equation*}
d_X(x,y) = \min\{|x-y|,1\}\text{.}
\end{equation*}
Pembuktian bahwa
\(d_X\) merupakan metrik diserahkan kepada
Latihan 9. Tinjau
\(f : X \to Y\) yang didefinisikan oleh
\(f(x) = x^2\text{,}\) dengan
\((Y,d_Y) = (\R, d_E)\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(f\) kontinu, kita ambil
\(a \in \R\) dan
\(\epsilon \gt 0\text{.}\)
Pekerjaan pendahuluan. Langkah-langkah berikut bukan bagian dari pembuktian, tetapi menunjukkan cara kita menemukan \(\delta\) yang diperlukan. Kita mencari \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a) \lt \delta\) mengakibatkan \(d_E(f(x),f(a)) \lt \epsilon\text{.}\) Artinya, kita ingin membuat
\begin{equation*}
d_E(f(x),f(a)) = \sqrt{(f(x)-f(a))^2} = |f(x)-f(a)| = |x^2-a^2| \lt \epsilon
\end{equation*}
setiap kali
\begin{equation*}
d_X(x,a) = \min\{|x-a|, 1\} \lt \delta\text{.}
\end{equation*}
Sekarang \(|x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)| = |x-a| \ |x+a|\text{.}\) Jika \(d_X(x,a) \lt \delta\text{,}\) maka \(\min\{|x-a|, 1\} \lt \delta\text{.}\) Jika kita memilih \(\delta \lt 1\text{,}\) maka \(d_X(x,a) \lt \delta \lt 1\) mengakibatkan \(|x-a| \lt 1\text{,}\) sehingga \(d_X(x,a) = |x-a|\text{.}\) Sekarang
\begin{equation*}
|x+a| = |(x-a) + 2a| \leq |x-a| + 2|a| \lt 1+2|a|\text{.}
\end{equation*}
Akibatnya,
\begin{equation*}
|x-a| \ |x+a| \lt \delta(1+2|a|)\text{.}
\end{equation*}
Agar hasil kali ini lebih kecil daripada \(\epsilon\text{,}\) kita dapat memilih \(\delta\) sedemikian sehingga \(\delta(1+2|a|) \lt \epsilon\text{,}\) atau \(\delta \lt \frac{\epsilon}{1+2|a|}\text{.}\) Dengan kata lain, pilihan \(\delta\) bergantung pada \(a\) dan \(\epsilon\text{;}\) sebagai contoh, kita dapat mengambil \(\delta = \min\left\{1, \frac{\epsilon}{1+2|a|}\right\}\text{.}\) Sekarang kita kesampingkan paragraf ini dan menyajikan pembuktiannya, yang pada dasarnya membalik langkah-langkah yang baru saja kita lakukan. Jika langkah-langkah itu tidak dapat dibalik, kita harus memikirkan ulang argumen kita. Langkah berikut dalam pembuktian mungkin tampak seperti sulap bagi pembaca yang belum terbiasa, tetapi kita telah melihat apa yang terjadi di balik layar sehingga langkah itu bukan misteri bagi kita.
Misalkan \(\delta\) suatu bilangan positif yang lebih kecil daripada \(\min\left\{1, \frac{\epsilon}{1+2|a|}\right\}\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d_X(x,a) = \min\{|x-a|,1\} \lt \delta
\end{equation*}
mengakibatkan \(d_X(x,a) \lt \delta \lt 1\text{,}\) sehingga \(d_X(x,a) = |x-a| \lt \delta \lt 1\text{.}\) Selanjutnya,
\begin{equation*}
|x+a| = |(x-a) + 2a| \leq |x-a| + 2|a| \lt 1+2|a|\text{.}
\end{equation*}
Akibatnya,
\begin{align*}
d_E(f(x),f(a)) \amp = \sqrt{(f(x)-f(a))^2}\\
\amp = |f(x)-f(a)|\\
\amp = |x^2-a^2|\\
\amp = |(x-a)(x+a)|\\
\amp = |x-a| \ |x+a|\\
\amp \lt \delta (1+2|a|)\\
\amp \lt \left(\frac{\epsilon}{1+2|a|}\right) (1+2|a|)\\
\amp = \epsilon\text{.}
\end{align*}
Kita menyimpulkan bahwa \(f\) kontinu di setiap titik dalam \(X\text{,}\) sehingga \(f\) merupakan fungsi kontinu.
Tidak semua fungsi bersifat kontinu, seperti yang akan kita lihat dalam contoh berikut.
Contoh 6.7.
Misalkan \(X = Y = \R\) dan definisikan \(f : X \to Y\) dengan \(f(x) = x\text{.}\) Misalkan \(d_X\) metrik Euklides dan \(d_Y\) metrik diskret. (Ingatlah bahwa \(d_Y(x,y) = 1\) setiap kali \(x \neq y\text{.}\)) Misalkan \(a \in X\) dan \(0 \lt \epsilon \lt 1\text{.}\)
Misalkan \(\delta \gt 0\text{,}\) dan ambil \(x = a+\frac{\delta}{2}\text{.}\) Maka \(x \neq a\) dan \(d_X(x,a) \lt \delta\text{.}\) Akan tetapi,
\begin{equation*}
d_Y(f(x),f(a)) = d_Y(x,a) = 1\text{.}
\end{equation*}
Jadi, jika \(0 \lt \epsilon \lt 1\text{,}\) tidak terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a) \lt \delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),f(a)) \lt \epsilon\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(f\) tidak kontinu di titik mana pun dalam \(X\text{.}\)
Fungsi-fungsi tertentu selalu kontinu, seperti ditunjukkan oleh aktivitas berikut.
Kegiatan 6.2.
(a)
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(b \in Y\text{.}\) Definisikan \(f : X \to Y\) dengan \(f(x) = b\) untuk setiap \(x \in X\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu.
(b)
Misalkan \((X, d)\) suatu ruang metrik. Definisikan fungsi \(i_X : X \to X\) dengan \(i_X(x) = x\) untuk setiap \(x \in X\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(i_X\) merupakan fungsi kontinu. (Fungsi \(i_X\) disebut fungsi identitas pada \(X\text{.}\))
(c)
Mengapa argumen pada bagian (b) tidak bertentangan dengan
Contoh 6.7?
Contoh-contoh yang lebih rumit terdapat dalam aktivitas berikut.
Kegiatan 6.3.
Misalkan \(X = (\R^2, d_T)\) dan \(Y = (\R^2, d_M)\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
d_T((x_1, x_2), (y_1,y_2)) = | x_1-y_1 | + | x_2-y_2 |
\end{equation*}
merupakan metrik taksi dan
\begin{equation*}
d_M((x_1, x_2), (y_1,y_2)) = \max\{| x_1-y_1 |, | x_2-y_2 |\}
\end{equation*}
merupakan metrik maksimum. Definisikan \(f : \R^2 \to \R^2\) dengan \(f((a,b)) = (a+b, b)\text{.}\)
(a)
Apakah \(f\) merupakan fungsi kontinu dari \(X\) ke \(Y\text{?}\) Berikan alasan untuk jawaban Anda.
(b)
Apakah \(f\) merupakan fungsi kontinu dari \(Y\) ke \(X\text{?}\) Berikan alasan untuk jawaban Anda.
