Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Untuk kasus pertama, \(f(x)=x\) memberi satu prapeta bagi setiap \(y\text{.}\) Untuk kasus kedua dan ketiga, bagi setiap \(k\in\Z\) definisikan \(f(x)=x-k\) pada \([2k,2k+1)\) dan \(f(x)=x-k-1\) pada \([2k+1,2k+2)\text{.}\) Interval-interval domain saling lepas dan menutupi \(\R\text{.}\) Jika \(y\in[k,k+1)\text{,}\) dua dan hanya dua prapetanya ialah \(y+k\) dan \(y+k+1\text{.}\) Jadi fungsi ini mempunyai tepat dua prapeta untuk setiap \(y\text{,}\) dan khususnya sedikitnya dua.

Untuk kasus keempat, ambil \(p(x)=x^3-x\text{.}\) Keluaran \(0\) mempunyai tepat tiga prapeta \(-1,0,1\text{.}\) Keluaran \(2/(3\sqrt{3})\) mempunyai dua prapeta berbeda: akar ganda \(-1/\sqrt{3}\) dan akar \(2/\sqrt{3}\text{;}\) faktorisasi setelah memindahkan keluaran ke ruas kiri memverifikasi bahwa tidak ada akar lain. Untuk kasus terakhir, fungsi konstan \(f(x)=0\) memberi tak berhingga banyak prapeta bagi unsur kodomain \(0\text{.}\)

Persamaan \(5x+3=y\) mempunyai solusi tunggal \(x=(y-3)/5\) di \(\R\text{,}\) jadi \(F\) bijektif. Pada \(\Z\text{,}\) kesamaan keluaran masih memaksa kesamaan masukan, tetapi semua keluaran kongruen dengan \(3\) modulo \(5\text{;}\) misalnya \(0\) tidak tercapai, sehingga \(G\) hanya injektif.

Jika \(y=3x/(x-4)\text{,}\) maka untuk \(y\neq3\) satu-satunya kandidat ialah \(x=4y/(y-3)\text{,}\) yang tidak pernah sama dengan \(4\text{.}\) Nilai \(3\) mustahil karena akan memberi \(3x=3x-12\text{.}\) Karena itu aturan pecahan injektif dengan daerah hasil \(\R\setminus\{3\}\text{:}\) fungsi ke \(\R\) tidak surjektif, sedangkan fungsi ke \(\R\setminus\{3\}\) bijektif. Akhirnya, \(x^2\) dari \(\R\) ke bilangan tak negatif surjektif tetapi \(x\) dan \(-x\) bertabrakan bila \(x\neq0\text{.}\) Pada domain tak negatif, akar kuadrat memberi prapeta tunggal bagi setiap keluaran, jadi \(k\) bijektif.

Serat-serat tak kosongnya adalah \(f^{-1}(a)=\{3,5,10\}\text{,}\) \(f^{-1}(c)=\{1,6,9\}\text{,}\) \(f^{-1}(d)=\{2,8\}\text{,}\) \(f^{-1}(e)=\{7\}\text{,}\) dan \(f^{-1}(g)=\{4\}\text{.}\) Jadi terdapat tabrakan, sedangkan \(b\) tidak tercapai. Suatu pembatasan injektif memilih paling banyak satu unsur dari masing-masing lima serat; pilihan pada jawaban memilih tepat satu dari setiap serat, sehingga ukurannya maksimal, yaitu \(5\text{.}\) Daerah hasil fungsi adalah \(D\text{;}\) memandang aturan yang sama sebagai fungsi \(A\to D\) membuatnya surjektif. Membatasi sekaligus domain ke \(C\) membuat setiap unsur \(D\) mempunyai tepat satu prapeta, sehingga diperoleh bijeksi.

Bentuk \(X\) sudah secara eksplisit merupakan hasil kali Kartesius dua subhimpunan. Andaikan \(W=C\times D\text{.}\) Dari dua pasangan di dalam \(W\) diperoleh \(a_1,a_2\in C\) dan \(b_1,b_2\in D\text{.}\) Definisi hasil kali Kartesius lalu memaksa \((a_1,b_2)\) dan \((a_2,b_1)\) berada di \(W\text{,}\) padahal keduanya tidak tercantum. Kontradiksi ini membuktikan bahwa \(W\) bukan hasil kali Kartesius.

Pilih bijeksi pencacahan \(\alpha:A\to\{1,\ldots,n\}\) dan \(\beta:B\to\{1,\ldots,m\}\text{.}\) Jika \(n=m\text{,}\) maka \(\beta^{-1}\circ\alpha:A\to B\) adalah bijeksi. Sebaliknya, jika \(f:A\to B\) bijektif, maka \(\beta\circ f\circ\alpha^{-1}\) adalah bijeksi dari \(\{1,\ldots,n\}\) ke \(\{1,\ldots,m\}\text{.}\) Jika \(n<m\text{,}\) fungsi itu tidak mungkin surjektif; jika \(n>m\text{,}\) fungsi itu tidak mungkin injektif, menurut prinsip rumah merpati. Jadi satu-satunya kemungkinan ialah \(n=m\text{.}\)

Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(f(x)\in f(A)\text{,}\) sehingga \(x\in f^{-1}(f(A))\text{.}\) Kesamaan dapat gagal: untuk fungsi konstan \(f:\{0,1\}\to\{*\}\) dan \(A=\{0\}\text{,}\) prapeta citranya adalah seluruh \(\{0,1\}\text{.}\) Jika \(y\in f(f^{-1}(B))\text{,}\) ada \(x\) dengan \(y=f(x)\) dan \(f(x)\in B\text{,}\) jadi \(y\in B\text{.}\) Kesamaan dapat gagal untuk \(f:\{0\}\to\{0,1\}\text{,}\) \(f(0)=0\text{,}\) dan \(B=\{0,1\}\text{.}\)

Jika \(f\) surjektif dan \(y\in B\text{,}\) pilih \(x\) dengan \(f(x)=y\text{;}\) maka \(x\in f^{-1}(B)\) dan \(y\in f(f^{-1}(B))\text{,}\) sehingga kesamaan berlaku. Jika kesamaan berlaku untuk semua \(B\text{,}\) ambil \(B=Y\) untuk memperoleh \(f(X)=Y\text{.}\) Jika \(f\) injektif dan \(x\in f^{-1}(f(A))\text{,}\) ada \(a\in A\) dengan \(f(x)=f(a)\text{,}\) maka \(x=a\in A\text{.}\) Sebaliknya, andaikan kesamaan berlaku untuk semua \(A\text{.}\) Jika \(f(x)=f(x')\text{,}\) ambil \(A=\{x\}\text{;}\) maka \(x'\in f^{-1}(f(A))=A\text{,}\) sehingga \(x'=x\) dan \(f\) injektif.

Jika \(y\in f(\bigcap A_\alpha)\text{,}\) ada \(x\) yang berada di setiap \(A_\alpha\) dan memenuhi \(f(x)=y\text{.}\) Maka \(y\) berada di setiap \(f(A_\alpha)\text{,}\) sehingga inklusi berlaku. Kesamaan gagal untuk fungsi konstan \(f:\{0,1\}\to\{*\}\) dengan \(A_1=\{0\}\) dan \(A_2=\{1\}\text{:}\) citra irisannya kosong, sedangkan irisan citranya \(\{*\}\text{.}\) Untuk prapeta, \(x\in f^{-1}(\bigcap B_\beta)\) setara dengan \(f(x)\in B_\beta\) bagi setiap \(\beta\text{,}\) yang setara dengan \(x\in f^{-1}(B_\beta)\) bagi setiap \(\beta\text{.}\) Dengan konvensi irisan keluarga kosong sebagai seluruh himpunan semesta yang sesuai, argumen dan inklusi pertama juga mencakup himpunan indeks kosong.

Untuk \(x\in A\text{,}\) ambil \(y=f(x)\in B\text{.}\) Definisi fungsi invers memberi \(f^{-1}(y)=x\text{,}\) sehingga \((f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x\text{.}\) Untuk \(y\in B\text{,}\) bijektivitas memberi unsur tunggal \(x=f^{-1}(y)\in A\) dengan \(f(x)=y\text{.}\) Karena itu \((f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=y\text{.}\) Identitas pertama adalah fungsi pada \(A\text{,}\) sedangkan identitas kedua fungsi pada \(B\text{.}\)

Bagi setiap \(r\in R\text{,}\) \(r\in(h\circ g)^{-1}(O)\) jika dan hanya jika \(h(g(r))\in O\text{.}\) Hal terakhir berlaku jika dan hanya jika \(g(r)\in h^{-1}(O)\text{,}\) yang menurut definisi setara dengan \(r\in g^{-1}(h^{-1}(O))\text{.}\) Karena unsur pada kedua ruas sama, himpunannya sama. Ini adalah identitas prapeta, bukan rumus invers fungsi.

Untuk \(x_1\in X_1\text{,}\) pilih satu \(x_2\in X_2\text{;}\) maka \(\pi_1(x_1,x_2)=x_1\text{.}\) Argumen simetris berlaku bagi \(\pi_2\text{.}\) Definisikan \(F(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))\text{.}\) Proyeksi ke koordinat \(i\) memberi \(f_i(x_i)\text{,}\) jadi diagram yang diminta komutatif. Sebaliknya, jika \(G\) memenuhi kedua persamaan proyeksi, kedua koordinat \(G(x_1,x_2)\) harus sama dengan koordinat \(F(x_1,x_2)\text{;}\) maka \(G=F\text{,}\) membuktikan ketunggalan.

Pada \((x_1,x_2)\text{,}\) ruas kiri identitas komposisi bernilai \((g_1(f_1(x_1)),g_2(f_2(x_2)))\text{,}\) sama dengan ruas kanan. Jika \(h_i\) adalah invers \(f_i\text{,}\) maka komposisi \((h_1\times h_2)\circ(f_1\times f_2)\) mengirim \((x_1,x_2)\) ke dirinya sendiri, dan komposisi dalam urutan sebaliknya juga identitas pada \(Y_1\times Y_2\text{.}\) Jadi \(h_1\times h_2\) memang fungsi inversnya. Ketakosongan kedua faktor diperlukan pada bukti surjektivitas proyeksi.

Substitusi memberi \(f(2k)=(1+(4k-1))/4=k\) dan \(f(2k-1)=(1-(4k-3))/4=1-k\text{.}\) Cabang genap memuat setiap bilangan bulat positif tepat sekali; cabang ganjil memuat \(0,-1,-2,\ldots\) tepat sekali. Kedua daerah hasil cabang saling lepas, jadi fungsi injektif. Untuk \(z\geq1\text{,}\) prapetanya \(2z\text{;}\) untuk \(z\leq0\text{,}\) prapetanya \(1-2z\text{.}\) Maka setiap \(z\in\Z\) tercapai dan fungsi surjektif.

Pasangan berbeda \((0,0)\) dan \((1,-1)\) keduanya dipetakan ke \(0\text{,}\) sehingga fungsi tidak injektif. Untuk setiap \(z\in\Z\text{,}\) pasangan \((z,0)\) berada dalam domain dan memenuhi \(f(z,0)=z\text{;}\) karena itu fungsi surjektif.

Jika \(f(a)=f(a')\text{,}\) maka \((g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')\text{;}\) injektivitas komposit memberi \(a=a'\text{,}\) jadi \(f\) injektif. Namun ambil \(A=\{a\}\text{,}\) \(B=\{b_1,b_2\}\text{,}\) \(C=\{c\}\text{,}\) \(f(a)=b_1\text{,}\) dan \(g(b_1)=g(b_2)=c\text{.}\) Komposit dari satu unsur ke satu unsur injektif, sedangkan \(g\) tidak.

Jika komposit surjektif dan \(c\in C\text{,}\) ada \(a\in A\) dengan \(g(f(a))=c\text{.}\) Jadi \(c\) mempunyai prapeta \(f(a)\in B\) oleh \(g\text{,}\) sehingga \(g\) surjektif. Untuk menunjukkan bahwa \(f\) tidak harus surjektif, gunakan himpunan dan fungsi yang sama: \(f\) tidak mencapai \(b_2\text{,}\) tetapi komposit mencapai satu-satunya unsur \(C\text{.}\)

Untuk \(f,g:\R\to\R\) dengan \(f(x)=x+1\) dan \(g(x)=2x\text{,}\) diperoleh \((g\circ f)(x)=2x+2\text{,}\) sedangkan \((f\circ g)(x)=2x+1\text{.}\) Jadi komposisi tidak komutatif; pada fungsi dengan domain dan kodomain berbeda, salah satu urutan bahkan mungkin tidak terdefinisi. Jika \(f:A\to B\text{,}\) \(g:B\to C\text{,}\) dan \(h:C\to D\text{,}\) maka bagi setiap \(a\in A\text{,}\) \((h\circ(g\circ f))(a)=h(g(f(a)))=((h\circ g)\circ f)(a)\text{.}\) Kedua fungsi mempunyai domain \(A\text{,}\) kodomain \(D\text{,}\) dan nilai yang sama pada setiap unsur, sehingga komposisi asosiatif.

Nilai \(f([x])=[x^2+4]\) untuk \(x=0,1,2,3,4\) berturut-turut adalah \([4],[0],[3],[3],[0]\text{.}\) Membalik tabel memberi relasi pada jawaban; masukan \([0]\) dan \([3]\) pada relasi invers masing-masing mempunyai dua keluaran, sedangkan \([1]\) dan \([2]\) tidak mempunyai keluaran. Jadi relasi itu bukan fungsi \(\Z_5\to\Z_5\text{.}\)

Nilai \(g([x])=[x^3+4]\) berturut-turut ialah \([4],[0],[2],[1],[3]\text{,}\) suatu permutasi seluruh \(\Z_5\text{.}\) Pembalikan tabel memberi relasi invers pada jawaban dan menunjukkan bahwa ia fungsi. Kubus dari \([0],[1],[2],[3],[4]\) ialah \([0],[1],[3],[2],[4]\text{;}\) menerapkan kubus sekali lagi mengembalikan unsur semula, jadi akar pangkat tiga \([z]\) adalah \([z^3]\text{.}\) Dari \([y]=[x^3+4]\) diperoleh \([x^3]=[y+1]\text{,}\) sehingga \([x]=[(y+1)^3]\text{,}\) rumus yang dinyatakan.

Fungsi \(|x|\) kontinu tetapi tidak terdiferensialkan di \(0\text{,}\) jadi berada di \(A\setminus B\text{.}\) Fungsi konstan \(1\) mempunyai turunan kontinu tetapi nilainya di \(a=-1\) bukan nol, jadi berada di \(B\setminus C\text{.}\) Fungsi \(x+1\) mempunyai turunan kontinu dan bernilai nol di \(-1\text{,}\) jadi berada di \(C\text{.}\) Setiap fungsi kontinu \(q\in A\) adalah turunan fungsi \(x\mapsto\int_a^x q(t)\,dt\) dalam \(B\text{,}\) maka \(d\) surjektif. Namun dua fungsi yang berbeda sebesar konstanta mempunyai turunan sama; misalnya turunan fungsi konstan \(0\) dan \(1\) sama-sama nol. Jadi \(d\) tidak injektif dan tidak invertibel.

Untuk \(f\in A\text{,}\) Teorema Dasar Kalkulus menyatakan bahwa \(h(f)\) mempunyai turunan kontinu \(f\text{,}\) dan \(h(f)(a)=0\text{;}\) maka \(h(f)\in C\text{.}\) Definisikan \(g(c)=c'\text{.}\) Bagi \(f\in A\text{,}\) \(g(h(f))=f\text{.}\) Bagi \(c\in C\text{,}\) \((h(g(c)))(x)=\int_a^x c'(t)\,dt=c(x)-c(a)=c(x)\text{,}\) karena \(c(a)=0\text{.}\) Jadi kedua komposisi adalah identitas dan \(g=h^{-1}\text{.}\)

(a) Benar karena \(x\in A\) memberi \(f(x)\in f(A)\text{.}\) (b) Salah: untuk fungsi konstan \(f:\{0,1\}\to\{*\}\) dan \(A=\{0\}\text{,}\) prapeta citra \(A\) adalah seluruh domain. (c) Salah: untuk \(f:\{0\}\to\{0,1\}\text{,}\) \(f(0)=0\text{,}\) dan \(B=\{1\}\text{,}\) ruas kanan kosong. (d) Benar: setiap unsur citra prapeta \(B\) menurut definisi berada di \(B\text{.}\) (e) Benar: citra anggota \(A_1\subseteq A_2\) juga citra anggota \(A_2\text{.}\) (f) Benar: \(f(x)\in B_1\subseteq B_2\) memberi inklusi prapeta.

(g) Salah: untuk fungsi identitas pada \(\{0,1\}\text{,}\) ambil \(B_1=\{0\}\) dan \(B_2=\{0,1\}\text{;}\) prapeta \(B_2\) tidak termuat dalam prapeta \(B_1\text{.}\) (h) Benar: sebuah nilai berasal dari gabungan tepat ketika berasal dari sedikitnya satu bagian. (i) Benar karena, untuk setiap \(x\in X\text{,}\) \(x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)\) jika dan hanya jika \(f(x)\in B_1\cup B_2\text{,}\) jika dan hanya jika \(f(x)\in B_1\) atau \(f(x)\in B_2\text{,}\) jika dan hanya jika \(x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)\text{.}\) (j) Salah: pada fungsi konstan \(\{0,1\}\to\{*\}\text{,}\) ambil \(A_1=\{0\}\) dan \(A_2=\{1\}\text{;}\) citra irisan kosong, tetapi irisan citra tidak kosong. (k) Benar: syarat \(f(x)\in B_1\) dan \(f(x)\in B_2\) setara dengan \(f(x)\in B_1\cap B_2\text{.}\)

(l) Salah: pada fungsi konstan yang sama, ambil \(A_1=\{0,1\}\) dan \(A_2=\{1\}\text{.}\) Ruas kiri \(f(A_1\setminus A_2)=\{*\}\text{,}\) sedangkan \(f(A_1)\setminus f(A_2)=\emptyset\text{.}\) (m) Benar: \(x\) berada pada prapeta \(B_1\setminus B_2\) tepat ketika \(f(x)\in B_1\) dan \(f(x)\notin B_2\text{,}\) yaitu tepat ketika \(x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)\text{.}\)