Bagian Metrik Euklides pada \(\R^n\)
Ruang metrik yang paling kita kenal adalah ruang metrik \((\R^2, d_E)\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
d_E((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}
\end{equation*}
Metrik \(d_E\) disebut metrik standar atau metrik Euklides pada \(\R^2\text{.}\)
Metrik Euklides ini dapat kita perumum dari \(\R^2\) ke ruang real berdimensi berapa pun. Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan misalkan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) serta \(y = (y_1, y_2, \ldots,
y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{.}\) Kita definisikan \(d_E : \R^n \times \R^n \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d_E(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\text{.}
\end{equation*}
Dalam aktivitas berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa \(d_E\) memenuhi tiga sifat pertama suatu metrik.
Kegiatan 3.3.
Misalkan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots,
y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \(d_E(x,y) \geq 0\text{.}\)
(b)
Tunjukkan bahwa \(d_E(x,y) = d_E(y,x)\text{.}\)
(c)
Tunjukkan bahwa jika \(x=y\text{,}\) maka \(d_E(x,y) = 0\text{.}\)
(d)
Tunjukkan bahwa jika \(d_E(x,y) = 0\text{,}\) maka \(x=y\text{.}\)
Membuktikan bahwa pertidaksamaan segitiga terpenuhi sering kali merupakan bagian tersulit dalam membuktikan bahwa suatu fungsi adalah metrik. Kita akan menguraikan pembuktian ini dengan bantuan Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Lema 3.9. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\text{,}\) \(y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{.}\) Maka
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_iy_i \leq \left(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right) \left(\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\right)\text{.}\tag{3.1}
\end{equation}
Kegiatan 3.4.
Sebelum membuktikan Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, mari kita telaah pertidaksamaan tersebut dalam dua keadaan khusus.
(a)
Misalkan \(x=(1,4)\) dan \(y = (3,2)\) berada di dalam \(\R^2\text{.}\) Verifikasikan Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz dalam keadaan ini.
(b)
Misalkan \(x=(1,2, -3)\) dan \(y = (-4, 0, -1)\) berada di dalam \(\R^3\text{.}\) Verifikasikan Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz dalam keadaan ini.
Sekarang kita buktikan Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Bukti.
Misalkan
\(n\) bilangan bulat positif dan
\(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\text{,}\) \(y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada di dalam
\(\R^n\text{.}\) Untuk memverifikasi
(3.1), cukup ditunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)\text{.}
\end{equation*}
Hal ini sulit dilakukan secara langsung, tetapi ada siasat yang dapat kita gunakan. Perhatikan bentuk
\begin{equation*}
\sum (x_i-\lambda y_i)^2\text{.}
\end{equation*}
(Semua penjumlahan kita dipahami berlangsung dari 1 sampai \(n\text{,}\) sehingga batas penjumlahan tidak akan kita tuliskan lagi sepanjang sisa pembuktian.) Sekarang
\begin{align}
0 \amp \leq \sum (x_i-\lambda y_i)^2\notag\\
\amp = \sum \left(x_i^2 - 2\lambda x_iy_i + \lambda^2 y_i^2 \right)\notag\\
\amp = \left( \sum y_i^2 \right)\lambda^2 - 2\left(\sum x_iy_i\right) \lambda + \left(\sum x_i^2\right)\text{.}\tag{3.2}
\end{align}
Untuk menafsirkan bentuk terakhir ini dengan lebih jelas, misalkan
\(a=\sum y_i^2\text{,}\) \(b=-2\sum x_iy_i\text{,}\) dan
\(c = \sum x_i^2\text{.}\) Jika
\(y=(0,\ldots,0)\text{,}\) pertidaksamaan yang hendak dibuktikan langsung berlaku. Jadi, dalam argumen berikutnya kita dapat menganggap
\(y\neq(0,\ldots,0)\text{,}\) sehingga
\(a\gt 0\text{.}\) Pertidaksamaan yang diberikan oleh
(3.2) kemudian dapat ditulis dalam bentuk
\begin{equation*}
p(\lambda) = a \lambda^2 + b \lambda + c \geq 0\text{.}
\end{equation*}
Jadi, kita memiliki polinom kuadrat \(p(\lambda)\) yang tidak pernah bernilai negatif. Hal ini menyiratkan bahwa polinom kuadrat \(p(\lambda)\) memiliki paling banyak satu akar real. Rumus kuadrat memberikan akar-akar \(p(\lambda)\) sebagai
\begin{equation*}
\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(b^2-4ac \gt 0\text{,}\) maka \(p(\lambda)\) memiliki dua akar real. Oleh karena itu, agar \(p(\lambda)\) memiliki paling banyak satu akar real, harus berlaku
\begin{equation*}
0 \geq b^2-4ac = 4 \left(\sum x_iy_i\right)^2 - 4\left(\sum y_i^2\right)\left(\sum x_i^2\right)
\end{equation*}
atau
\begin{equation*}
\left(\sum y_i^2\right)\left(\sum x_i^2\right) \geq \left(\sum x_iy_i\right)^2\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz terbukti.
Salah satu akibat Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz yang kita perlukan untuk menunjukkan bahwa \(d_E\) adalah metrik ialah hasil berikut.
Corollary 3.10.
Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\text{,}\) \(y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\text{.}
\end{equation*}
Kegiatan 3.5.
Sebelum membuktikan akibat tersebut, mari kita telaah hasil itu dalam dua keadaan khusus.
(a)
Misalkan
\(x=(1,4)\) dan
\(y = (3,2)\) berada di dalam
\(\R^2\text{.}\) Verifikasikan
Corollary 3.10 dalam keadaan ini.
(b)
Misalkan
\(x=(1,2, -3)\) dan
\(y = (-4, 0, -1)\) berada di dalam
\(\R^3\text{.}\) Verifikasikan
Corollary 3.10 dalam keadaan ini.
Bukti.
Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\text{,}\) \(y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{.}\) Sekarang
\begin{align*}
\sum \left(x_i+y_i\right)^2 \amp = \sum \left(x_i^2 +2x_iy_i + y_i^2 \right)\\
\amp = \sum x_i^2 + 2\sum x_iy_i + \sum y_i^2\\
\amp \leq \sum x_i^2 + 2\left(\sqrt{\sum x_i^2}\right) \left(\sqrt{\sum y_i^2} \right) + \sum y_i^2\\
\amp = \left(\sqrt{\sum x_i^2} + \sqrt{\sum y_i^2}\right)^2\text{.}
\end{align*}
Mengambil akar kuadrat kedua ruas menghasilkan pertidaksamaan yang diinginkan.
Sekarang kita dapat menyelesaikan pembuktian bahwa \(d_E\) adalah metrik.
Kegiatan 3.6.
Misalkan
\(n\) bilangan bulat positif dan
\(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\text{,}\) \(y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\text{,}\) serta
\(z=(z_1, z_2, \ldots, z_n)\) berada di dalam
\(\R^n\text{.}\) Gunakan
Corollary 3.10 untuk menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
d_E(x,y) \leq d_E(x,z)+d_E(z,y)\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, pembuktian bahwa metrik Euklides memang merupakan metrik telah selesai.
Kita telah melihat beberapa metrik dalam bagian ini, dan sebagian di antaranya memiliki nama khusus. Misalkan \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\text{.}\)
Metrik Euklides \(d_E\text{,}\) dengan
\begin{align*}
d_E(x,y) \amp = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2}\\
\amp = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\text{.}
\end{align*}
Metrik taksi \(d_T\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
d_T(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n| = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\text{.}
\end{equation*}
Metrik maksimum \(d_M\text{,}\) dengan
\begin{align*}
d_M(x,y) \amp = \max\{| x_1-y_1 |, | x_2-y_2 |, |x_3-y_3|, \ldots, |x_n-y_n| \}\\
\amp = \max_{1 \leq i \leq n} \{|x_i-y_i|\}\text{.}
\end{align*}
Kita baru menunjukkan bahwa
\(d_T\) dan
\(d_M\) merupakan metrik pada
\(\R^2\text{,}\) tetapi argumen serupa berlaku di dalam
\(\R^n\text{.}\) Pembuktiannya diserahkan kepada
Latihan 5 dan
Latihan 6. Selain itu,
metrik diskret
\begin{equation*}
d(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x=y \\ 1 \amp \text{ jika } x \neq y \end{cases}
\end{equation*}
menjadikan setiap himpunan
\(X\) sebagai ruang metrik. Pembuktiannya diserahkan kepada
Latihan 1.
